抽取與內(nèi)插的頻譜分析

1、抽取與內(nèi)插的頻譜分析工科試驗(yàn)班鐘匯凱3080100443我們知道，為了避免在抽樣信號(hào)中出現(xiàn)混疊，抽樣定理要求被抽樣的信號(hào)是一個(gè)帶限信號(hào)。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，絕大多數(shù)信號(hào)都不能滿足這個(gè)要求，為了減小混疊的影響以及放寬對濾波器性能指標(biāo)的要求，在實(shí)際應(yīng)用中往往采取一種提高抽樣率的辦法，使信號(hào)的抽樣率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于限帶濾波器通帶頻率的兩倍。例如，在下圖中，當(dāng)抽樣頻率略大于限帶頻率前的兩倍時(shí)，混疊的影響還是很明顯的，而當(dāng)抽樣頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于兩倍的.時(shí)，混疊的影響就非常之小了。雖然提高抽樣率可以減小混疊的影響，但是，在對連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行處理的離散時(shí)間系統(tǒng)中，過高的抽樣率將增加系統(tǒng)的成本，因?yàn)椋^高的抽樣率將要求離散

2、時(shí)間系統(tǒng)以較高的速率工作，而高速率器件的成本一般都要貴于低速率的器件。可以設(shè)想，如果能對信號(hào)的抽樣率進(jìn)行調(diào)整，使得在信號(hào)的抽樣和恢復(fù)中使用較高的抽樣率，在離散時(shí)間處理中使用較低的抽樣率，那么，上述性能和成本的矛盾就可以得到適當(dāng)?shù)恼壑?，而離散時(shí)間信號(hào)的抽取和內(nèi)插就是一種調(diào)整信號(hào)抽樣率的辦法。從技術(shù)性能層面來看。這兩種方法類似于連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣和內(nèi)插。抽取離散時(shí)間信號(hào)的抽取包含信號(hào)抽樣和尺度變換兩個(gè)步驟：首先，以抽樣間隔N對離散時(shí)間信號(hào)進(jìn)行抽樣，然后再對抽樣信號(hào)進(jìn)行1/N的尺度壓縮變換。下圖是離散時(shí)間信號(hào)的抽取過程，圖中，xn是離散時(shí)間信號(hào)，xsn是抽樣信號(hào)，抽樣間隔N=3,xdn是抽取信號(hào)，它

3、是xsn進(jìn)彳t1/N尺度壓縮變換后所得到的結(jié)果。AI那k.圖4.54離散時(shí)間信號(hào)的抽取由圖可見，在抽樣信號(hào)xsn和抽取信號(hào)xdn之間存在以下關(guān)系：由于抽樣信號(hào)xsn在N的整數(shù)倍上和離散時(shí)間信號(hào)xn相等，因此，式(4.55)也可等效為：皿(2)雖然式(1)和式(2)在形式上完全相同，但兩者的含義不同：式(1)的含義是，抽取信號(hào)xdn是由抽樣信號(hào)xsn進(jìn)彳t1/N尺度壓縮變換的結(jié)果；而式(2)的含義是，抽取信號(hào)xdn是從離散時(shí)間信號(hào)xn中每隔(N-1)個(gè)點(diǎn)取一個(gè)樣本值所組成的一個(gè)新序列，這個(gè)過程就稱為離散時(shí)間信號(hào)的抽取。既然xdn是xsn進(jìn)行尺度變換的結(jié)果，那么，利用xsn的傅里葉變換和傅里葉變換

4、的尺度換性質(zhì)就可以求得抽取信號(hào)xdn的變換式。根據(jù)式(1)和傅里葉變換的尺度變換特性可以求得：而抽樣信號(hào)xsn的傅里葉變換為(4將此式代入式（3）而得：N七=0由于(4.59)N,抽取信號(hào)xdn的傅里葉變換為:此式表明，抽取信號(hào)的頻譜是被擴(kuò)展N倍的離散時(shí)間信號(hào)的頻譜以2p為間隔周期重復(fù)的結(jié)果。或者說，抽取信號(hào)的頻譜由N個(gè)離散時(shí)間信號(hào)的頻譜疊加而成，這N個(gè)頻譜的頻帶被擴(kuò)展了N倍，而且，每個(gè)頻譜之間相距2P。如果考慮抽取信號(hào)和抽樣信號(hào)之間的關(guān)系，那么，由式（3）可知，抽取信號(hào)的頻譜僅僅是抽樣信號(hào)頻譜擴(kuò)展N倍的結(jié)果。下圖給出了當(dāng)N=3時(shí)，離散時(shí)間信號(hào)、抽樣信號(hào)以及抽取信號(hào)的頻譜，其中，下圖a主要用來

5、說明抽取信號(hào)的頻譜和抽樣信號(hào)頻譜之間的關(guān)系，而下圖b主要用來說明抽取信號(hào)的頻譜和原序列頻譜之間的關(guān)系。八八八Q*-I2箝小上=口/八人入人7/T#3工膏3-11234x/3Ek-2:ihJ°/八/?人6內(nèi)-2.T-J31,46t內(nèi)插離散時(shí)間信號(hào)的內(nèi)插是抽取的逆過程，它可以增加信號(hào)的抽樣率，因此，內(nèi)插也稱為增抽樣。內(nèi)插一般用來從抽取信號(hào)中還原出離散時(shí)間信號(hào)，其基本過程是在抽取信號(hào)的兩個(gè)相鄰樣本值之間插入（N-1）個(gè)零值點(diǎn)，這也是從抽取信號(hào)到抽樣信號(hào)的轉(zhuǎn)換，然后再利用一個(gè)低通濾波器濾出原離散時(shí)間信號(hào)，整個(gè)過程的相關(guān)波形及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖。根據(jù)內(nèi)插的定義，當(dāng)n/N為整數(shù)時(shí)，抽取信號(hào)xdn和內(nèi)插

6、信號(hào)xin的關(guān)系為：再勺俳內(nèi)而當(dāng)福不為整數(shù)時(shí)，xin=0。根據(jù)這個(gè)定義可將抽取信號(hào)表示為：0網(wǎng)=雙颯|（5）再利用尺度變換性質(zhì)，可以求得：叱該式表明，內(nèi)插信號(hào)的頻譜式"是對抽取信號(hào)的頻譜“式/門）進(jìn)行尺度壓縮變換的結(jié)果，其尺度因子為1/N。如果使內(nèi)插信號(hào)通過一個(gè)截止頻率為南m的低通濾波器"Z）,則濾波器的輸出就是離散時(shí)間信號(hào)xn,這樣，我們就從抽取信號(hào)中還原出了原來的離散時(shí)間信號(hào)，整個(gè)還原過程的相關(guān)頻譜如圖所示，圖中假設(shè)內(nèi)插因子N=3。八八八九八八八,1#圭*，川2jfin05KFileEditViewinsertToolsDesktop.VindowHelp名，晶|4|曳R6向夏/圖19周-n舉例與MATLAB分析抽取Xones(1,11)X1=X2NX2=X3NMATLAB仿真6420-2642。小6420-26420-264204ONotenewtoolbarbuttons:djj巨-hingfitPl辦，ji匚Ie。0050505內(nèi)插x1=zeros(1,18),1,1,1,1,1,zeros(1,18);x2=