微積分課件上第三章

1、一、一、微分的定義微分的定義二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義三、基本初等函數(shù)的微分公式三、基本初等函數(shù)的微分公式 與微分運(yùn)算法則與微分運(yùn)算法則五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的微分函數(shù)的微分四、微分在近似計算中的應(yīng)用四、微分在近似計算中的應(yīng)用一、微分的定義(differential)1.1.實例實例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設(shè)邊長由設(shè)邊長由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數(shù)的線性函數(shù)A

2、x .,很小時可忽略很小時可忽略當(dāng)當(dāng)?shù)母唠A無窮小的高階無窮小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0再例如再例如,.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時時為為處的改變量處的改變量在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很小時很小時當(dāng)當(dāng) x .320 xxy ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計算又是較好的近似值既容易計算又是較好的近似值問題問題: :這個線性函數(shù)這個線性函數(shù)(改變量的主要部分改變量的主要部分)是否是否所有函數(shù)的改變量都有所有函數(shù)的改變量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?

3、2 2. 定義定義.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記作記作的微分的微分相應(yīng)于自變量增量相應(yīng)于自變量增量在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)并且稱并且稱可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)則稱函數(shù)則稱函數(shù)無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中成立成立如果如果在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分ydy ( (微分的實質(zhì)微分的實質(zhì)) )由定義知由定義知: :;)1(的線性函數(shù)的線性函數(shù)是自變量的改變量是自變量的改變量xdy ;)

4、()2(高階無窮小高階無窮小是比是比 xxodyy ;,0)3(是等價無窮小是等價無窮小與與時時當(dāng)當(dāng)ydyA dyy xAxo )(1).0(1 x;)(,)4(0有關(guān)有關(guān)和和但與但與無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與xxfxA ).(,)5(線性主部線性主部很小時很小時當(dāng)當(dāng)dyyx 3.可微(differentiable)的條件).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)數(shù)數(shù)可微的充要條件是函可微的充要條件是函在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)定理定理證證(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00則則.A

5、).(,)(00 xfAxxf 且且可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)即函數(shù)即函數(shù)(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 從而從而,)(0 xfxy即即,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)).(.0 xfA 可微可微可導(dǎo)可導(dǎo).)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或記作記作微分微分稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的的微分的微分在任意點(diǎn)在任意點(diǎn)函數(shù)函數(shù)例例1 1解解.02. 0, 23時的微分時的微分當(dāng)當(dāng)求函數(shù)求函數(shù) xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 02

6、3 xxxxxxdy.24. 0 .,xdxdxxx 即即記作記作稱為自變量的微分稱為自變量的微分的增量的增量通常把自變量通常把自變量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商導(dǎo)數(shù)也叫導(dǎo)數(shù)也叫該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之商等于之商等于與自變量的微分與自變量的微分即函數(shù)的微分即函數(shù)的微分dxdy二、微分的幾何意義)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 幾何意義幾何意義:(:(如圖如圖) ).,對應(yīng)的增量對應(yīng)的增量就是切線縱坐標(biāo)就是切線縱坐標(biāo)坐標(biāo)增量時坐標(biāo)增量時是曲線的縱是曲線的縱當(dāng)當(dāng)dyy xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段的附近的附近

7、在點(diǎn)在點(diǎn)很小時很小時當(dāng)當(dāng) ( geometrical meaning of the differential )三、基本初等函數(shù)的微分公式 與微分運(yùn)算法則dxxfdy)( 求法求法: : 計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.1.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx

8、222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc)(,),(duufdyuufy 是是自自變變量量時時當(dāng)當(dāng)對對于于函函數(shù)數(shù):)(,)()(的的微微分分為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)都都可可導(dǎo)導(dǎo)及及設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xgfyxguufy dxxgufdxydyx)()( ,)(dudxxg 又又因因為為的的微微分分公公式式也也可可寫寫成成所所以以復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(xgfy 結(jié)論結(jié)論：

9、的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,ufyu 微分形式的不變性微分形式的不變性duufdy)( 3. 復(fù)合函數(shù)的微分法則復(fù)合函數(shù)的微分法則;)(duydyduufdyu 或或例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求設(shè)設(shè) ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求設(shè)設(shè) )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 例例5 5解解.,si

10、ndybxeyax求求設(shè)設(shè) )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例4 4解解.),12sin(dyxy求求設(shè)設(shè) . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 例例6 6解解在下列等式左端的括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)在下列等式左端的括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt .cos

11、)sin1(tdtCtd );sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22 ,cos42xxx ).()cos4()(sin22xdxxxxd 四、微分在近似計算中的應(yīng)用, 0)()(00很小時很小時且且處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)若若xxfxxfy .)(0 xxf 00 xxxxdyy ;)(. 10附近的近似值附近的近似值在點(diǎn)在點(diǎn)求求xxxf 000()()().yf xxf xfxx .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時很小時x ;0)(. 2附近的近似值附近的近似值在點(diǎn)在點(diǎn)求求 xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfx

12、fxxf ., 00 xxx 令令例例7 7.0360coso的近似值的近似值計算計算 .23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 解解,cos)(xxf 設(shè)設(shè))( ,sin)(為弧度為弧度xxxf ,360,30 xx解解?,05. 0,10問面積增大了多少厘米半徑伸長了厘米的金屬圓片加熱后半徑,2rA 設(shè)設(shè).05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrdAA 205. 0102 ).(2厘米厘米 例例8 8常用近似公式常用近似公式)(很小時很小時x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;

13、111)1(xxxexxxxxxxnxxn 為弧度為弧度為弧度為弧度證明證明,1)()1(nxxf 設(shè)設(shè),)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 例例9 9.計算下列各數(shù)的近似值計算下列各數(shù)的近似值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97. 0 五、小結(jié) 思考題微分學(xué)所要解決的兩類問題微分學(xué)所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的變化率問題函數(shù)的

14、增量問題函數(shù)的增量問題微分的概念微分的概念導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué)研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫做叫做微分學(xué)微分學(xué).導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:.可微可微可導(dǎo)可導(dǎo) 導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:.,)(),()(. 100000它是無窮小它是無窮小實際上實際上的定義域是的定義域是它它的線性函數(shù)的線性函數(shù)是是而微分而微分處的導(dǎo)數(shù)是一個定數(shù)處的導(dǎo)數(shù)是一個定數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)Rxxxxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 .)(,()()()(,)(,()

15、()(,. 200000000的縱坐標(biāo)增量的縱坐標(biāo)增量線方程在點(diǎn)線方程在點(diǎn)處的切處的切在點(diǎn)在點(diǎn)是曲線是曲線而微分而微分處切線的斜率處切線的斜率點(diǎn)點(diǎn)在在是曲線是曲線從幾何意義上來看從幾何意義上來看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf 近似計算的基本公式近似計算的基本公式.)0()0()(xffxf 00 xxxxdyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,很很小小時時當(dāng)當(dāng) x ,0時時當(dāng)當(dāng) x思考題思考題 因因為為一一元元函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 x的的可可微微性性與與可可導(dǎo)導(dǎo)性性是是等等價價的的，所所以以有有人人說說“微微分分就就是是導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)就就是

16、是微微分分”，這這說說法法對對嗎嗎？思考題解答思考題解答說法不對說法不對. 從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)變化出線性主部而得到的，導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)變化率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念的極限，它們是完全不同的概念. 思考題思考題 某家有一機(jī)械掛鐘, 鐘擺的周期為1秒. 在冬季, 擺長縮短了0.01厘米, 這只鐘每天大約快多少?,(2為擺長單擺的周期公式為：lglT )980,:2scmgcm取單位gldldTglT 可得由,2解：lgldTTll ,時當(dāng)據(jù)題設(shè), 擺的

17、周期是1秒, 由此可知擺的原長為于是周期現(xiàn)擺長的改變量,01. 0).()2(2cmlcmg 的改變量為)(0002. 0)01. 0(2)01. 0()2 (22sgggdTT 也就是說, 由于擺長縮短了0.01cm, 鐘擺的周期便相應(yīng)縮短了大約0.0002秒, 即每秒約快0.0002秒, 從而每天約快. )(289.176060240002. 0s練練 習(xí)習(xí) 題題 一一練習(xí)題一答案練習(xí)題一答案一、一、填空題：填空題： 1 1、 利用公式利用公式)()()(000 xxxfxfxf 計算計算)(xf時，要求時，要求_很小很小. . 2 2、 當(dāng)當(dāng)0 x時 ， 由 公 式時 ， 由 公 式dy

18、y 可 近 似 計 算可 近 似 計 算_)1ln( x； _tan x，由此得，由此得_45tan ；_002. 1ln . . 二二、 利利用用微微分分計計算算當(dāng)當(dāng)x由由 45變變到到0145 ,時時，函函數(shù)數(shù)xycos 的的增增量量的的近近似似值值( (017453. 01 弧弧度度) ). .三三、 已已知知單單擺擺的的振振動動周周期期glT 2，其其中中980 g厘厘米米/ /秒秒2 2，l為為擺擺長長（單單位位為為厘厘米米） ，設(shè)設(shè)原原擺擺長長為為 2 20 0厘厘米米，為為使使周周期期T增增大大 0 0. .0 05 5 秒秒，擺擺長長約約需需加加長長多多少少？練練 習(xí)習(xí) 題題 二二四四、 求求近近似似值值：1 1、 136tan；2 2、 5002. 0arcsin； 3 3、3996. .五、設(shè)五、設(shè)0 A，且，且nAB ，證明，證明 1 nnnnABABA，并計算，并計算101000的近似值的近似值 . .六、已知測量球的直徑六、已知測量球的直徑D有有 1%1