高一數(shù)學函數(shù)的定義域與值域(講義)(精)

1、高一數(shù)學函數(shù)的定義域與值域一、知識歸納：(一)函數(shù)的定義域與值域的定義：函數(shù)y=f(x中自變量x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應的y的值叫做函數(shù)值。函數(shù)彳1的集合f(x xC A叫做函數(shù)的值域。(二)求函數(shù)的定義域一般有 3類問題：1、已知解析式求使解析式有意義的x的集合常用依據(jù)如下：分式的分母不等于 0;偶次根式被開方式大于等于0;對數(shù)式的真數(shù)大于 0,底數(shù)大于0且不等于1;指數(shù)為0時，底數(shù)不等于 02、復合函數(shù)的定義域問題主要依據(jù)復合函數(shù)的定義，其包含兩類：已知fg(x的定義域為xC (a,b)求f(x的定義域，方法是：利用 a求 得g(x的值域，則g(x的值域即是f(x的定義

2、域。已知f(x的定義域為xC (a,b)求fg(x的定義域，方法是：由a求得 x的范圍，即為fg(x 的定義域。3、實際意義的函數(shù)的定義域，其定義域除函數(shù)有意義外，還要符合實際問題的要求。(三)確定函數(shù)的值域的原則1、當數(shù)y=f(x用表格給出時，函數(shù)的值域是指表格中實數(shù)y的集合。2、當函數(shù)y=f(x圖象給出時，函數(shù)的值域是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數(shù)y的集合。3、當函數(shù)y=f(x用解析式給出時，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對應法則唯一確定。常見函數(shù)的值域：函數(shù)y=kx +by=ax2+b x+cy=axy=iog ax值域Ra0aR且y304jc- bO，+弋 鞏 4 4a4、當函數(shù)由實際

3、問題給出時，函數(shù)的值域由問題的實際意義確定。（四）求函數(shù)值域的方法：1、觀察法，2、配方法，3、判別式法，4、反函數(shù)法，5、換元法，6、圖象法等二、例題講解：【例1】求下列函數(shù)的定義域y(1) log2j+L(32-4l)(2)(3y=lg(a x-kb x (a,b02x+ l (J 2 I f 32-4( 解析(1)依題有, 1j x - - X一n / 05o1lx* lag4 3 1叫 31$*55 xkI 2kn x 022*MP*1 WP/kW NiJ/t一)u (一 -l) u 1-b517 71“丫 I k)思義，則ax-kbx0,即當kwo時，定義域為Ra logd kx l

4、og4 k當k0時，(I)若 ab0,則 i定義域為x| i x log j kx0,則當0時定義域為 R ;當k 1時，定義域為空集評析把求定義域的問題等價轉化為關于x的不等式(組)的求解問題，其關鍵是列全限制條件(組?！纠?】設y=f(x的定義域為0 , 2,求(1) f(x 2+x; (2f(|2x-1|; (3f(x+a-f(x-a (a0 的定義域分析：根據(jù)若f(x的定義域為a,b,則fg(x的定義域為awg(xwb的解集，來 解相應的不等式(或不等式組)V +0(x 0或-11 3 ,-?2解：(1)由 0Wx2+xW2 得，T +2 .卜2名/】.定義域為-2,- 1 U0,1(

5、2由1 2x-1 0, 若2-aa,即0a 1時，定義域為x|a x1時，xC 4 ,此時函數(shù)不存在變式：已知函數(shù)f(x+1的定義域是0, 1,求函數(shù)f(x的定義域。1 , 2 【例3】求下列函數(shù)的值域197+3y- j(1)4一3 (2) - A+ 1(3) y= 5 - 2k(分析)(1)可分離常數(shù)后再根據(jù)定義域求值域，也可反解x求值域(2)常數(shù)后再利用配方法求解，也可采用判別式法(3)可以用換元法或者單調性法解：(1)方法一：分離常數(shù)法，函數(shù)的值域為(-8, 2) U (2, +8)方法二：反函數(shù)法2 A+ I由.X- 3 得（3）,整理得：（y-2 ） x=3y+1 ,若 y-2=0

6、,有 3y+1=0 ,與 y-2=0 矛盾3yt 1x -若y-2現(xiàn)有2 ,.y及函數(shù)的值域為y| y茬（2方法一：配方法jT x + 32%1j3 3尸 3= 1 + ： a* - x+ I = （x）” + 一之一 r-x+1而244 2slit II0 一；邑一 1 川 1尸4 |工-x+】3 ，3函數(shù)的值域為-3方法二：判別式法變形得(y-1 ) x2-(y-1x+y-3=0當y=1時，此方程無解11當 y 旬時，-.x R . .= (y-1 ) 24(y-1(y-3力，解得 1 y3. I), H1 yi 一又口力，3 , .函數(shù)的值域為3(3)方法一：換元法1-r11I-a =

7、y (f +1)* + I一令 VI-2Ap= f,則 t 詞且 222(一8，函數(shù)的值域為方法二：單調性法（- B +-函數(shù)的定義域及y二-4 2*在，2上均是增函數(shù)R_Z- （_/，故，二5-2x在 2上是增函數(shù)變式1：已知函數(shù)f(x的的值域是8 9 ,求廣A+的值域。34 I11 IA一 一1 2，J1 一 2 f(*) M -解：. 89,94,-32令 f = V】-2 Al ,則 32， I 、 Iy=f(r)=(l-f )+f = (/*I + 1 221 居一I,3 2, ,函數(shù)y=F(t在區(qū)間3 2上遞增函數(shù)的值域為9 8f（K）二I變式2:已知,父+I ,求J=）的值域V

8、= r的值域?！纠?】（1）求y- log! (a2 - 4a + 5)(2)求函數(shù)2的值域。（分析）（1）分段函數(shù)的值域的求法從局部研究，把握局部和整體的關系(2)屬復合函數(shù)y=fg(x的值域問題，先由函數(shù)定義域求出u=g(x的值域，再在此值域上求出y=f(u的值域解：(1)若 x1,貝U x-1 碼,03x- K1 ,有-21,則 1-x0, 031-x1 , 有-231-x-2-1,綜上有：y|-21, 求b的值解：(1)只要u=ax2+(2a+1x+3能取到(0, +0)上的所有實數(shù)，則 f(x的值域為R,:當a=0時u=x+3能取到(0, +)上的所有實數(shù)。n 2一/ 2m當aw0時應有(“八)- $日x， 口解得22(2 由題意得，當 xC(-oo, 2 時，1+2x+a4x0,I 1 : 1 x3 = T T T，xe(-8, 2 時， 442。尸心“一5在(-8, 2)上是增函數(shù)。最大值是16161 .門/( a) = -( *一 i r + (3) 2在1 , b上是增函數(shù)，f(x 在1 , b上的值域是1,f(b,I *(ft -1) +1 = b由題意知f(x在1 , b上的值域是1 , b , f(b=b ,即2解得b=1(舍去或b=3點