概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章習(xí)題 (1)

1、第二章 隨機(jī)變量及其分布這一章里我們介紹概率統(tǒng)計(jì)的一個(gè)非常重要的概念: 隨機(jī)變量隨機(jī)變量. 借助于隨機(jī)變量, 概率統(tǒng)計(jì) 對隨機(jī)現(xiàn)象的研究才能完全量化完全量化的以較統(tǒng)一的方式統(tǒng)一的方式進(jìn)行, 從而使概率統(tǒng)計(jì)的研究能夠向深入發(fā)展. 第一節(jié) 隨機(jī)變量及其分布1. 隨機(jī)變量的概念2. 隨機(jī)變量的分布函數(shù)3. 離散隨機(jī)變量的概率分布列4. 連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)1. 隨機(jī)變量的概念為什么要引進(jìn)隨機(jī)變量? 上一章里, 我們介紹了隨機(jī)現(xiàn)象, 樣本空間, 事件及其概率等知識(shí), 知道了隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間的類型很多, 即其樣本點(diǎn)的類型和數(shù)量在不同的研究中有很大差別: 有時(shí)樣本空間的樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量. 如擲一

2、顆骰子, 樣本點(diǎn)是出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù); 電視機(jī)的壽命, 樣本點(diǎn)是電視機(jī)可能的壽命. 但在很多的情況下, 樣本空間的樣本點(diǎn)本身不是數(shù), 而且數(shù)量多, 這會(huì)對相關(guān)事件的深入研究造成麻煩. 而且, 我們感興趣的往往不是樣本點(diǎn)本身, 而僅僅是其某一個(gè)數(shù)字特征.例如例如, 對對50個(gè)人進(jìn)行對于某項(xiàng)政策是否同意的民個(gè)人進(jìn)行對于某項(xiàng)政策是否同意的民意調(diào)查意調(diào)查, 其每一個(gè)樣本點(diǎn)是其每一個(gè)樣本點(diǎn)是50個(gè)個(gè)“同意同意”或或“不不同意同意”的排列的排列, 如如(同意同意, 不同意不同意,不同意不同意,同意同意,同意同意,同意同意, 不同意不同意)50樣本空間里含的樣本點(diǎn)數(shù)有250個(gè). 這樣的原始的樣本空間不便于我們表達(dá)和

3、討論有關(guān)事件的研究.該如何簡化呢? 答案是根據(jù)研究目的引進(jìn)隨機(jī)變量答案是根據(jù)研究目的引進(jìn)隨機(jī)變量, 從而建立原從而建立原始樣本點(diǎn)和數(shù)的關(guān)系始樣本點(diǎn)和數(shù)的關(guān)系, 得到一個(gè)新的由數(shù)構(gòu)成的得到一個(gè)新的由數(shù)構(gòu)成的簡單的樣本空間簡單的樣本空間.例如在本例中例如在本例中, 我們感興趣的數(shù)量僅僅是50個(gè)人中同意該項(xiàng)政策的人數(shù). 記X為50個(gè)人中同意該項(xiàng)政策的人數(shù), 則對于每一個(gè)原始樣本空間的樣本點(diǎn), X有唯一的數(shù)與之相對應(yīng).所以, X是樣本點(diǎn)的函數(shù), 根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果的不同取不同的值, 我們把X稱為一個(gè)隨機(jī)變量. 該例中引入隨機(jī)變量的好處有哪些? 引入變量引入變量X后后, X對應(yīng)的樣本空間為對應(yīng)的樣本空間為0,

4、1,50, 與原與原始樣本空間相比有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)始樣本空間相比有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn): (1)數(shù)量化數(shù)量化, (2)元素少元素少; 而且用原始樣本空間難以表達(dá)的事件而且用原始樣本空間難以表達(dá)的事件, 如有一半人同如有一半人同意該項(xiàng)政策意該項(xiàng)政策, 可以用隨機(jī)變量簡單表示成可以用隨機(jī)變量簡單表示成: : X(X()=25)=25, 或縮寫成或縮寫成 X=25. 所以說, 隨機(jī)變量的引進(jìn)大大方便了對概率的研究. 以上的例子表明, 在隨機(jī)試驗(yàn)里, 有這樣的一種量X, 它要么就是試驗(yàn)結(jié)果即樣本點(diǎn), 要么跟試驗(yàn)結(jié)果相關(guān), 它隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值, 所以是變量. 這就是隨機(jī)變量的通俗的定義. 從數(shù)學(xué)的角度看,

5、隨機(jī)變量X本質(zhì)上是試驗(yàn)結(jié)果即樣本點(diǎn)的函數(shù)。故有如下的數(shù)學(xué)的定義.隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量的定義: 設(shè)= 為試驗(yàn)的樣本空間, 如果對每個(gè), 都對應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)X(), 則稱這樣的實(shí)值函數(shù)X()為隨機(jī)變量隨機(jī)變量.X()可理解成樣本點(diǎn)的某一個(gè)數(shù)字特征隨機(jī)變量常用大寫字母X, Y, Z等來表示, 其取值常用相應(yīng)的小寫字母x, y, z來表示.隨機(jī)變量的一些例子如:(1) 同時(shí)擲兩只骰子, 令X=擲得的數(shù)字和;(2) 連續(xù)拋一枚硬幣25次, 令Y=25次中的到的正面的次數(shù).變量的分類變量的分類 假如一個(gè)隨機(jī)變量只能取有限個(gè)或可列無窮個(gè)值, 則稱其為離散隨機(jī)變量(Discrete Random Variabl

6、e). 假如一個(gè)隨機(jī)變量的可能取值充滿數(shù)軸的一個(gè)區(qū)間, 如(a,b), 則稱其為連續(xù)隨機(jī)變量(Continuous Random Variable).例如例一中的X是一個(gè)離散隨機(jī)變量, 燈泡的壽命T是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量.有了隨機(jī)變量的概念后, 隨機(jī)事件就可以通過隨機(jī)變量來表示. 例如在維修人員的配備問題中, 用X表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù), 則X是一個(gè)隨機(jī)變量. 有關(guān)事件如(1)“同一時(shí)刻恰有k臺(tái)機(jī)床發(fā)生故障”可用X=k來表示;(2) “車間里同一時(shí)刻發(fā)生故障的機(jī)床臺(tái)數(shù)不超過m臺(tái)”可用Xk來表示這樣, 我們對隨機(jī)事件的研究就可以轉(zhuǎn)化成對隨機(jī)變量的研究.概率分布的定義概率分布的定義 隨機(jī)變量X的可

7、能取值和它取這些值的概率稱為X的概率分布. 正如研究隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)菢诱缪芯侩S機(jī)試驗(yàn)?zāi)菢? 我們不僅要知道隨機(jī)試驗(yàn)可能我們不僅要知道隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)哪些結(jié)果出現(xiàn)哪些結(jié)果, 更要了解這些結(jié)果出現(xiàn)的概率有多大更要了解這些結(jié)果出現(xiàn)的概率有多大. 同樣對隨機(jī)變量, 我們不僅要知道它取哪些值, 還要知道它取這些值的概率, 也就是該隨機(jī)變量的概率分布.本章的重點(diǎn)就是考察隨機(jī)變量的概率分布本章的重點(diǎn)就是考察隨機(jī)變量的概率分布. 概率分概率分布由于隨機(jī)變量的特點(diǎn)有不同的表達(dá)方式布由于隨機(jī)變量的特點(diǎn)有不同的表達(dá)方式, 下面首先介紹一個(gè)通用的工具通用的工具:隨機(jī)變量的分布函數(shù).2. 隨機(jī)變量的分布函數(shù)(Cumulat

8、ive Distribution Function, 簡稱 cdf)定義定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量, 對任意實(shí)數(shù)x, 稱F(x)=P(Xx)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù), 記為 XF(x). 分布函數(shù)刻畫的是變量X落在(-,x這種區(qū)間里的概率. 那么其它種類的區(qū)間呢?P(aa)=1-P(Xa)=1-F(a)這方面更詳細(xì)的討論待我們介紹完分布函數(shù)的性質(zhì)再繼續(xù).X落在其它種類區(qū)間的概率均可以用F(x)來表示.如:例一例一. 連續(xù)拋一枚硬幣三次, 定義X=獲得的正面的次數(shù). 求X的分布函數(shù).解解: X的取值情況如下表HHH HHT HTH THHTTHTHTHTTTTTX()32221110故故 X是一個(gè)離

9、散隨機(jī)變量是一個(gè)離散隨機(jī)變量, 可求得可求得X的概率分布為的概率分布為 x0123P(X=x)1/83/83/81/8所以根據(jù)分布函數(shù)的定義有所以根據(jù)分布函數(shù)的定義有:當(dāng)x0時(shí), F(x)=P(Xx)=0當(dāng)0 x1時(shí), F(x)=P(Xx)=P(X=0)=1/8當(dāng)1x2時(shí), F(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)=1/2當(dāng)2x3時(shí), F(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=7/8當(dāng)x3時(shí), F(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1綜上所述綜上所述, X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: xxxxxxF3 132 /8721 /2

10、110 /810 0)(當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)X的分布函數(shù)的圖形為的分布函數(shù)的圖形為:分布函數(shù)的三條基本性質(zhì)分布函數(shù)的三條基本性質(zhì):)()( ,)( .) 1 (2121xFxFxxxF有時(shí)即當(dāng)是單調(diào)非減函數(shù)單調(diào)性1)(lim)( , 0)(lim)( , 1)(0 , .)2(xFFxFFxFxxx且對任意有界性).()0( ),()(lim ,)( .) 3(00000 xFxFxFxFxxxFxx或?qū)懗杉磳θ我獾挠疫B續(xù)函數(shù)是右連續(xù)性證明: (1)(2)顯然, 我們證(3). )( )()()( ,1111001 iixXxPxXxPxFxF為此為此 .lim,)()3(0 F(x)xFxx

11、存在存在所以所以是單調(diào)有界不減函數(shù)是單調(diào)有界不減函數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)?).()(lim , ,0n021xFxFxxxxxnnn 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)只要對單調(diào)下降數(shù)列只要對單調(diào)下降數(shù)列為證右連續(xù)性為證右連續(xù)性 )(lim)()()( )(11111nniiiiiixFxFxFxFxXxP )0()(lim)( ,00 . xFxFx Fnn 所以所以 )()()( a)(aFbFbXaP )(1)( (b) bFbXP 有了X的分布函數(shù), 那么有關(guān)X的各種事件的概率都能方便地用分布函數(shù)表示了.從例二中X的F(x)圖象, 可以清楚地看出分布函數(shù)的這三條性質(zhì).例如例如, 對于任意的實(shí)數(shù)a, b, 有 )0()(

12、)( c)( aFaFaXP),()()( , 0 : aFaFaXaP有有對對證明證明)0()()( , 0 aFaFaXP有有令令 )0()( (d) bFbXP )()()( :bXFbFbXP 證明證明)0()0()()( bFbFbFbF )()0()( e)(aFbFbXaP )0()()( (f) aF bFbXaP)0()0()( (g) aFbFbXaP)()0( ),()0( ,)(bFbFaFaFxF 連續(xù)時(shí)連續(xù)時(shí)當(dāng)當(dāng)我們看一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量分布函數(shù)的例子.例三例三. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 0 , 00 ,)(22xxBeAxFx)21( )2(,)1( XPBA

13、求求求常數(shù)求常數(shù)解解:1)(lim , 1)(lim2/2 ABeAxFxxx)0()(lim ,0FxFx 右連續(xù)性右連續(xù)性0)(lim 2/02 BABeAxx1 B 0 00 1)( 2/2xxexFx)1()02()21()2(FFXP 4712. 0)1()2(22/1 eeFF注意到F(x)是連續(xù)的3. 離散隨機(jī)變量的概率分布列定義定義 若X是一個(gè)離散隨機(jī)變量, 如果X的所有可能值為x1, x2, ,xn, 則稱X取xi的概率pi=P(X=xi), i=1,2,n,為X的概率分布列概率分布列.一個(gè)離散型隨機(jī)變量的概率分布用分布函數(shù)來描述并不是一個(gè)離散型隨機(jī)變量的概率分布用分布函數(shù)來

14、描述并不是最方便的最方便的. 因?yàn)橐粋€(gè)離散隨機(jī)變量只取有限個(gè)或可列無限個(gè)值因?yàn)橐粋€(gè)離散隨機(jī)變量只取有限個(gè)或可列無限個(gè)值, 所以我所以我們可以定義其取每個(gè)值的概率們可以定義其取每個(gè)值的概率, 即給出該變量的即給出該變量的概率分布列概率分布列.例如例如, 變量變量X=擲一顆骰子得到的數(shù)擲一顆骰子得到的數(shù), 則則X的概率分布列的概率分布列是是概率分布列除可以用函數(shù)的方式給出, 也可以用列表的方式給出. P(X=xi)=1/6, i=1,2,6或者用列表的方式給出或者用列表的方式給出x123456P(X=x)1/61/61/61/61/61/6概率分布列的兩條基本性質(zhì)概率分布列的兩條基本性質(zhì):0)(

15、.)1( ixP非負(fù)性非負(fù)性1)( .)2(1 iixP正則性正則性反之, 如果一個(gè)數(shù)列pk滿足上面的兩條性質(zhì), 則必存在某離散隨機(jī)變量X, 使得pk成為X的概率分布列. )()()(: xxiiixXPxXPxF它的圖形是介于0,1間的階梯函數(shù), 它在X的每個(gè)取值點(diǎn)xi處有個(gè)跳躍, 其跳躍值恰為P(X=xi).(參看例二中F(x)的圖形).由X的概率分布列還可求得其分布函數(shù):例四例四(幾何分布幾何分布). 某射手每次射擊的命中率為p, 現(xiàn)對一個(gè)目標(biāo)連續(xù)射擊, 直到射中為止. 設(shè)X為該射手命中目標(biāo)時(shí)射擊的次數(shù), 求X的分布列和分布函數(shù).解解: 顯然顯然, X是一個(gè)離散隨機(jī)變量是一個(gè)離散隨機(jī)變量

16、, 其可能取值為其可能取值為1,2,.pqppppppkXPkk11)1()1()1)(1()( X的概率分布列為的概率分布列為k-1個(gè)當(dāng)當(dāng) x1時(shí)時(shí), F(x)=P(Xx)=0或者用列表的方式給出或者用列表的方式給出k123kP(X=k)ppqpq2pqk-1現(xiàn)求其分布函數(shù)現(xiàn)求其分布函數(shù).當(dāng)當(dāng)1 x2時(shí)時(shí), F(x)=P(Xx)=P(X=1)=p=1-q當(dāng)當(dāng) 2x3時(shí)時(shí), F(x)=P(Xx)=P(X=1)+P(X=2) =p+pq=p(1+q)=1-q2當(dāng)當(dāng) kxk+1時(shí)時(shí), F(x)=P(Xx) =P(X=1)+P(X=2)+P(X=k) =p+pq+pqk-1 =p(1+q+qk-1)

17、 =p(1-qk)/(1-q) =1-qk故分布函數(shù)為故分布函數(shù)為 1 ,11 , 0)(xqxxFx其中其中, x是對是對x取整取整, 即取小于或等于即取小于或等于x的最大整數(shù)的最大整數(shù).幾何分布是較為常用的一種離散分布, 一般用來描述次數(shù)不限的伯努利試驗(yàn)中次數(shù)不限的伯努利試驗(yàn)中A事件事件“首首次出現(xiàn)次出現(xiàn)”的概率的概率模型.通常稱為通常稱為幾何分布幾何分布.pqkpqkXPk1 , 2 , 1 ,)(1該例中該例中X服從的分布服從的分布:之所以稱為幾何分布之所以稱為幾何分布, 是因?yàn)榉植剂惺且驗(yàn)榉植剂衟qk-1正好組成一個(gè)正好組成一個(gè)幾何級數(shù)幾何級數(shù).4.連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)(Pro

18、bability Density Function, 簡稱 pdf)除了上面介紹的離散型隨機(jī)變量外, 還有另外一類隨機(jī)變量, 即連續(xù)型隨機(jī)變量, 如燈泡的壽命, 等候公共汽車的時(shí)間等. 它們的取值是非離散的, 充滿了某一實(shí)數(shù)區(qū)間. 是不是也可以用概率分布列的方式去描述其概率分布呢?首先連續(xù)隨機(jī)變量的取值是不可列的, 沒法象分布列那樣以可列的方式定義每個(gè)值的概率.答案是否定的.其次, 一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量取每個(gè)值的概率等于0, 所以研究其取每個(gè)值的概率是平凡的. 其原因是對于任意x0, 根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)有 P(X=x0)=F(x0)-F(x0-0), 又根據(jù)連續(xù)隨機(jī)變量的定義, F(x)連續(xù), 所

19、以F(x0)=F(x0-0), 所以P(X=x0)=0. 定義定義: 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x), 如果存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)p(x), 使得對任意實(shí)數(shù)x,xdttpxF)()(對于連續(xù)隨機(jī)變量, 我們常用其概率密度函數(shù)來描述其概率分布. 則稱X為連續(xù)隨機(jī)變量, 稱p(x)為X的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù), 簡稱密度函數(shù).由定義知, 在F(x)導(dǎo)數(shù)存在的點(diǎn)上有 )( )(xFxp即概率密度函數(shù)是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概率密度函數(shù)是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù).密度函數(shù)密度函數(shù)p(x)的兩條基本性質(zhì)的兩條基本性質(zhì):0)( .)1( xp非負(fù)性非負(fù)性1)( .)2( dxxp正則性正則性1)(lim)(lim)(:)

20、2( xFdttpdxxpxxx的證明的證明基于這兩條性質(zhì), 從圖形上看, 密度函數(shù)曲線密度函數(shù)曲線y=p(x)位于位于x軸上方軸上方, 且與且與x軸之間的面積等于軸之間的面積等于1.這一結(jié)果有直觀的幾何意直觀的幾何意義義: X落在(x1,x2之間的概率恰好等于密度函數(shù)曲線下與x軸在(x1,x2上包圍的面積.例如:如果X的密度函數(shù)為p(x), 則對任意x1,x2(x1x2)有 2112)( )()( )()()(1221xxxxdttpdttpdttpxFxFxXxP*借助于密度函數(shù), 我們可以計(jì)算關(guān)于變量X的概率. )()()()( bXaPbXaPbXaPbXaP *由于連續(xù)隨機(jī)變量取任意

21、一點(diǎn)的概率恒為0, 從而在事件“aXb” 減去X=a或者X=b, 不影響概率, 即*由定義可看出, 連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)一定是連續(xù)函數(shù), 而密度函數(shù)只是非負(fù)可積, 未必一定連續(xù).事實(shí)上, 對于一個(gè)連續(xù)的密度函數(shù), 任意改變其中一點(diǎn)的數(shù)值, 得到的不連續(xù)函數(shù)仍然是密度函數(shù), 因?yàn)槠浞e分值不變. 由此可知由此可知, 密度函數(shù)密度函數(shù)p(x)在在x處的值反映了隨機(jī)變量處的值反映了隨機(jī)變量X在在x附近附近取值的概率的大小取值的概率的大小, 相比于概率分布列相比于概率分布列p(xi)反映一個(gè)離散反映一個(gè)離散變量變量X在在xi處取值的概率的大小處取值的概率的大小, 兩者是很相似的兩者是很相似的.為什么這

22、么說呢?xxxXxPxxFxxFxFxpxx)(lim )()(lim)( )(00 *密度函數(shù)描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布, 在某種意義上與離散型時(shí)用分布列來描述是類似的.)()(xxXxPxxp 例五例五. 設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度 其它其它 , 043 , 2/230 ,)(xxxkxxf)2/71()3( ;)2( ;)1( XPXk求求的分布函數(shù)的分布函數(shù)求求求常數(shù)求常數(shù)解解: 30431)2/2( 1)( )1(dxxkxdxdxxf解得解得 k=1/6(2) X的分布函數(shù)為304330304 ,)22(643 ,)22(630 ,60 , 0)(xdttdttxdttdttxdttxxFxx即 4 , 143 ,42330 ,12 0 , 0)(22xxxxxxxxF4841) 1 ()2/7( )2/7(1 )3(FFXP例六例六. 設(shè)G是曲線y=1-x2與x軸所圍成的區(qū)域, 在G內(nèi)任取一點(diǎn)P, P到x軸的距離定義為X, 求變量X的分布函數(shù)和密度函數(shù).的面積陰影部分的面積G)( tX