希望杯第一屆(1990)初中一級第2試試題

1、一、選擇題(每題1分，共5分)以下每個題目里給出的 A, B, C, D四個結論中有且僅有一個是正確的請你在括號填上你認為是正確的那個結論的英文字母代號.1 .某工廠去年的生產(chǎn)總值比前年增長a%那么前年比去年少的百分數(shù)是(Da 1aA. a%B. (1+a)%. C. D.100a100 a2. 甲杯中盛有2m毫升紅墨水，乙杯中盛有 m毫升藍墨水，從甲杯倒出 a毫升到乙杯里0< av m,攪勻后，又從乙杯倒出 a毫升到甲杯里，那么這時(C)A. 甲杯中混入的藍墨水比乙杯中混入的紅墨水少.B. 甲杯中混入的藍墨水比乙杯中混入的紅墨水多.C. 甲杯中混入的藍墨水和乙杯中混入的紅墨水相同.D.

2、 甲杯中混入的藍墨水與乙杯中混入的紅墨水多少關系不定.3. 數(shù)x=100,那么(C)A. x是完全平方數(shù).B. (x 50)是完全平方數(shù).C. (x 25)是完全平方數(shù).D. (x+50)是完全平方數(shù).砂釧0缸吶o0(n+l)40i=疝喬璋嘯農(nóng)刪d+両顧十劉n<0(血0牛0屈如=曲零破0+朝坤0+W=102 +10+50=(IO1143)2 +2 W114-2 * 5 + 50.n+22 x 25=(10+5)4. 觀察圖1中的數(shù)軸：用字母a，b，c依次表示點A，B，C對應的數(shù)，那么 丄，丄 丄的ab b a c大小關系是(C)1B 1120)*34.由所給出的數(shù)軸表示(如圖 3)2 1

3、可以看出 一-.0丄hC尹1在工割0此理*測令護彳 VV,A.1ab1； B. c1 1< -b a ab1< ;C.c1 1 1 < < - c b a ab；D.1 1 1-< <c ab b a5. x=9 , y= 4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一組整數(shù)解，這個方程的不同的整數(shù)解共有 D2 2 5.方程 2x +5xy+3y =30可以變形為2x+3yx+y=1 2 3 - 5Tx, y是整數(shù)， 2x+3y, x+y也是整數(shù).由下面的表2x+3y130152103 155X+V30121531056-1-3n-15 J -in -3-

4、6-5w+y3-1a-15/-ID £ 上A. 2組.B. 6組.C. 12組.D. 16組.二、填空題(每題1分，共5分)1. 方程 |1990x 1990|=1990 的根是 x=2或0.原方程可以變形為|x 1|=1，即x-1=1或-1 , x=2或0.2. 對于任意有理數(shù)x, y,定義一種運算*，規(guī)定x*y=ax+by cxy，其中的a, b, c表示 數(shù)，等式右邊是通常的加、減、乘運算.又知道1*2=3 , 2*3=4 , x*m=x (m 0)，那么m 的數(shù)值是4.3. 新上任的宿舍管理員拿到20把鑰匙去開20個房間的門，他知道每把鑰匙只能開其中的一個門，但不知道每把鑰匙

5、是開哪一個門的鑰匙，現(xiàn)在要翻開所有關閉著的 20個房間，他最多要試開210次.3.V翻開所有關閉著的20個房間，最多要試開20十 19 + L8 + - -十孑十2十1 二竺乜 * 20 = 21(Wt.24. 當m=5時，二元二次六項式6x2+mxy 4y2 x+17y 15可以分解為兩個關于 x，y的二元一次三項式的乘積.利用“十字相乘法分解二次三項式的知識，可以判定給出的二元二次六項式2 26x +mxy-4y -x+17y-15中劃波浪線的三項應當這樣分解：3x -52x +3現(xiàn)在要考慮y，只須先改寫作然后根據(jù)-4y2，17y這兩項式，即可斷定是：由于(3x+4y-5)(2x-y+3)

6、=6x2+5xy-4y 2-x+17y-15 就是原六項式，所以 m=5.5三個連續(xù)自然數(shù)的平方和(填“是或“不是或“可能是)不是某個自然數(shù)的平方.設三個連續(xù)自然數(shù)是 a-1 , a, a+1,那么它們的平方和是(a-1) 2+a2+(a+1) 2=3a2+2,顯然，這個和被3除時必得余數(shù)2.另一方面，自然數(shù)被3除時，余數(shù)只能是0或1或2，于是它們可以表示成3b, 3b+1, 3b+2 (b是自然數(shù))中的一個，但是它們的平方2 2(3b) =9b(3b+1) 2=9b2+6b+1,2 2(3b+2) =9b+12b+42=(9b +12b+3)+1被3除時，余數(shù)要么是0,要么是1 ,不能是2,

7、所以三個連續(xù)自然數(shù)平方和 不是某個自然 數(shù)的平方.三、解答題(寫出推理、運算的過程及最后結果每題5分，共15分)1 兩輛汽車從同一地點同時出發(fā)，沿同一方向同速直線行駛，每車最多只能帶24桶汽油，途中不能用別的油， 每桶油可使一輛車前進 60公里，兩車都必須返回出發(fā)地點，但是可 以不同時返回，兩車相互可借用對方的油.為了使其中一輛車盡可能地遠離出發(fā)地點，另一輛車應當在離出發(fā)地點多少公里的地方返回？離出發(fā)地點最遠的那輛車一共行駛了多少公1. 設兩輛汽車一為甲一為乙，并且甲用了x升汽油時即回返，留下返程需的x桶汽油,將多余的(24-2x)桶汽油給乙.讓乙繼續(xù)前行，這時，乙有 (24-2x)+(24-

8、x)=48-3x桶汽油,依題意，應當有 48-3X < 24 , x> &甲、乙分手后，乙繼續(xù)前行的路程是(24七):陽-購 * 60= 30(48-4x)(公里)這個結果中的代數(shù)式30(48-4x)說明，當x的值愈小時，代數(shù)式的值愈大，因為x> 8,所以當x=8時，得最大值30(48-4 8)=480 (公里)，因此，乙車行駛的路程一共是2(60 8+480)=1920 (公里).2. 如圖2,紙上畫了四個大小一樣的圓，圓心分別是A, B, C, D,直線口通過A, B,直5(S 1)，直線 m,線n通過C, D,用S表示一個圓的面積，如果四個圓在紙上蓋住的總面積是n之間被圓蓋住的面積是8，陰影局部的面積S1, S2, S3滿足關系式S3=-S1=-S2,求S.332由題設可得XS-1) = 4S-S1-S2-S3.Sj = S2 = 3S3.又 2S-1/2*S i-S2-1/2*S 3即2S-5S3=8由、消去虧得需5的正整數(shù)解.x y z 63. y, z是 1Z整數(shù)9 并且 i-!+ - <1,V Z 6 x, y,z者E> 1,丄 A于是 m y z111 旦k x y z x x x x可確定x 6 x 5 j聖工=2吋得丄.1