研一上課程數(shù)理課件第4章

1、第四章 拉普拉斯方程的格林函數(shù)法 到目前為止，我們已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了用分離變量法，行波法求解數(shù)學(xué)物理方程定解問題。本章我們討論用Green函數(shù)法求解拉普拉斯方程邊值問題。把拉普拉斯方程第一邊值問題的解通過格林函數(shù)以積分的形式表示出來。 1 格林公式2 拉普拉斯方程的邊值問題和基本解3 調(diào)和函數(shù)的基本積分公式和性質(zhì) 4 格林函數(shù) 5 格林函數(shù)的求解 注1 公式（5）和公式（6）分別稱為第一Green格林公式和第二Green格林公式。它們廣泛用于偏微分方程以及電磁學(xué)、熱學(xué)和流體力學(xué)等諸多領(lǐng)域格林函數(shù)的性質(zhì)（5條）見課本P113 5 格林函數(shù)的求解 對于Laplace方程的Dirichlet問題 我們

2、可以利用公式 求得其解，但需要先求出 上的格林函數(shù) 對于某些特殊的區(qū)域，它的格林函數(shù)G(x0,x)可用鏡像法求出。下面分別討論半空間和球形區(qū)域上的格林函數(shù)。 0,(32),uxuf x 00(, )()( )G x xu xf xdsn 001(, )4x xG x xvr5.1 半空間的格林函數(shù)及Dirichlet問題 求解上半空間Z0內(nèi)的Dirichlet問題 先求出格林函數(shù)G(M0，M).為此，在上半空間Z0的點M0(x0，y0，z0）處放置一單位正電荷，在點M0(x0，y0，z0）關(guān)于平面Z=0的對稱點M1(x0，y0，-z0）處放置一單位負(fù)電荷，如圖5.1所示。由它們所形成的靜電場的

3、電位在平面Z=0上恰好為0，因此上半空間的格林函數(shù)為00,0(33)( , ),xxyyzzzuuux yzuf x yx y 010111G(M,M )=()(34)4MMMMrr圖5.1 為了求出(33)的解，由公式（32）知，需要計算 。由于在上平面Z0的外法線方向是OZ軸的負(fù)向，因此 將（35）帶入到（32），得 Gn23202020002320202002320202000021)35(41zyyxxzzzyyxxzzzzyyxxzzzGnGzzz 注1 在（34）當(dāng)中，M1為M0關(guān)于Z=0的對稱點。若把平面Z=0看成鏡子，則M1為M0的像，所以這種求格林函數(shù)的方法稱作鏡像法。)36

4、()()(),(21),(23202020000000 dxdyzyyxxzyxfzyxu例1 設(shè)在均勻的半空間的邊界上保持定常溫度，在圓K：x2+y21內(nèi)等于1，而在其外等于0，求在半空間內(nèi)溫度的分布。 解：半空間內(nèi)溫度分布為如下的Dirichlet問題的解 由（36）式有 特別的在OZ軸的正半軸上，有 22220,01,1( , ,0)0,1xxyyzzuuuzxyu x yxyKdxdyzyyxxzzyxu232020200000)()(12),(201021200232020232020200011212), 0 , 0(zzzrrdrdzdxdyzyxzzuK于是，當(dāng)點（0，0，Z0

5、）沿著OZ軸的正半軸趨于正無窮遠時，u （0，0，Z0）0.5.2 球域上的格林函數(shù)及Dirichlet問題 考慮如下的Dirichlet問題 我們?nèi)匀焕苗R像法求球域上的格林函數(shù)。為此，在球的內(nèi)部任取一點M0(x0，y0，z0），連接OM0，并延長至M1，使 點M1稱為M0關(guān)于球面的反演點，如圖5.2所示。在M0放置單位正電荷，在點M1放置單位負(fù)電荷，我們要適當(dāng)?shù)倪x擇q的值，使得這兩個電荷產(chǎn)生的電位在球面上相互抵消。設(shè)P是球面上任意點，從而有 012*(38)OMOMrrR2222220,(37)( , , )( , , ),xxyyzzuuuxyzRu x y zf x y z xyzR0

6、1144M PM PqrrR0M1MoPR0M1MoM圖5.2故 由于 OPM0與 OPM1在點O有公共角，而夾角的相應(yīng)兩邊滿足(38)，即 ，因此這兩個三角形相似，從而有 也就是說我們必須在點M1處放置 個單位負(fù)電荷。在球面上的電位剛好為0，這時所形成的電場的電位為 因為v不僅在 內(nèi)是調(diào)和函數(shù)，在 上也是一次連續(xù)可微，而且在 上滿足 即10M PMPrqr01O MO MrRRr100M PMPOMrRqrr0O MRr014OMM MRvrr001144OMOMM MRrrr00111()04M POMM PRrrr所以球域上的格林函數(shù)為 為了求得問題（37）的解，我們需要計算 。注意到

7、其中 是OM與OM1的夾角。由 ，得球域上的格林函數(shù) 在球面 上 001011(,)()4M MOMM MRG M MrrrGn0220022111112cos112cosM MM Mrrrr rrrrrr0101,M MOMOMrrrrrr20 1r rR0222224000011(,)42cos2cosRG M Mrrr rr rR r rR 代入公式 得問題的解為 或?qū)懗汕蛎孀鴺?biāo)的形式 2000332222242200002203222001cos(cos )4(2cos )(2cos)14(2cos )r Rr RGGnrrrr rRrRrrr rr rR r rRRrRRrRr 00(,)()()G MMu Mf Mdsn 22003222001()()(40)4(2cos )Rru Mf MdsRRrRr222000030022200( ,)( , , )sin(41)4(2cos )RRru rf Rd dRrRr 其中 ，為點M0的坐標(biāo)， 為球面 上點的坐標(biāo)， 是OM0與OP夾角的余弦。因為向量的方向余弦分別為 與 所以 公式（40）或（41）稱為球面的柏松公式。000( ,)r ( , , )R cos00000(sincos,sins