固體物理習題解答第二章

1、1第二章習題解答第二章習題解答2.1 原子間相互作用勢能可寫為原子間相互作用勢能可寫為nmrBrA) r (u從概念上闡明，從概念上闡明，m、n兩個系數中哪一個較大？兩個系數中哪一個較大？設設 A、B0。穩(wěn)定時有。穩(wěn)定時有0rBnrAmru1n01m0rr0mAnBrmn0要形成穩(wěn)定的晶體，要形成穩(wěn)定的晶體，u(r0)必定為必定為u(r) 的極小值，即的極小值，即方法方法120rB) 1n(nrA) 1m(mru2n02m0rr220A) 1m(mB) 1n(nrmn0A) 1m(mB) 1n(nmAnBmn 方法方法2mAnBr mn0又有：又有：0rB) 1n(nrA) 1m(mru2nm

2、2mmrr22m因為因為 A、B0，3A) 1m(mB) 1n(nrmnmrm為兩原子的最大距離，必定有為兩原子的最大距離，必定有0mrr mAnBA) 1m(mB) 1n(n又因為又因為 A、B0，mn 42.2 對線型離子晶體，在一條直線上交替地載有電對線型離子晶體，在一條直線上交替地載有電荷荷q的的2N個離子，最近鄰之間的排斥勢能為個離子，最近鄰之間的排斥勢能為nrb（1）試證明在平衡間距下）試證明在平衡間距下)n11 (r42lnNq2)r (U0020（2）令晶體被壓縮，使）令晶體被壓縮，使r0 r r0 0(1-(1-) )。求證，在晶。求證，在晶體被壓縮單位長度的過程中，（外力）

3、所做的體被壓縮單位長度的過程中，（外力）所做的功主項為功主項為2C21其中，其中，002r42lnq) 1n(C歧義歧義5+q-q+q-q+q-q+q-qr02N個離子，長度個離子，長度 L=2Nr0 rb)r1(4qN) rbr4q(N )r (uN221UN21j1jnj1j102N21jnj1j102N21jj1（1） 由式由式(2.2-2)設設rrj1j121234534j解解:6)rBr4q(N br1)1(r4qNUn02N21jN21jnj1nj102其中其中2ln24131211141312111)1(N21jj1N21jnj1bB對一維情況，將參考點取在第一個原子上，則對一維

4、情況，將參考點取在第一個原子上，則 1j=j異號取負，同號取正異號取負，同號取正1)x , 1nx) 1()x1ln( (0n1nn令運用7)rBr2ln24q(NUn02在在 r = r0 處，處，0)rnBr2ln24q(Nru1n02002rr0nr42ln2qB1n002)r1nrr1(42ln2NqUn1n002)n11 (r42lnNq2)r (UE0020b結合能結合能8（2）令晶體被壓縮，使）令晶體被壓縮，使r0 r0(1-)晶體被壓縮，兩原子間距離縮小，晶體內能增大。晶體被壓縮，兩原子間距離縮小，晶體內能增大。2111 )r1nrr1(42ln2Nq) r (U n1n002

5、)1 (1n111r142ln2Nq)1 (r 1nr)1 (r1(42ln2Nq) r (U n002n01n0002)1(rr02n2) 1n(nn1)1 (1及及9222n21nn112) 1n(nn1 n11)1 (1n1112002020020022002)1(rr21nr42lnNq2)r (U21nr42lnNq2)n11 (r42lnNq2)21nn11 (r142ln2Nq) r (U 0200220020)1(rrr42lnq) 1n(2N221nr42lnNq2)r (U) r (UU 0內能增大內能增大10002r42lnq) 1n(C外力對晶體單位長度所做的功：外力對

6、晶體單位長度所做的功：2220020C2121nr42lnq2NrUA 2002r42lnq) 1n(C（可對比量綱）（可對比量綱）外力對每對離子做功：外力對每對離子做功：22002C21r42lnq) 1n(212NUA 11或：或：晶體被壓縮，晶體被壓縮，r0 r0(1-)?？紤]到?？紤]到或或 r0 是小量。是小量。)r1nrr1(42ln2Nq) r (U n1n0022002200220002202n01n0300220rr1n1n020220rr2220rr220rrr42lnq) 1n(2N2) 1n(r42lnNq221)r1nr2(42lnNq221)r(rr ) 1n(r24

7、2lnNq221)r ()r1nrnr1(r42ln2Nq21)r (rU21)r (rU21)r (rU) r (U0000=0122.3 有一晶體，平衡時體積為有一晶體，平衡時體積為V0，原子間總的相互作，原子間總的相互作用能為用能為U0。如果原子間相互作用能可寫為。如果原子間相互作用能可寫為nmrr) r (u請證明該晶體的體彈性模量請證明該晶體的體彈性模量K00V9mnU1K（注：書中符號有誤）（注：書中符號有誤） )rr(2NUN1jnj1mj1晶體總相互作用能：晶體總相互作用能：設設rrj1j113)rBrA(2N)1r1r(2NUnmN1jnj1nN1jmj1m設平衡時設平衡時

8、r = r0 。由。由2.1題題令令 V= Cr3 。V為晶體總體積，為晶體總體積，r為相鄰兩原子間距。為相鄰兩原子間距。VrrUVU rUV)Vr(Vr)rU()VrrU(VVU 222214rU)Vr(VrrUrUVrrVrVrrU2222222平衡時平衡時 r = r0，V=V00)rU(0r0000rr22VV2VVrr22rU)Vr()VU( 由由 V= Cr3， V0= Cr030040222rr22VCr91rC91)Cr3(1)rV(1)Vr(0rB) 1n(nrA) 1m(m2NrU2n02m0rr220152m02m02m0mn02m0rr22rA)mn(m2NA) 1n(

9、mA) 1m(mr12NmAnBB) 1n(nA) 1m(mr12NrB) 1n(nA) 1m(mr12NrU 0由由2.1題題mAnBrmn0（1）又因為又因為Annmr12N)mAnBBA(r12N)rBA(r12N)rBrA(2NUm0m0mn0m0n0m0016Anmnr12NUm00（nm）合并（合并（1）和（）和（2）（2）020r22Urmn)rU(0由楊氏模量定義：由楊氏模量定義：00020000r22r20V220V9mnUUrmnVCr91V)rU()Vr(V)VU(VK000172.4 NaCl晶體體彈性模量為晶體體彈性模量為 2.41010Pa，在，在2109Pa的氣壓

10、作用下，晶體中兩相鄰離子間的距離將縮的氣壓作用下，晶體中兩相鄰離子間的距離將縮小百分之幾？小百分之幾？)VP(V1K VPVKKPVV或或設設 V= Cr3KPrr3CrrCr3VV32%7 . 2104 . 23102K3PK3PPKP31rr1090（P0 為一個大氣壓，為一個大氣壓，1.01325105Pa）在約在約2萬個大氣壓作用下，晶體內兩原子的間距僅僅縮小不到百分之萬個大氣壓作用下，晶體內兩原子的間距僅僅縮小不到百分之3。182.5 實驗測量如實驗測量如LiF晶體的結合能為晶體的結合能為 Eb=-U(r0)=-1017.7 kJ/mol 最近鄰距離最近鄰距離r0=2.01410-1

11、0m。試計算。試計算LiF的體彈性模量。的體彈性模量。00221br4eZZ)n11 (2NE mol/100177. 1r4eZZ)n11 (2N600221Z1，Z2=1； =1.747（與（與NaCl相同）。相同）。設在設在 1 mol的晶體中，共有的晶體中，共有NA個個Li+和和NA個個F-?？倲涤?。總數有2NA個離子。個離子。mol/100177. 1eZZr4N2n11622100（1）198414. 0)10602. 1 (747. 110014. 21082. 8410022. 6100177. 1)10602. 1 (747. 110014. 21082. 84100177.

12、 1N22n11219101223621910126A30. 6n （2）體彈性模量）體彈性模量KeZZr721n 221400Pa1022. 7)10014. 2(1085. 872) 13 . 6()10602. 1 (747. 1) 1n(r72eZZK1041012219400221202.6 如果如果NaCl結構中離子的電荷增加一倍，晶體的結合結構中離子的電荷增加一倍，晶體的結合能及離子間的平衡距離將發(fā)生多大的變化？能及離子間的平衡距離將發(fā)生多大的變化？n0221rBr4ezzN21U 0rBnr4ezzN21rU1n0200221r022101n0ezznB4r)n11 (r4ez

13、zN21)r (U00221021當當 z12z1，z22z2 時，時，B不變，不變，r0 r0，u(r0) u(r0)1n022101n0r41ez2z2nB4r01n122100r)41(ez2z2nB4r1nn1n1000022100221000b0b4)4(4rr4)n11 (r4ezzN21)n11 (r4ez2z2N21)r (U)r ( U)r (E)r (E若取若取n=9，距離比為，距離比為0.84；能量比值約為；能量比值約為4.76。22補充題：補充題：兩個相距為兩個相距為r 的原子的相互作用能通?？蓪憺椋旱脑拥南嗷プ饔媚芡ǔ？蓪憺椋?rr) r (u其中其中 ， 為常數。為常數。1）求原子的平衡距離）求原子的平衡距離 r0。2）平衡時排斥勢能與吸引勢能的比值。）平