靜電場4的解鏡像法場圖

1、工程電磁場基礎(chǔ)第 3 章 靜電場（4）靜電場的解(二)：鏡像法主講人：陳德智dzhchen華技大學電氣與電子2010年3月鏡像法（3.6節(jié)）(1)點電荷對平面導體的鏡像邊值問題：（除 q 所在點外的區(qū)域）（導板及無窮遠處）（S 為包圍 q 的小閉合面2j = 0j = 0vsD dS = q點電荷對平面導體上半場域邊值問題：（除 q所在點外的區(qū)域2j = 0q4pe0 r= 0 （對稱面及無窮遠處）（S 為包圍q 的閉合面）j =4pe0 rvs D dS = q兩等量異號電荷點電荷對平面導體的鏡像上半空間任一點的電位：q4pe0r2j =+4pe0r1q( 1 - 1 )=( y 0)4pe

2、0r1r2電場強度：qr 0E =+ 24peq4pe4per 2r20 10 2討論：寫出下半空間任一點的電位和電場。r 0r 0=-( 12 )( y 0)r 2r2012鏡像法在不改變求解區(qū)域電荷分布、介質(zhì)分布和邊界條件的前提下，用虛設(shè)的簡單電荷分布（稱為鏡像電荷）來等效地代替導體表面的感應電荷或介質(zhì)分界面上極化電荷對求解區(qū)域電場的貢獻，使場的解答滿足唯一性定理，從而大大簡化問題的求解。2j = - r求解區(qū)域三個不變：e微分方程不變電荷分布介質(zhì)分布不變解唯一邊界條件 不變鏡像法鏡像法特點虛設(shè)的電荷 鏡像電荷求解區(qū)域 有效區(qū)域非求解區(qū)域 無效區(qū)域用鏡像電荷取代無效區(qū)域的媒質(zhì)不均勻性，把求

3、解空間變?yōu)闊o限大均勻介質(zhì)；用真實電荷與鏡像電荷在有效區(qū)域產(chǎn)生的場的疊加給出原問題的解。鏡像電荷只能設(shè)置于無效區(qū)域；得到的解只適用于有效區(qū)域。例10 求空氣中一個點電荷 q 在地面引起的感應電荷分布情況。解: 設(shè)點電荷 q 離地面高度為h，則Ep = E+ + E-（方向指向地面）qqhcosqE= 2=4pep2pe (h2r2+ x2 )3/ 200qhs p = -e0 Ep = -2p(h2 + x2 )3 / 2整個地面上感應電荷的總量為-qhS0s 2p xdxdS =p2p (h21+ x2 )3/ 2= -q點電荷 q 在地面引起的感應電荷的分布= qh 21 / 2 2 (h+

4、 x)0鏡像法例11導板（接地）上下方各有一點電荷，求空間任一點電場強度及電位分布。Pr- q21q1r1e 0e 0e 0e 0r2 Qr2下半空間q2- q1上半空間解：由鏡像法：- q1q1q1q1j0=+=-r 0ErP14pe r 21P4pe r4pe r 4per 20 10 10 10 1- q2q2q2q2j0=+E=-r 0rQ4pe r24pe r 2Q4pe r4pe r 0 20 20 20 2導體板(無效區(qū)域)的厚薄對有效區(qū)的場沒有影響；唯有邊界重要。鏡像法平面鏡像的推廣e0e0e0-e0e0e0-鏡像法（2）點電荷對無限大介質(zhì)交界面鏡像qe1Pse2邊值問題： 2

5、j1 2j2= 0= 0（S 上方1 中除 q 所在點）（S 下方e 2 中）j1= j 2E= Ess1t2tj1j 2e= e= DD12nn1n2nss鏡像法的思路：假定不均勻的介質(zhì)能夠用一個點電荷等效，我們設(shè)法確定它的位置和大小。確定的依據(jù)是“三不變”。e 1e 2區(qū)的鏡像區(qū)的鏡像點電荷對無限大介質(zhì)交界面的鏡像e 1e 2區(qū)的鏡像區(qū)的鏡像E1t ，D1n ，E2t ， D2n計算交界面上任一點P 點qqqcosqE=cosq +cosqE=2t4peq1tpe rpe rr 22244211q 4p r 2sinq-Dsinq=D1n4p r 22n4pr 2由：q + E= ED=

6、Dee1n2n1t2t12q - 解出：討論：寫出空間任一點的電位和電場。1212（3）點電荷對導體球的鏡像a.設(shè)一點電荷位于一接地導體球附近，求它所產(chǎn)生的電位及電場分布。邊值問題：（除 q 所在點外的球外區(qū)域）（導體球表面）（S 為包圍 q 的小閉合面）2j = 0j = 0vs D dS = q鏡像法的思路：假定導體球能夠用一個點電荷等效，設(shè)法依據(jù)“三不變”原則確定它的位置和大小。點電荷對球面導體的鏡像設(shè)鏡像電荷 q ，則球表面上任一 P點的電位為：q j=+= 04pe4peprr0 10 2由余弦定理：= d 2 + R2 - 2Rd cosq= b2 + R2 - 2Rb cosqr

7、 21r 22代入整理得到：q2 (b2 + R2 ) - q 2 (d 2 + R2 ) + 2R(q 2 d - q2b) cosq = 0q2(b2 + R2) - q 2(d 2 + R2)+ 2R(q 2 d - q2b) cosq = 0上式與q 無關(guān)，故：q 2 d - q2b = 0q2 (b2 + R2 ) - q 2 (d 2+ R2 ) = 0得：討論：（1）寫出空間任一點(球內(nèi)與球外)的電位和電場。（2）導體球是空心的還是實心的對場有何影響？（3）計算導體球上的感應電荷。bd = R2 ,點電荷對球面導體的鏡像b.在問題a中，如果導體球不接地，求電位與電場分布。邊值問題

8、2j = 0vs D dS = qj = constvSc D dS = 0（除 q 所點外的球區(qū)域）（S 為包圍 q 的小閉合面）（導體球表面）（Sc為導體球表面）如何在問題a的基礎(chǔ)上加以修訂得到本題的？點電荷對球面導體的鏡像問題b的。討論：（1）如果體球本身還帶有電荷 Q ，結(jié)果如何？（2）導體球表面的電位是多少？（3）設(shè)球是空心的，內(nèi)部電位與電場怎樣分布？點電導體的鏡像c.設(shè)一點電荷位于接地導體球殼內(nèi)部，求它在球殼內(nèi)外所產(chǎn)生的電位及電場分布。用的疊加；球外電位與電場都為0。bd = R 2 ,電荷與鏡像關(guān)于球面反演。球內(nèi)是兩個電荷作點電荷對球面導體的鏡像d.在問題c中，球殼不接地，求球殼

9、內(nèi)外的電位及電場分布。球內(nèi)電場分布不變，但電位被抬高；球外的場相當于電荷位于球心的作用。鏡像法4) 導電圓柱之間的鏡像電軸法邊值問題： 2j = 0（導線以外空間）j= const1SAvD dS = t lSAj= const2SBvSBD dS = -t l兩導電圓柱形傳輸線圓柱的鏡像電軸法鏡像法的思路：假定導體圓柱能夠用線電荷等效，設(shè)法依據(jù)“三不變”原則確定它的位置和大小。預問題1：單根電的電場與電位。t eE =2pe 0rj = - E dl = - tln r + C2pe0雙電軸的電位。預問題2j = tln r22pe0r1電軸法設(shè)鏡像電荷（電軸）如圖， 導體外任一點P的電位為

10、： tln r2j2pe0r1P 位于A 表面時，當柱r- 2a (h - b) cosq= a2+ (h- b)2211111r- 2a (h + b) cosq= a2+ (h+ b)2221111j= tln r2 =const r= k r2222P2pr101電軸法+ (h + b)2 - 2a (h + b) cosqa21111= k 2a2 + (h - b)2 - 2a (h - b) cosq 1111a + (h + b)2 = 2a (h + b)2k=2 11 11+ (h - b)22a (h - b)a21111 h2 = a2 + b211類似，當 P 位于圓柱

11、B 表面時可得到 d = h1 + h2又三個方程聯(lián)立可確定參數(shù) h1, h2 和 b，從而原來的問題有解且唯一，鏡像法成立。h2 = a2 + b222電軸法討論：（1）兩圓柱半徑相同情況。（2）兩個導體中有一個可看作電軸。離d 遠大于半徑a時，可認為電軸位于圓心，表面電位為（3）j= tln aB2ped0j=tln dA2pea0（4）一個圓柱導電纜）問題。：于另一個圓柱導體內(nèi)部（偏心 d = h2 - h1進一步討論：a.b.電位表達式(參考點)；電場強度與耐壓問題。（參看p64-p66之例3.11和3.12）h2 = a2 + b222h2 = a2 + b211鏡像法不算題外的話：

12、深刻地理解唯一性定理，它表明，兩個場形態(tài)上可以千差萬別，但只要滿足相同的微分方程和邊界條件，就有相同的解答。鏡像法是求解邊值問題的法（構(gòu)造式的，說白一點，就是“湊出來”的方法），“湊”的依據(jù)是唯一性定理。和電位函數(shù) j電場強度 E是對同一個場的描述，除了j 可能有一個常數(shù)的差別外，二者是等價的。常數(shù)取決于參考點的選擇。鏡像法關(guān)于受力問題的一個簡單說明：帶電體受的力只與帶電狀態(tài)及它所處的場有關(guān)；對于導體材料，帶電狀態(tài)也取決于所處的場。因此，使用鏡像法時，帶電體受力可以用鏡像電荷對它的作用力等效。鏡像法只能解決一些特殊的邊值問題。更一般的邊值問題的求解方法，包括法和數(shù)值法，下節(jié)討論。作業(yè)：3.18,3.24,3.27選做有獎題：能否用鏡像法分析兩個帶電導體球之間的電場？給出詳細分析論證。（滿分2分）一些典型的場圖方芯圓殼偏心電纜電位分布與電力線分布靜電場場圖導體表面是等位面；兩導體之間，等位面形狀光滑過渡；電力線處處垂直于等位面。帶蓋的金屬槽電場分布靜電場場圖在兩電極夾角處，電力線呈弧形，等 位面成輻射狀分布。成夾角的導體板之間的電場邊界條件也稱定解條件。合適的邊界可以降低求解難度，減小求解規(guī)模；不恰當?shù)倪吔鐣聿磺‘數(shù)慕Y(jié)果。靜電場場圖點電荷對無限大