高考志愿報(bào)考模型的研究

1、承諾書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則 .我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵 件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問 題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他 公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正 文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反 競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從 A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲?/p>

2、整的全名）：山東大學(xué)參賽隊(duì)員（打印并簽名）：1. 青城霖傲2. 劉永軒3. 柳吟軒指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人（打印并簽名）：張清華日期：2011 年8 月20日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：編號(hào)專用頁賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號(hào)）：全國評(píng)閱編號(hào)（由全國組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）關(guān)于高考志愿報(bào)考模型的研究摘要在每一年的高考志愿填報(bào)中涉及到很多隨機(jī)因素和策略，考生往往不知道如何科學(xué)的填報(bào)志愿，本文在提取大量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，主要解決的是在考生的分?jǐn)?shù)、 想報(bào)考的專業(yè)及院校所在地區(qū)都已經(jīng)確定

3、了的情況下為考生找到那個(gè)某專業(yè)的 層次水平較高且被錄取的概率較大院校。首先，我們通過查閱資料并結(jié)合實(shí)際確定影響報(bào)考志愿的因素為錄取把握（B1）、發(fā)展前景（B2）、興趣特長（B3）及他人意見（B4）。然后我們通過層次 分析法將半定量、辦定性的問題轉(zhuǎn)化為定量分析問題，并用 Matlab軟件求得權(quán) 向量，即得到各自權(quán)重分別為 0.4914、0.2689、0.1460、0.0937。在描點(diǎn)畫出每年的各高校的錄取分?jǐn)?shù)線與投檔線的離散圖形的基礎(chǔ)上，觀察出錄取分?jǐn)?shù)線與投檔線存在線性關(guān)系，經(jīng)過擬合發(fā)現(xiàn)其與線性回歸符合的很好， 以此線性回歸模型預(yù)測出今年華東地區(qū)各院校工商管理專業(yè)在山東省的錄取分 數(shù)線，由于預(yù)測

4、出來的分?jǐn)?shù)與實(shí)際都有一定的偏差，為了保險(xiǎn)起見并且在追求好的專業(yè)層次水平的基礎(chǔ)上，求最好的報(bào)考院校時(shí)引入了修正值。最后，根據(jù)我們的研究分析，生成志愿填報(bào)報(bào)告供該考生參考。關(guān)鍵詞：最優(yōu)目標(biāo)值 層次分析法 線性回歸模型 專業(yè)層次水平 修正值8問題重述在每年的高考結(jié)束后，考生和家長就投入到了緊張的志愿填報(bào)之中。在每年的高考結(jié)束后，有許多父母都為自己參加高考后的孩子填報(bào)志愿發(fā)愁?，F(xiàn)在流行的一句話是：高考是考學(xué)生，填報(bào)志愿是考父母。現(xiàn)在用數(shù)學(xué)建模的方法解決 以下問題：1、填報(bào)志愿要考慮的因素，并給出它們的權(quán)重。2、寫出報(bào)考志愿的算法。3、根據(jù)上述算法，編寫出程序。4、生成填報(bào)志愿報(bào)告。今年有一位山東省考生

5、考了 545分，想要報(bào)考華東地區(qū)的某高校工程管理專 業(yè)，在建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上為他生成一份填報(bào)志愿報(bào)告，供他參考。問題分析要考慮的因素及它們的權(quán)重屬于層次分析問題，用層次分析法就可以將其解 決。而填寫報(bào)考志愿的算法是一個(gè)預(yù)測問題， 實(shí)際上每個(gè)院校的錄取分?jǐn)?shù)線與投 檔線在一定的程度上存在線性關(guān)系，故可以用線性回歸模型來解決。給山東考生 生成一份大報(bào)志愿報(bào)告，不僅是給出某個(gè)院校工程管理專業(yè)一個(gè)預(yù)測的分?jǐn)?shù)，而且是要在院校工程管理專業(yè)的層次水平和報(bào)考該院校的錄取可能性之間找到最 好的志愿，即找到那個(gè)專業(yè)層次水平較高且報(bào)考錄取可能較大的院校，故在這個(gè)時(shí)候就很需要引入修正值，來保證報(bào)考該學(xué)校有足夠的機(jī)會(huì)被

6、錄取。模型假設(shè)1、在同地區(qū)大學(xué)的某專業(yè)，具院校專業(yè)層次水平越高，則錄取分?jǐn)?shù)線就越高。2-每位考生都在求穩(wěn)一一即以最大概率錄取的基礎(chǔ)上，在考慮各院校專業(yè)之間 的層次水平的差異。3、華東地區(qū)內(nèi)各市經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平相差不大，不會(huì)對(duì)考生選擇不同城市的院校產(chǎn) 生影響。符號(hào)說明CI : 一致性指標(biāo)RI :隨機(jī)一致性指標(biāo)CR : 一致性比率Bi :第i個(gè)影響因素o :權(quán)向量孫：第i個(gè)影響因素所占權(quán)重yi：某一院校歷年的錄取分?jǐn)?shù)線X：某地區(qū)該批次的投檔分?jǐn)?shù)線ai (i=0,1):回歸線的系數(shù)H0：假設(shè)的條件X,y:觀測值的矩陣mark：考生考取的分?jǐn)?shù)y：預(yù)測成績與真實(shí)的偏差ti :歷年分?jǐn)?shù)與一批分?jǐn)?shù)線的差值ki

7、:該院校某專業(yè)的層次水平和被錄取的概率模型建立與求解問題一：填報(bào)志愿要考慮的因素及它們的權(quán)重1、問題的分析對(duì)于報(bào)考志愿這一事件，要想做出最優(yōu)決策，需要考慮的因素很多。而這些 因素有些可以定量化，有些只能定性分析。為了將半定量、辦定性的問題轉(zhuǎn)化為 定量分析問題，我們可以采用層次分析法 1。首先，我們確定目標(biāo)為：填報(bào)高考志愿（O）。我們將需要考慮的因素歸結(jié)為： 錄取把握（B1）、發(fā)展前景（B2）、興趣特長（B3）及他人意見（B4）。其中發(fā)展前 景包括專業(yè)就業(yè)率、專業(yè)發(fā)展前景、將來就業(yè)薪水、個(gè)人發(fā)展前途、將來考研便 利性、社會(huì)對(duì)該專業(yè)的需求量等；興趣特長包括自己對(duì)該專業(yè)的興趣、 該專業(yè)是 否適合自己

8、、個(gè)人志向、自身特長等；他人意見包括親朋好友意見、家長意見、 老師意見；錄取把握包括成績、報(bào)考人數(shù)、及是否熱門專業(yè)等。目標(biāo)函數(shù)為 、O=01 B1+2 g2 + 3 B3+4 b4。因?yàn)槲覀冎恍枰贸龈饕蛩貙?duì)我們目標(biāo)層影2、模型的建立及求解1.21構(gòu)造對(duì)比矩陣面臨決策問題是：要比較各影響因素對(duì) O的影響。要確定各因素對(duì) O的影響 權(quán)重，我們用兩兩比較的方法將各因素重要性的定性部分定量化。根據(jù)相對(duì)尺度，aijBBj= AuA =(aj)mMa Aai =一1我們構(gòu)造如下矩陣：A =12 13利用matlab軟件2 運(yùn)行以下程序:A=1 2 4 4;1/2 1 2 3;1/4 1/2 1 2;1/

9、4 1/3 1/2 1%判斷矩陣vec,val=eig(A)%求特征向量和特征值w=vec(:,1)/sum(vec(:,1) %求得每個(gè)指標(biāo)的權(quán)重得至U 九=4.0458 ;權(quán)向量 co = (0.4914 , 0.2689 , 0.1460 , 0.0937 ) T。由于A不是一致陣，所以我們必須進(jìn)行一致性檢驗(yàn),檢驗(yàn)如下:1 一nCI=n n -14.0458-44-1=0.0153查表可得隨機(jī)一致性指標(biāo) RI=0.9;CR=0.0153=0.0170.1;所以通過一致性檢驗(yàn)。0.9 綜上可得 丫。=0.4914 B1+ 0.2689 B2+0460 B3 +0.0937 B4 ；即錄取把

10、握、發(fā)展前景、興趣愛好、他人意見對(duì)報(bào)考志愿影響權(quán)重分別為 0.4914、0.2689、0.1460 和 0.0937 。問題二：報(bào)考志愿的算法由于前一題確定的個(gè)人興趣，及地區(qū)因素在每個(gè)考生中占有很大的個(gè)人主觀性，尤其是興趣愛好是天生不可該改變的， 即考生將會(huì)選擇的地區(qū)及專業(yè)是確定 的。故想要達(dá)到最大的目標(biāo)值一一報(bào)考上最理想的學(xué)校，只能從學(xué)校從中尋找最 優(yōu)的目標(biāo)值。1 .由于每個(gè)學(xué)生填報(bào)該學(xué)校前，該校該專業(yè)在該年的錄取分?jǐn)?shù)線是不確定的，故只能通過往年的錄取分?jǐn)?shù)線來估計(jì)今年的錄取分?jǐn)?shù)線，首先將往年的該校該專業(yè)錄取分?jǐn)?shù)線與投檔線進(jìn)行比較， 尋找其中的規(guī)律。從全國所有的院校中找 出有某一專業(yè)的院校在某

11、地區(qū)的錄取分?jǐn)?shù)線和該批次的投檔線，其中表示yi某一院校歷年的錄取分?jǐn)?shù)線，x表示某地區(qū)該批次的投檔分?jǐn)?shù)線。畫出散點(diǎn)圖yi與x , 并觀察yi與x之間的關(guān)系：各茨變錄取分?jǐn)?shù)線與技材次夫系笈點(diǎn)匡575580585590595600山東省莫一批士投桓七氧線安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 口:西理H大學(xué)0 5 0 6 O 5 o -o o -O 0 5 0 9 9 8 8 7 7 66 5 5 46 - -O 5 5 5 5 5 5 5 5 5圖2-1 :各院校工商管理專業(yè)在山東省錄取分?jǐn)?shù)與投檔線關(guān)系散點(diǎn)圖由該圖明顯可以看出各院校專業(yè)在某地區(qū)歷年的錄取分?jǐn)?shù)線與該地區(qū)的投檔分?jǐn)?shù)線存在著線性關(guān)系3 L初步假設(shè)其服從于一次線性

12、回歸：y a ao aix2 、對(duì)上述回歸模型進(jìn)行檢驗(yàn)：因變量yi與自變量xi之間是否存在線性關(guān)系是需要檢驗(yàn)的，顯然，如果所有的 同 者B很小，yi與x的線性關(guān)系就不明顯，所以可令原假設(shè)為：H ： ai =0;記yi, x的觀測值分別為yj , xj當(dāng)Ho成立時(shí)統(tǒng)計(jì)量F =UmF(m,n -m -1)Q (n m 1) 在顯著性水平儀下，若F1_.2(m,n -m -1):二 F :二 F,2(m, n -m -1),接受Ho；否則，拒絕。接受H0只說明y與x的線性關(guān)系不明顯，可能存在非線性關(guān)系，如平方關(guān)系。當(dāng)上面的 心被拒絕時(shí)，久不全為零，但是不排除其中若干個(gè)等于零。所以應(yīng)進(jìn)一步作如下m+1

13、個(gè)檢驗(yàn)(j = 0,1n)：H0j):aj =0當(dāng)H0j)成立時(shí)tj.Q (n -m -1)t(n -m -1)對(duì)給定的0t ,若tj cQ(n-m-1)接受H0j);否則，拒絕 23 、經(jīng)過檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)上述現(xiàn)行回歸模型成立，因此就可以擬合求出某地區(qū)各院 校專業(yè)歷年的錄取分?jǐn)?shù)線與該地區(qū)的投檔分?jǐn)?shù)線回歸方程yi=a0+a1x的系數(shù)值%,ao將考生所在的省份的批次投檔分?jǐn)?shù)線帶入上述表達(dá)式就能大概預(yù)測出， 將考生所考的分?jǐn)?shù)marks與其進(jìn)行比較，如果mark yi,則將其歸為一類。4、學(xué)校的專業(yè)的層次水平是影響各考生填報(bào)志愿的最優(yōu)目標(biāo)值的一個(gè)相當(dāng) 大的因數(shù)。比較權(quán)威的專業(yè)的層次水平方法為：(1)不具有學(xué)

14、士學(xué)位的授予權(quán)， (2)具有學(xué)士學(xué)位的授予權(quán)，(3)具有碩士學(xué)位的授予權(quán)，(4)具有博士學(xué)位的授 予權(quán)，(5)全國重點(diǎn)專業(yè)。而實(shí)際上某院校某專業(yè)的層次水平越高，其預(yù)測的yi就越大，則mark-yi就越小，即錄取結(jié)果受實(shí)際錄取分?jǐn)?shù) y波動(dòng)就越大。故在此 的主要矛盾就是要在各院校某專業(yè)的層次水平和預(yù)測的yi之間找到產(chǎn)生最優(yōu)的目標(biāo)值的條件。其實(shí)各院校專業(yè)每年的錄取分?jǐn)?shù)與預(yù)測的分?jǐn)?shù)都是有偏差的，將y；-yi定義為正向偏差y,從正向偏差y中找到最大的y,將其作為修正值a。： a0=max(小)令mark- yi的結(jié)果為報(bào)考該院校的凈差分：tti =mark- yi當(dāng)凈差分越接近修正值時(shí)，即ki =ti

15、-ai|/ai*100%當(dāng)ki越小時(shí)，則表示該院校某專業(yè)的層次水平較高且被錄取的概率較大。 故實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)最大值，就是要找到使 k取得最小值的i,即min(ki); 實(shí)現(xiàn)這條件的i院校即為我們所要求的報(bào)考的最理想院校。問題三：算法的程序1、用matlab求解線性回歸方程21 yi=a0+a1xclc, cleara=textread(data1.txt)y=a(：,1)；y=nonzeros(y) %y 是歹！J 向量x=a(：,2);x=xplot(x,y,.)2、擬合參數(shù)程序：clc, cleara=textread(data1.txt)y=a(:,1);y=nonzeros(y) %y

16、是歹！J 向量x=a(:,2);n=length(x);X=ones(n,1),x;b,bint,r,rint,st=regress(y,X)3、做F檢驗(yàn)的Matlab程序如下：clc, cleara=textread(data1.txt)y=a(:,1);y=nonzeros(y) %y 是歹！J 向量x=a(:,2);n=length(x); % 樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)X=ones(n,1),x;b,bint,r,rint,st=regress(y,X)q=sum(r.A2) %計(jì)算殘差平方和ybar=mean(y)yhat=X*b;u=sum(yhat-ybar).A2) %計(jì)算回歸平方和m=3;

17、 %變量的個(gè)數(shù)f=u/m/(q/(n-m-1) % 計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量的值fw1=finv(0.025,m,n-m-1), fw2=finv(0.975,m,n-m-1)%h面計(jì)算上1-alpha/2 分位數(shù)和上alpha/2分位數(shù)clc, cleara=textread(data1.txt)y=a(：,1)；y=nonzeros(y) %y 是歹！J 向量x=a(：,2);n=length(x); % 樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)X=ones(n,1),x;b,bint,r,rint,st=regress(y,X)q=sum(r.A2) %計(jì)算殘差平方和c=diag(inv(X*X) %計(jì)算 cjj的值m=3;

18、%變量的個(gè)數(shù)t=b./sqrt(c)/sqrt(q/(n-m-1)tfw=tinv(0.975,n-m-1) % 計(jì)算 t 分布的上 alpha/2 分位數(shù)100200300475.9524400500問題四：填報(bào)志愿報(bào)告該同學(xué)考取的分?jǐn)?shù)已經(jīng)知道一一545分，要報(bào)考院校的地區(qū)也已經(jīng)確定一一 華東地區(qū)，該趣愛好也已經(jīng)得知一一工程管理，山東省的一本線、二本線也已經(jīng) 得知，545分正屬于一本線和二本線之間。在這些條件下要達(dá)到被一個(gè)較好的學(xué) 校錄取，那么就要在華東地區(qū)所有開設(shè)工程管理專業(yè)的二本院校之間尋找最優(yōu)值 一一尋找報(bào)考哪個(gè)院校該專業(yè)的層次水平較高而風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較小。首先，要在華東地區(qū)找到所有開設(shè)工程管理專業(yè)的二本院校，將這些院校工程管理專業(yè)歷年在山東省的錄取分?jǐn)?shù)和這幾年的一本的投檔線讀入到excel表格中待用。由前一題已經(jīng)證明各院校專業(yè)在某地區(qū)歷年的錄取分?jǐn)?shù)線與該地區(qū)的投 檔分?jǐn)?shù)線存在著線性關(guān)系。運(yùn)用第三問編的程序，從剛生成的excel表格中導(dǎo)入數(shù)據(jù)，就可預(yù)測出今年各院校工程管理專業(yè)在山東省的錄取分?jǐn)?shù)線min( ki)(i=1,2,3,4,5,6)。其次，分別將yi (i=1,2,3,4,5,6)與該考生考取的分?jǐn)?shù)545進(jìn)行比較。如果yi545,則認(rèn)為報(bào)考該院校風(fēng)險(xiǎn)太大，而將它舍棄。根據(jù)第二問中的方法求出