高考數(shù)學(xué)全國卷選做題之不等式

1、20102016不等式高考真題2010全國卷 設(shè)函數(shù)f(x)= 2x4+1(I )畫出函數(shù)y=f(x)的圖像；(II)若不等式f(x) wax的解集非空，求a的取值范圍.2011全國卷 設(shè)函數(shù)f(x) =|x -a |+3x ,其中a>0 . 當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)之3x+2的解集.(II)若不等式f(x)E0的解集為x|x"1,求a的值.2012全國卷 已知函數(shù)f(x) = |x + a| + |x 2|.(1)當(dāng)2=3時(shí)，求不等式f(x)A3的解集；(H )若f(x)< |x4|的解集包含1,2,求a的取值范圍2013全國卷 I已知函數(shù) f (x) = |2x-

2、1|+|2x + a|, g(x) = x+3.(I)當(dāng)a=-2時(shí)，求不等式f (x) < g(x)的解集；(H)設(shè)a>-1,且當(dāng)x 6 -j 1)時(shí)，f(x)&(x)，求a的取值范圍.2013全國卷H設(shè)a, b, c均為正數(shù)，且a+b+ c=1,證明:i(1) ab+ bc+ ac< ； 32,22a b c (2) 1.b c a2014全國卷I若a0,b0,且工+工二廟a b(I)求a3十b3的最小值；(II)是否存在a,b,使得2a +3b =6?并說明理由.2014全國卷 H 設(shè)函數(shù) f (x)= x + 1 + x a (a>0) ''

3、; a(I )證明：f (x)>2(H)若f(3)<5,求a的取值范圍.2015 全國卷 I已知函數(shù) f&)=|x+1|-2|x-a|, a>0.(I)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；(H)若f(x)的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍2015全國卷H 設(shè)a,b,c,d均為正數(shù)，且a+b=c + d.證明:(1)若abcd,貝U聲+而的+百；(2) &+而的+聲是|ab| |cd的充要條件.2016 全國卷 I 已知函數(shù) f(x)= I x+1 I - I 2x-3 I .(I)在答題卡第(24)題圖中畫出y= f(x)的圖像;20

4、16全國卷H 已知函數(shù)f(x)= I x-1 I + I x+1 I , M為不等式f(x) <2的解 集.(I)求 M;(II)證明：當(dāng) a,b M 時(shí)，I a+b I < I 1+ab I。2010全國卷2 -2x 5,x 二（I）由于fx= 2x-3,x>2.則函數(shù)y= %）的圖像如圖所示。5分（H ）由函數(shù)y = f.）與函數(shù)丫=2乂的圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)a<2時(shí)，函數(shù)y=f（x）與 函數(shù)y=ax的圖像有交點(diǎn)。故不等式fqRax的解集非空時(shí)，a的取值范圍為(-i, -2 kj I ,收 Io10 分22011全國卷(I)當(dāng)a=1時(shí)，f (x)之3x+2可化為|x1

5、巨2。由此可得x>3ngx<-1o故不等式f(x) A3x+2的解集為x|x之3或x«1(H)由 f(x)E0 得 x - a + 3x < 0此不等式化為不等式組：；3x，0x - ax - a即 <芻或$x<.a因?yàn)閍>0,所以不等式組的解集為42奴 |x ->2由題設(shè)可得-a= -1,故a =222012全國卷(1)當(dāng) a = 3時(shí)，f(x)之3y x-3 + x-2 >3J- x <2_L 2 ： x ： 3 J- x-3u i或仁i或=i= xw1或x243-x 2 -x -33-x x-2 -3 x-3 x-2-3 原

6、命題U f （x）耳x-4在1,2上恒成立u x + a +2-xW4-x在1,2上恒成立u -2-xMa<2-x在1,2上恒成立 u -3<a <02013全國卷I(1)當(dāng) a= 2 時(shí)，不等式 -*)<«)化為|2*1| +|2x 2| -x-3<0.設(shè)函數(shù) y=|2x1| +|2x2| x3,，二 15x,x < 一，2則y= -x-2,1<x<1,其圖像如圖所示.從圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)x6(0,2)時(shí),23x-6,x >1. I<0.所以原不等式的解集是x0<x<2.(2)當(dāng) x61a，； |時(shí)，f(x)

7、= 1 + a.不等式 f(x)wg(x)化為 1+awx + 3.所以xna2對x6 1ai都成立.一 2 2故ana2,即 a <4.23從而a的取值范圍是匚111,32013全國卷n解：(1)由 a2+b2A2ab, b2+c2A2bc, c2+a2>2ca,得 a2 + b2+c2nab+ bc+ ca.由題設(shè)得(a+b+c)2= 1,即 a2+b2 + c2+2ab+ 2bc+2ca=1.所以 3( ab+ bc+ ca) w 1,即 ab+ bc+ ca< 1.2因?yàn)閍-+b >2a ,bb2b-+c 至2b , c2+a >2c , a222故 a-

8、+ + c-+(a+b+c)A2( a+ b + c), b c a2.22即+ + > a+ b+ c.b c a222所以T+)+Jn1.b c a2014全國卷I(I )由dab =1+1之一2=,得ab2 ,且當(dāng)a = b =討2時(shí)等號成立, a b ab故a3十b3至3姐3 b3 =4四，且當(dāng)24=加時(shí)等號成立，.a3+b3的最小值為4<25 分(H)由(I)知：2a+3b>276ab>4<3 ,由于 4、；3>6,從而不存在 a,b ,使得 2a + 3b = 6.10分2014全國卷n(I )由 a>0,有 f (x) = | x+1/a

9、 | + | x-a | > | x+1/a-(x-a)| =1/a+a >2.所以 f (x) >2.(H ) f (x) = | 3+1/a | + | 3-a | .當(dāng) a>3 時(shí)，f (3) =a+1/a,由 f (3) <5得 3<a<,1J14,、 , a的取值范圍為當(dāng) 0<aw 3 時(shí)，f (3) =6-a+-, f (3) <5 得一<aW3 綜上所訴,2015全國卷I(1 )解析：(I )當(dāng)a = 1時(shí)，不等式f(x)>1可化為|x + 1 - 2x- 1> 1,等價(jià)于xx - -1i-x-1 2x-2

10、1-1 x ： 1x 1 2x-2 1Lx 1 - 2x 2 1L，解得 ”x：2.x -1 - 2a, x :二 T(2)由題設(shè)可得，f(x)=43x+1-2a,-1MxWa,所以函數(shù)f(x)的圖像與x軸圍成-x 1 2a, x a的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為 A(四二1,0) , B(2a+1,0), C(a,a+1),所以 ABC的面 3積為2(a+1)2.由題設(shè)得2(a+1)2>6,解得a>2.所以a的取值范圍為(2, +叼.332015全國卷n【解析】(I)因?yàn)?指+Tb)2 = a + b+2r_aq (TC+Vd)2 = c + d+2 而，由題設(shè)a+b = c+d, a

11、bcd, W (Va+Vb)2 >(Vc + Vd")2 .因止匕0+ G > VC + Vd .(H ) ( i )若 a -b <|c -d ,貝U (a b)2 < (c d)2 .即(a + b)2 4ab < (c + d)2 4cd 為 a+b=c+d,所以 abcd ,由(I)得 石+ />&+而.(ii )若Oa+7b>5/0 +府，貝！J (而 + 而)2 >(Vc +而)2,即 a b +20b->c書+2T為 a+b=c+d,所以 ab>cd, TM(a-b)2 =(a+b)2 -4ab <

12、;(c + d)2-4cd =(c-d)2 .a -b < c d ,綜上，+ R+ Vd是 a-b <|c-d 的充要條件.2016全國卷I.因.因因此x -4 , x w -1 f x = 3x -2,-1 <x ：-如圖所示：f x i >1當(dāng) x<1, x4>1,解得 x>5 或 x<3x < T當(dāng)一1<x<3, 3x-2 >1 解得 x>1 或 x<l23:T <x <1 或 1 <x <32當(dāng) x>|, |4-x >1 ,解得 x>5或 x<3.3 < x <3或 x >52綜上，x <1或1<x<3或 x>53，|f(x)>