吳傳生第二章行列式Cramer法則

1、CramerCramer法則法則un 階行列式的定義、性質(zhì)及計算方法 u克拉默（Cramer）法則第二章第二章 行列式行列式1. 二階行列式對于給定的二元線性方程組11 1122121 12222(1)a xa xba xa xb其系數(shù)矩陣11122122aaAaa是一個二階方陣.用消元法求解線性方程組（1），得112212211122212112212212211121()()a aa axbab aa aa axb aba該式中 的系數(shù) 稱為由二階方陣 所確定的二階行列式，記為 12,x x11221221a aa aA11122122.aaDaa11122122detaaAAaa矩陣 的

2、行列式還記作 或 ，即det AAA一般地，二階行列式1112112212212122aaa aa aaa可按下圖所示的對角線法則確定其值： 11221221a aa a方陣與矩陣的區(qū)別方陣與矩陣的區(qū)別：二階方陣是 個數(shù)按確定的方式排成的一個數(shù)表，而二階行列式是這些數(shù)（也就是二階矩陣 ）按一定的運算法則所確定的一個數(shù)22A11a12a21a22a1122a a1221a a例例1 1 求解二元線性方程組121224132xxxx11 43 85,2 3D 2 46 4 2 0,1 3D 解解 因為22 14 1 3,1 2D 112252.32DxDxDD 所以定義定義 對于一個給定的3階方陣

3、 2. 三階行列式( ,1,2,3)ijAai j將之與數(shù)11 22 3312 23 3113 21 3211 23 3212 21 3313 22 31aa aaa aaa aaa aaa aaa a相對應(yīng)，那么這個數(shù)就稱為由矩陣 所確定的三階行列式A11 22 3312 23 3113 21 32a a aa a aa a a111213212223313233detaaaDAAaaaaaa記作11 23 3212 21 3313 22 31a a aa a aa a a例例2 2 計算三階行列式123312 .231D解解 3331231 2 3 2 3 1 3 1 218D 11121

4、32122233132330aaaDaaaaaa112233DDxDxDxDD利用消元法求解，則可得方程組的解為對于三元線性方程組，如果它的系數(shù)行列式為書寫方便，將之記成 312123,TT DDDxxxDDD其中 是用常數(shù)項 替換 中的第 列所得的三階行列式，即(1,2,3)jD j123, ,b b bDj1121312222333233baaDbaabaa1112132122231323.aabDaabaab1111322122331333abaDabaaba例3 解三元線性方程組1231231232415321xxxxxxxxx解24 115 310 12 1 5 6 48 011 1

5、D 114 125 3 1111 1D2211123911 1D 32411526111DT123,xxxT312,DDDDDDT1193,884 3. 階行列式n（1）設(shè) 是一階方陣，則它所確定的一階行列式 定義成數(shù) 1111Aaa11det Aa11a1112112212212122aaAa aa aaa采用遞歸的方法給出其定義：( ,1,2)ijAai j（2）二階矩陣 ，它所定義的二階行列式11121321222311 223312 23 3113 21 32313233aaaAaaaa a aa a aa a aaaa（3）對于三階矩陣 所確定的三階行列式( ,1,2,3)ijAai

6、 j11 23 3212 21 3313 22 31a a aa a aa a a1122 3323 321221 3323 311321 3222 31()()()a a aa aaa aa aaa aa a222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa即111213212223313233aaaaaaaaa222321231112323331332122133132aaaaaaaaaaaaaaa111212122212detnnnnnnaaaaaaDAAaaa(1)n(1)nnn（4）假設(shè)由 階方陣所確定的 階 行列式已有定義，那么， 階方陣所確

7、定 的 階行列式用歸納法定義為21232222313331112213nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa212,1111,1( 1) nnnnn naaaaa111212122212detnnnnnnaaaaaaDAAaaa那么，上述行列式的定義可記為nAijaij2(1)nA1nijMija( 1)ijijijAM ija( ,1,2, )i jn將 階矩陣 的元素 所在的第 行第 列處的元素劃去后， 中剩下的 個元素按原來的排列順序組成 階矩陣所確定的行列式記作 ，稱之為 的余子式余子式， 為 的代數(shù)余子式代數(shù)余子式1111121211111nnnjjja Aa Aa Aa

8、 A數(shù) 也稱為行列式 的第 行第 列處的元素 ，而元素 ， ， ，所在的對角線稱為行列式的主對角線；另一條對角線稱為行列式的次對角線ijaAij( ,1,2, )i jn11a22annaTDD行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即該性質(zhì)表明，行列式中的行與列具有同等的地位，行列式的性質(zhì)凡對行成立的對列也成立，反之亦然性質(zhì)2 互換行列式的兩行(列),行列式變號推論 若行列式兩行(列)完全相同，則此行列式為零1122iiiiininDAa Aa Aa A1(1,2, )nikikka Ain推論 方陣的某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即 11220,

9、ijijinjna Aa Aa Aij性質(zhì)3 行列式按行（列）展開法則 行列式等于對應(yīng)于它的方陣的任一行(列)的各元素與其代數(shù)余子式的乘積之和，即 性質(zhì)4 行列式的把一行（列）中所有元素都乘以同一常數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式推論1 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面推論2 行列式的某一行（列）的元素全為零，則此行列式為零；若行列式某兩行(列)成比例，則此行列式等于零111111niiininnnnaaDbcbcbbi性質(zhì)5 若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，例如，第 行的元素都是兩數(shù)之和：1111111111nniiniinnnnnnnaaaaDbbccaaaaD

10、則 等于下面兩個行列式之和：性質(zhì)6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一常數(shù)后加到另一行（列）對應(yīng)的元素上去，行列式不變5. 行列式的計算計算行列式的一種基本方法是利用性質(zhì)2，性質(zhì)4，性質(zhì)6將其化成三角行列式后而計算例1 計算2512371459274612DD13cc2131412rrrrrr24rr32422rrrr1522173429571642152202160113012015220120011302161522012000330036解解43rr15260120003300039 例21222212111112111() nnnjiij nnnnnxxxDxxxxxxxx這里記號

11、“ ”表示全體同類因子的乘積證明范德蒙（Vandermode）行列式221121211()jiijDxxxxxx 現(xiàn)假設(shè)式對 階范德蒙行列式成立，1n為此，從第 行開始，后行減去前行的 倍，有n1x證 用數(shù)學(xué)歸納法因為2n 所以，當 時等式成立n要證明等式對 階行列式也成立2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnnxxxxxxDx xxx xxx xxxxxxxxxxx232131122223111()()()nnnnnnnxxxDxxxxxxxxx提出，就有1()ixx按第一列展開，并把每列的公因子2ijn 213112()()()(

12、)nnjiij nDxxxxxxxx ，故1n上式右端的行列式是一個 階范德蒙行列式其中1()jiij nxx ()jixx按歸納法假設(shè)，它等于所有 因子的乘積例3 計算 階行列式n()abbbabDabbba(1)anb解 行列式中每行元素之和均為 ，從第第2列起，把每列均加到第1列上，提出公因子(1)anb，然后各行減去第1行：D12nccc(1)(1)(1)anbbbanbabanbba(1) canb11(1) 1bbabanbba100(1) 00bbabanbab21311nrrrrrr1(1) ()nanb abijrkrijrkr 在上述諸例將行列式化為上三角行列式的過程中，雖

13、然我們用到了性質(zhì)2，4，6中的各種運算，但是起關(guān)鍵作用的是運算 ，其他幾種運算只是使計算過程變得簡單一點而已稍作分析，便不難發(fā)現(xiàn)任何階行列式總能利用運算化為上三角形行列式，或化為下三角形行列式類似，利用運算 ijckc也可把行列式化為上三角形行列式或下三角形行列式例例4 設(shè)1111111111110000nnnnnmmmnmmmaaaaDccbbccbb11111det()nijnnnaaDaaa11121det()mijmmmbbDbbb12DD D證明證明 證 對 作運算 ，把 化為下三角行列式，設(shè)為1Dijrkr1D111112210nnnnnpDp pppp對 作運算 ，把 化為下三角

14、行列式，設(shè)為2Dijckc2D112112210nnnnnqDq qqqq11111nnnnaaDaa11121mmmmbbDbb111111111nnnnmmnmmpppDccqccq于是，對 的前 行作運算 ，再對 的后 列作運算 ，把 化成下三角行列式nDDijrkrijckcDm即111112.nnmmDppqqD D11 11221121 1222221 122,(1),nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb6.6.克拉默克拉默（CramerCramer）法則）法則對方程個數(shù)與未知量的個數(shù)相等的如下的線性方程組111212122212(2)n

15、nnnnna aaaaaAaaaTT1212,.(3)nnDDDx xxDDD定理定理1（克拉默法則）（克拉默法則）0DA的行列式 ,那么線性方程組（1）有解，并且解是唯一的，解可以通過系數(shù)表示為 如果線性方程組（1）的系數(shù)矩陣111,111,11212,122,121,1,1,1,2, .(4)jjnjjnjnn jnn jnnaab aaaab aaDjnaab aa 1122jjjnnjDb Ab Ab AjDj注意：將行列式注意：將行列式 按第按第 列展開，顯然列展開，顯然jDAj12,nb bb其中 是把矩陣 中的第 列換成方程組的常數(shù)項 所成的矩陣行列式，即 11 1122121

16、122221 1220,0,(5)0,nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x對于齊次線性方程組顯然 一定是解，稱為零解. 將克拉克拉默默法則用于齊次線性方程組（5），可得0,0,0T定理1 如果線性方程組（1）無解或至少有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零。 定理2 如果齊次線性方程組（5）的系數(shù)矩陣的行列式0DA那么它只有零解；也就是說，如果方程組（5）有非零解，0.DA那么必有例例1: 求一個二次多項式求一個二次多項式f(x)=ax2+bx+c, 使得使得f(1)=0, f(2)=3, f(3)=28. 解解: 由題意得由題意得 f(1) = a + b + c = 0, f(2) = 4a + 2b + c = 3, f(3) = 9a 3x + c = 28.這是一個關(guān)于三個未知數(shù)這是一個關(guān)于三個未