高考排列組合典型例習(xí)題

1、歡迎共閱排列組合典型例題例1用0到9這10個(gè)數(shù)字.可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？分析：這一問(wèn)題的限制條件是：沒(méi)有重復(fù)數(shù)字；數(shù)字“0”不能排在千位數(shù)上；個(gè)位數(shù)字只能是0、2、4、6、8、，從限制條件入手，可劃分如下：如果從個(gè)位數(shù)入手，四位偶數(shù)可分為：個(gè)位數(shù)是“ 0”的四位偶做，個(gè)位數(shù)是2、4、6、8的四位偶數(shù)（這是因?yàn)榱悴荒芊旁谇粩?shù)上）.由此解法一與二.如果從千位數(shù)入手.四位偶數(shù)可分為：千位數(shù)是1、3、5、7、9和千位數(shù)是2、4、6、8兩類，由此得解法三.如果四位數(shù)劃分為四位奇數(shù)和四位偶數(shù)兩類，先求出四位個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)，用排除法，得解法四.解法1:當(dāng)個(gè)位數(shù)上排“ 0”時(shí)，千位，百位，十位上可

2、以從余下的九個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)來(lái)排列，故有A；個(gè)； I Z當(dāng)個(gè)位上在“ 2、4、6、8”中任選一個(gè)來(lái)排，則千位上從余下的八個(gè)非零數(shù)字中任選一個(gè)，百位，十位上再?gòu)挠嘞碌陌藗€(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)來(lái)排，按乘法原理有a4 A8 A82 （個(gè)）.沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有A； +A：/8 A2 =504 + 1792 =2296 個(gè).I X # ' 解法2:當(dāng)個(gè)位數(shù)上排“ 0”時(shí)，同解一有A；個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)上排2、4、6、8中之一時(shí)，千位，百位，十位上可從余下9個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)的排列數(shù)中減去千位數(shù)是“0”排列數(shù)得：A： .（8A；）個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有A； +A（慰-A；） =504 +1792 =2

3、296 個(gè).解法3:千位數(shù)上從1、3、5、7、9中任選一個(gè)，個(gè)位數(shù)上從0、2、4、6、8中任選一個(gè)，百位， 十位上從余下的八個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)作排列有A1 A5 &個(gè)I I干位上從2、4、6、8中任選一個(gè)，個(gè)位數(shù)上從余下的四個(gè)偶數(shù)中任意選一個(gè)（包括0在內(nèi)），百位，十位從余下的八個(gè)數(shù)字中任意選兩個(gè)作排列，有 1 I,A； A： &個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有A5 A5 A2 + A4 A4 A2 =2296 個(gè).解法4:將沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)字劃分為兩類：四位奇數(shù)和四位偶數(shù).沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有A2-A3個(gè).其中四位奇數(shù)有A；（A；-儲(chǔ)）個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有= 2296 個(gè)說(shuō)

4、明：這是典型的簡(jiǎn)單具有限制條件的排列問(wèn)題，上述四種解法是基本、常見(jiàn)的解法、要認(rèn)真 體會(huì)每種解法的實(shí)質(zhì)，掌握其解答方法，以期靈活運(yùn)用.典型例題二例2三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？(2)如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？(3)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？(4)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？解：(1)(捆綁法)因?yàn)槿齻€(gè)女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個(gè)整體，這樣同五個(gè)男生合一起共有六個(gè)元素，然成一排有 A：種不同排法.對(duì)于其中的每一種排法，三個(gè)女生之間又都有 慰對(duì)種不同的排法，因此共有 A A； =4320

5、種不同的排法.(2)(插空法)要保證女生全分開，可先把五個(gè)男生排好，每?jī)蓚€(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空檔. 這 樣共有4個(gè)空檔，加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置， 共有六個(gè)位置，再把三個(gè)女生插入這六個(gè)位 置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生， 就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰.由于五個(gè)男生排成一排有A；種不同排法，對(duì)于其中任意一種排法，從上述六個(gè)位置中選出三個(gè)來(lái)讓三個(gè)女生插入都r I % ./ y有A；種方法，因此共有 A A3 =14400種不同的排法. I X / I (3)解法1:(位置分析法)因?yàn)閮啥瞬荒芘排詢啥酥荒芴暨x5個(gè)男生中的2個(gè)，有A；種 J/ 1 I不同的排法，對(duì)于其中的任意

6、一種排法，其余六位都有A：種排法，所以共有A3a6= 14400種不同的排法.解法2:(間接法)3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排共有A；種不同的排法，從中扣除女生排在首位的A3可種排法和女生排在末位的AjA；種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時(shí)被扣去一次，在扣除女生排在未位的情況時(shí)又被扣去一次，所以還需加一次回來(lái)，由于兩端I 都是女生有A2席種不同的排法，所以共有A8-2A3A7 +A；A(6 =14400種不同的排法.解法3:(元素分析法)從中間6個(gè)位置中挑選出3個(gè)來(lái)讓3個(gè)女生排入，有內(nèi)種不同的排法，對(duì)于其中的任意一種排活，其余5個(gè)位置又都有 個(gè)種不同的排法，所以共有AA；

7、= 14400種不同 的排法，(4)解法1:因?yàn)橹灰髢啥瞬欢寂排?，所以如果首位排了男生，則未位就不再受條件限制了，這樣可有a5，A7種不同的排法；如果首位排女生，有 a3種排法，這時(shí)末位就只能排男生，有A1種排法，首末兩端任意排定一種情況后，其余6位都有A；種不同的排法，這樣可有A3八1八6 種不同排法.因此共有AA； +a3 a5 A6 =36000種不同的排法.解法2: 3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排有A8種排法，從中扣去兩端都是女生排法 A； &種，就 能得到兩端不都是女生的排法種數(shù).因此共有A； -A2 A =36000種不同的排法.說(shuō)明：解決排列、組合(下面將學(xué)到，由于規(guī)律相

8、同，順便提及，以下遇到也同樣處理)應(yīng)用問(wèn)題 最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法.若以位置為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置，有兩個(gè)以上約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)要兼顧其它條件.若以元素為主，需先滿足特殊元素要求再處理其它的元素.間接法有的也稱做排除法或排異法，有時(shí)用這種方法解決問(wèn)題來(lái)得簡(jiǎn)單、明快.捆綁法、插入法對(duì)于有的問(wèn)題確是適用的好方法，要認(rèn)真搞清在什么條件下使用.典型例題三例3排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。(1)任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？(2)歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？解：(1)先排歌唱節(jié)目有A5種，歌唱節(jié)目之

9、間以及兩端共有6個(gè)位子，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有A64中方法，所以任兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：A； A64= 43200.I|_二(2)先排舞蹈節(jié)目有A：中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有 5個(gè)空位，恰好供5個(gè)歌唱節(jié)目放 JfI I入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：A： A； = 2880種方法。說(shuō)明：對(duì)于“間隔”排列問(wèn)題，我們往往先排個(gè)數(shù)較少的元素，再讓其余元素插空排列。否則，若先排個(gè)數(shù)較多的元素，再讓其余元素插空排時(shí)，往往個(gè)數(shù)較多的元素有相鄰情況。如本題(2)中,若先排歌唱節(jié)目有A55,再排舞蹈節(jié)目有A4,這樣排完之后，其中含有歌唱節(jié)目相鄰的情況，不符合間隔排列的要求。典型例

10、題四例4某一天的課程表要排入政治、語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排 體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法.分析與解法1： 6六門課總白排法是A；,其中不符合要求廣仁、的可分為：體育排在第一書有A5種排法，如圖中I ；數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)有A；種排法，如圖中但這兩種排法，都包括體育排在第一書數(shù)學(xué)排在最后一節(jié),如圖中田，這種情況有A：種排法，因此符合條件的排法應(yīng)是：A6 -2A5 +/=504 (種).分析與解法2:根據(jù)要求，課程表安排可分為4種情況：(1)體育、數(shù)學(xué)既不排在第一節(jié)也不排在最后一節(jié)，這種排法有A2八：種；歡迎共閱(2)數(shù)學(xué)排在第一節(jié)但體育不排在

11、最后一節(jié)，有排法 a4 .A：種；(3)體育排在最后一節(jié)但數(shù)學(xué)不排在第一節(jié)，有排法 a4 .A：種；(4)數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育排在最后一節(jié)，有排法 A：這四類排法并列，不重復(fù)也不遺漏，故總的排法有：a2 A4： +A：，A4 +A： & =504 (種).分析與解法3：根據(jù)要求，課表安排還可分下述 4種情況：(1)體育，數(shù)學(xué)既不在最后也不在開頭一節(jié)，有 a2 =12種排法；(2)數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育不排在最后一節(jié)，有 4種排法；(3)體育在最后一書，數(shù)學(xué)木在第一節(jié)有 4種排法；(4)數(shù)學(xué)在第一節(jié)，體育在最后一節(jié)有 1種排法.上述21種排法確定以后，僅剩余下四門課程排法是種 A：,故總排

12、法數(shù)為21A：=504 (種).下面再提出一個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)予解答.問(wèn)題：有6個(gè)人排隊(duì)，甲不在排頭，乙不在排尾，問(wèn)并肩多少種不同的排法.請(qǐng)讀者完成此題.說(shuō)明：解答排列、組合問(wèn)題要注意一題多解的練習(xí)， 不僅能提高解題能力，而且是檢驗(yàn)所解答問(wèn)題 正確與否的行之有效的方法.典型例題五例5現(xiàn)有3輛公交車、3位司機(jī)和3位售票員，每輛車上需配1位司機(jī)和1位售票員.問(wèn)車輛、 司機(jī)、售票員搭配方案一共有多少種？分析：可以把3輛車看成排了順序的三個(gè)空：cm,然后把3名司機(jī)和3名售票員分別填入.因 此可認(rèn)為事件分兩步完成，每一步都是一個(gè)排列問(wèn)題.解：分兩步完成.第一步，把3名司機(jī)安排到3輛車中，有A3 = 6種安排方法

13、；第二步把3名售票員安排到3輛車中，有A3 =6種安排方法.故搭配方案共有A3 A =36 種.I I 5說(shuō)明：許多復(fù)雜的排列問(wèn)題，不可能一步就能完成.而應(yīng)分解開來(lái)考慮：即經(jīng)適當(dāng)?shù)胤诸惓煞?或分步之后，應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理、 分步計(jì)數(shù)原理原理去解決.在分類或分步時(shí)，要盡量把整個(gè)事件 的安排過(guò)程考慮清楚，防止分類或分步的混亂.典型例題六例6下是表是高考第一批錄取的一份志愿表.如果有 4所重點(diǎn)院校，每所院校有3個(gè)專業(yè)是 你較為滿意的選擇.若表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒(méi)有重復(fù)，同一學(xué)校的專業(yè)也沒(méi)有重復(fù)的話， 你將有多 少種不同的填表方法？分析：填寫學(xué)校時(shí)是有順序的，因?yàn)檫@涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的問(wèn)題

14、；同一學(xué) 校的兩個(gè)專業(yè)也有順序，要區(qū)分出第一專業(yè)和第二專業(yè).因此這是一個(gè)排列問(wèn)題.解：填表過(guò)程可分兩步.第一步，確定填報(bào)學(xué)校及其順序，則在 4所學(xué)校中選出3所并加排列，共有A3種不同的排法；第二步，從每所院校的3個(gè)專業(yè)中選出2個(gè)專業(yè)并確定其順序，其中又包含歡迎共閱三小步，因此總的排列數(shù)有 A32 A32 A2種.綜合以上兩步，由分步計(jì)數(shù)原理得不同的填表方法有：A43 A2 A2 A2 =5184 種.說(shuō)明：要完成的事件與元素的排列順序是否有關(guān)，有時(shí)題中并未直接點(diǎn)明，需要根據(jù)實(shí)際情景自己判斷，特 別是學(xué)習(xí)了后面的“組合”之后這一點(diǎn)尤其重要.“選而且排”(元素之間有順序要求)的是排列，“選而不排”

15、(元素之間無(wú)順序要求)的是組合.另外，較復(fù)雜的事件應(yīng)分解開考慮.典型例題七例5 7名同學(xué)排隊(duì)照相.(1)若分成兩排照，前排3人，后排4人，有多少種不同的排法？(2)若排成兩排照，前排3人，后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同 的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相鄰，有多少種不面的排法？分析：(1)可分兩步完成：第一步，從7人中選出3人排在前排，有A73種排法；第二步，剩下的4人排在后排，有A44種排法，故一共有A3，A4=A；種排法.事實(shí)上排兩排與排成一排一樣，只不過(guò)把第4 7個(gè)位

16、子看成第二排而已，排法總數(shù)都是 A7,相當(dāng)于7個(gè)人的全排列.(2)優(yōu)先安排甲、 I.產(chǎn)X ， 乙.(3)用“捆綁法”.用“插空法”.解：(1) a3 A44 =A7 =5040 種.(2)第一步安排甲，有A3種排法；第二步安排乙，有 聞種排法；第三步余下的5人排在剩下的5個(gè)位置上，有A5種排法，由分步計(jì)數(shù)原理得，符合要求的排法共有 A3八4，腐= 1440種.(3)第一步，將甲、乙、丙視為一個(gè)元素，有其余 4個(gè)元素排成一排，即看成5個(gè)元素的全排列問(wèn)題，有A5種排法；第二步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全排列，有 A33種排法.由分步計(jì)數(shù)原理得，共 ,*'!/I I ' _J I有A5 A

17、3 =720種排法.fI(4)第一步，4名男生全排列，有A：種排法；第二步，女生插空，即將3名女生插入4名男生之問(wèn)的5個(gè)空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有 A3種插入方法.由分步計(jì)數(shù)原理得，符合條件的排法共有：A44 A3 =1440種.說(shuō)明：(1)相鄰問(wèn)題用“捆綁法”，即把若干個(gè)相鄰的特殊元素“捆綁”為一個(gè)“大元素”，與 其他普通元素全排列；最后再“松綁”，將這些特殊元素進(jìn)行全排列.(2)不相鄰問(wèn)題用“插空法”， 即先安排好沒(méi)有限制條件的元素，然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間.典型例題八例8從2、& 4、5、6五個(gè)數(shù)字中每次取出三個(gè)不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求所有三位數(shù)的

18、和.2”，當(dāng)它位于個(gè)位時(shí)，即形如困蠶的數(shù)共分析：可以從每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)來(lái)分析，例如有A4"個(gè)(從3、4、5、6四個(gè)數(shù)中選兩個(gè)填入前面的兩個(gè)空)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“ 2”所產(chǎn)生的和2”產(chǎn)生的和應(yīng)是a2 .2.當(dāng)2位于十位時(shí)，即形如國(guó)細(xì)的數(shù)也有解，那么當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由是簿2 10.當(dāng)2位于面位時(shí)，可同理分析.然后再依次分析 3、4、5 6的情況.解：形如麗21的數(shù)共有A：個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由2”產(chǎn)生的和是A2 2;形如雨田的數(shù)也有儲(chǔ)個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“ 2”產(chǎn)生的和是A2 2 10;形如匹國(guó)的數(shù)也有A2個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“2”產(chǎn)生的和應(yīng)是A： 2 100 .這樣在所有三位

19、數(shù)的和中，由“2”產(chǎn)生的和是A： ,2.111 .同理由a 4、5 6產(chǎn)生的和分別是A2 3 111, A2 4 111, A42 5 111 , A2 6 111 ,因此所有三位數(shù)的和是 A 111 (2 +3+4 +5 +6) =26640 .說(shuō)明：類似于這種求“數(shù)字之和”的問(wèn)題都可以用分析數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)的辦法來(lái)解決.如“由1, 4,5, x四個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若所有這些四位數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和為288,求數(shù)x” .本題的特殊性在于，由于是全排列，每個(gè)數(shù)字都要選用，故每個(gè)數(shù)字均出現(xiàn)了席=24次,故有 24 M(1 +4 +5 +x)= 288 ,得 x=2.典型例題九例9計(jì)算

20、下列各題:熊； (2)A6;m 1' n _mAn4An mn -123(4)1! 2 2 ! 3 3! n n !+ + +3! 4!解：(1)A25 =15X14=210；(2) A6 =6! =6 5 4 3 2 1 = 720;(3)原式=(n -1)!n -1 -(m -1)!(n - m) !1(n-1)!(n -1)!1=(n - m)! 1=1 ;(n -m)!(n -1)!(4)原式=(2! 1) +(3! 2 !) +(4! 3!) + +(n +1)! - n!=(n +1)! -1;2! 3! 4!n -1+n!111111111=+ + + + = 1 .1!

21、 2! 2! 3! 3! 4! (n -1) ! n! n!說(shuō)明：準(zhǔn)確掌握好排列公式是順利進(jìn)行計(jì)算的關(guān)鍵.本題計(jì)算中靈活地用到下列各式：n -111n!=n(n-1)!; nn ! = (n+1)!-n !; =;使問(wèn)題解得間單、快捷.n ! (n -1)! n!典型例題十例10 a,b,c,d ,e, f六人排一列縱隊(duì)，限定a要排在b的前面（a與b可以相鄰，也可以不 I相鄰），求共有幾種排法.對(duì)這個(gè)題目，A、B、C、D四位同學(xué)各自給出了一種算式：A的算式是1Ab的算式是（A1+a2+a3 + a：+a1） A：； C的算式是A：;2D的算式是CK.上面四個(gè)算式是否正確，正確的加以解釋，不正確

22、的說(shuō)明理由.解：A中很顯然，"a在b前的六人縱隊(duì)”的排隊(duì)數(shù)目與“ b在a前的六人縱隊(duì)”排隊(duì)數(shù)目相 等，而“六人縱隊(duì)”的排法數(shù)目應(yīng)是這二者數(shù)目之和.這表明：A的算式正確.B中把六人排隊(duì)這件事劃分為a占位，b占位，其他四人占位這樣三個(gè)階段，然后用乘法求出 總數(shù)，注意到a占位的狀況決定了 b占位的方法數(shù)，第一階段，當(dāng)a占據(jù)第一個(gè)位置時(shí)，b占位方 法數(shù)是A5;當(dāng)a占據(jù)第2個(gè)位置時(shí)，b占位的方法數(shù)是A4;；當(dāng)a占據(jù)第5個(gè)位置時(shí)，b占位的方法數(shù)是A；,當(dāng)a, b占位后，再排其他四人，他們有 A4種排法，可見(jiàn)B的算式是正確的. ,*'! / I I ' _ JI C中a4可理解為從

23、6個(gè)位置中選4個(gè)位置讓c , d , e, f占據(jù)，這時(shí)，剩下的兩個(gè)位置依前后順 fI序應(yīng)是a, b的.因此C的算式也正確.D中把6個(gè)位置先圈定兩個(gè)位置的方法數(shù) C2 ,這兩個(gè)位置讓a,b占據(jù)，顯然，a, b占據(jù)這兩 個(gè)圈定的位置的方法只有一種（a要在b的前面），這時(shí)，再排其余四人，又有A：種排法，可見(jiàn)D 的算式是對(duì)的.說(shuō)明：下一節(jié)組合學(xué)完后，可回過(guò)頭來(lái)學(xué)習(xí) D的解法.典型例題十一例11八個(gè)人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前排，乙、內(nèi)必須坐在同一排，共有多少 種安排辦法？解法1:可分為“乙、內(nèi)坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排 的八人坐法”兩類情況.應(yīng)當(dāng)使用加法原

24、理，在每類情況下，劃分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其 他五人坐下”三個(gè)步驟，又要用到分步計(jì)數(shù)原理，這樣可有如下算法：A2 A A +a2 a4 a5 =8 640（種）.解法2:采取“總方法數(shù)減去不命題意的所有方法數(shù)”的算法.把“甲坐在第一排的八人坐法 數(shù)”看成“總方法數(shù)”，這個(gè)數(shù)目是 A4 a7 ,在這種前提下，不合題意的方法是“甲坐第一排，且 乙、內(nèi)坐兩排的八人坐法.”這個(gè)數(shù)目是 a4 c2 a3 a4 a5 .其中第一個(gè)因數(shù)a4表示甲坐在第一排 的方法數(shù)，C2表示從乙、內(nèi)中任選出一人的辦法數(shù)，A；表示把選出的這個(gè)人安排在第一排的方法數(shù)，下一個(gè)A1則表示乙、內(nèi)中沿未安排的那個(gè)人坐在第二排的

25、方法數(shù)，腐就是其他五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為a4 a -A4 C2 A； A4 A5 =8 640（種）.說(shuō)明：解法2可在學(xué)完組合后回過(guò)頭來(lái)學(xué)習(xí).典型例題十二例12計(jì)劃在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國(guó)畫，排成一行陳列， 要求同一品種的畫必須連在一起，并且不彩畫不放在兩端，那么不同陳列方式有（）.A.A4A5B.A；a4A55C.C3A4A5D.A2A4A5解：將同一品種的畫“捆”在一起，注意到水彩畫不放在兩端，共有A2種排列.但4幅油畫、5幅國(guó)畫本身還有排列順序要求.所以共有 A2八4 N種陳列方式.應(yīng)選D.說(shuō)明：關(guān)于“若干個(gè)元素相鄰”的排列問(wèn)題，一般使用“捆綁

26、”法，也就是將相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”在 一起，看作一個(gè)大元素，與其他的元素進(jìn)行全排列；然后，再“松綁” ，將被“捆綁”的若干元素，內(nèi)部進(jìn)行全 排列.本例題就是一個(gè)典型的用“捆綁”法來(lái)解答的問(wèn)題.典型例題十三i I1 I I例13由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)的個(gè)數(shù)共有（ ）.A. 210 B. 300C. 464 D. 600解法1:（直接法）：分別用1,2,3,4,5作十萬(wàn)位的排列數(shù)，共有5，8種，所以其中個(gè)位數(shù)字 小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有 1 5 A =300個(gè).解法2:（間接法）：取0,1，5個(gè)數(shù)字排列有A",而0作為十萬(wàn)位的

27、排列有A5,所以其中1個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有 1（A6 -A5） =300（個(gè)）.2說(shuō)明：(1)直接法、間接法是解決有關(guān)排列應(yīng)用題的兩種基本方法，何時(shí)使用直接法或間接法要視問(wèn)題而定，有的問(wèn)題如果使用直接法解決比較困難或者比較麻煩，這時(shí)應(yīng)考慮能否用間接法來(lái)解.(2) ”個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字”與“個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字”具有對(duì)稱性，這兩類的六位數(shù)個(gè)數(shù) 一樣多，即各占全部六位數(shù)的一半，同類問(wèn)題還有 6個(gè)人排隊(duì)照像時(shí)，甲必須站在乙的左側(cè)，共有 多少種排法.典型例題十四例14用1,2,3,4,5,這五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有().A. 24個(gè)B. 30個(gè)C. 40個(gè) D

28、. 60個(gè)分析：本題是帶有附加條件的排列問(wèn)題， 可以有多種思考方法，可分類，可分步，可利用概率， 也可利用本題所提供的選擇項(xiàng)分析判斷.解法1：分類計(jì)算.將符合條件的偶數(shù)分為兩類.一類是2作個(gè)位數(shù)，共有解個(gè)，另一類是4作個(gè)位數(shù)，也有簿個(gè).因此符合條件的偶數(shù)共有Aj+A：=24個(gè).解法2:分步計(jì)算.先排個(gè)位數(shù)字，有A2種排法，再排十位和百位數(shù)字，有 A42種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，三位偶數(shù)應(yīng)有A2 A2 =24個(gè).解法3:按概率算.1I用1-5這5個(gè)數(shù)字可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有 A3 =60個(gè)，其中偶點(diǎn)其中的-.因此三5位偶數(shù)共有60 M 2 = 24個(gè). 5解法4:利用選擇項(xiàng)判斷.用1-

29、5這5個(gè)數(shù)字可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有 A3 =60個(gè).其中偶數(shù)少于奇數(shù)，因此偶數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)少于30個(gè)，四個(gè)選擇項(xiàng)所提供的答案中，只有 A符合條件. 應(yīng)選A.典型例題十五i I1 I I例15 計(jì)算A11 +2A2 +3A3 +82.(2)求Sn =1!+2!+3!+n! (n之10)的個(gè)位數(shù)字.分析：本題如果直接用排列數(shù)公式計(jì)算，在運(yùn)算上比較困難，現(xiàn)在我們可以從和式中項(xiàng)的特點(diǎn)以及排列數(shù)公式的特點(diǎn)兩方面考慮.在(1)中，項(xiàng)可抽象為nA： =(n +1 1)A： =(n+1)A： nA： =A：； An, (2)中，項(xiàng)為 n! = n(n 1)(n 2)3 2 1 ,當(dāng) n25時(shí)，乘積中出現(xiàn)

30、5和2,積的個(gè)位數(shù)為0,在加法運(yùn)算中可不考慮.解：(1)由 nAn =(n +1)! -n ! .原式=2! 1! +3! 2! + +9! 8! =9! 1! =362879 .歡迎共閱歡迎共閱（2）當(dāng) n 之5 時(shí)，n!=n（n_1）（n2）3 2 1的個(gè)位數(shù)為 0,Sn =1! +2! +3! +n!（n之10）的個(gè)位數(shù)字與1! +2! +3!+4!的個(gè)位數(shù)字相同.而1! +2!+3!+4!=33 ,&的個(gè)位數(shù)字為3.說(shuō)明：對(duì)排列數(shù)公式特點(diǎn)的分析是我們解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，比如：求證:+Z +2+=1-,我們首先可抓等式右邊的2!3!4! （n 1）! （n 1） !n _ n 1

31、 -1 _ n 11_ 11（n 1）! "（n 1）! " （n 1）! 一（n 1）! - n! "（n 1）!'左邊=1-21！ I11_+3! n !1(n 1)!=11(n 1) !=右邊.典型例題十六例16用0、1、2、3、4、5共六個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，（1）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的3位偶數(shù)？（2）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且被 3整除的三位數(shù)？二，分析：3位偶數(shù)要求個(gè)位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是 0,由于個(gè)位用或者不用數(shù)字0,對(duì)確定首 位數(shù)字有影響，所以需要就個(gè)位數(shù)字用 0或者用2、4進(jìn)行分類.一個(gè)自然數(shù)能被3整除的條件是所 有數(shù)字之和是3的倍數(shù)，本題可以先確定用哪三個(gè)數(shù)字，然后進(jìn)行排列，但要注意就用與不用數(shù)字 0進(jìn)行分類.解：（1）就個(gè)位用0還是用2、4分成兩類，個(gè)