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1、運(yùn)用兩個(gè)基本原理例1 n 個(gè)人參加某項(xiàng)資格考試,能否通過(guò),有多少種可能的結(jié)果?例 2同室四人各寫(xiě)了一張賀年卡,先集中起來(lái),然后每人從中拿一張別人的賀年卡,則四張賀年卡不同的分配方式有()( A) 6種 ( B) 9種 ( C) 11 種 ( D) 23種解決排列組合問(wèn)題的基本規(guī)律,即:分類(lèi)相加,分步相乘,排組分清,加乘明確;有序排列,無(wú)序組合;正難則反,間接排除等。其次, 我們?cè)谧プ?wèn)題的本質(zhì)特征和規(guī)律,靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析解答的同時(shí),還要注意講究一些解題策略和方法技巧,使一些看似復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。一特殊元素(位置)的“優(yōu)先安排法”: 對(duì)于特殊元素

2、(位置)的排列組合問(wèn)題,一般先考慮特殊,再考慮其他。例1用 0 , 2 , 3 , 4 , 5 ,五個(gè)數(shù)字,組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中偶數(shù)共有()。A24 個(gè) B.30 個(gè) C.40 個(gè)D.60 個(gè)30。例 2(1995 年上海 ) 1 名老師和4 名獲獎(jiǎng)學(xué)生排成一排照像留念,若老師不排在兩端,則共有不同的排法()種72例 3 ( 2000 年全國(guó))乒乓球隊(duì)的10 名隊(duì)員中有3 名主力隊(duì)員,派5 名隊(duì)員參加比賽,3 名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置,其余7 名隊(duì)員選2 名安排在第二、四位置,那么不同的出場(chǎng)安排共有()種 .A33 - A72 = 252例4.從0, 1,9這10個(gè)數(shù)字中選

3、取數(shù)字組成偶數(shù),一共可以得到不含相同數(shù)字的五位偶數(shù)多少個(gè)?例5 8 人站成兩排,每排4 人,甲在前排,乙不在后排的邊上,一共有多少種排法?特殊優(yōu)先,一般在后對(duì)于問(wèn)題中的特殊元素、特殊位置要優(yōu)先安排。在操作時(shí),針對(duì)實(shí)際問(wèn)題,有時(shí)“元素優(yōu)先 ”,有時(shí) “位置優(yōu)先 ”。練習(xí) 1 ( 89 年全國(guó))由數(shù)字1 、 2、 3、 4、 5 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中小于50000 的偶數(shù)共有個(gè)(用數(shù)字作答)。363 合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步含有約束條件的排列組合問(wèn)題, 按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi),按事情發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步,做到分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確,分步層次清楚,不重不漏。4 相鄰問(wèn)題用捆綁法:在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的

4、問(wèn)題時(shí),先整體考慮,將相鄰的元素“捆綁 ”起來(lái),看作一 “大 ”元素與其余元素排列,然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的解題策略就是捆綁法例7 有 8 本不同的書(shū);其中數(shù)學(xué)書(shū)3 本, 外語(yǔ)書(shū) 2 本, 其它學(xué)科書(shū)3 本 若將這些書(shū)排成一列放在書(shū)架上,讓數(shù)學(xué)書(shū)排在一起,外語(yǔ)書(shū)也恰好排在一起的排法共有 ( )種(結(jié)果用數(shù)值表示)A55 A33 A22=1440( 種 ).例 8 7 名學(xué)生站成一排,甲、乙必須站在一起有多少不同排法?解:兩個(gè)元素排在一起的問(wèn)題可用“捆綁 ”法解決,先將甲乙二人看作一個(gè)元素與其他五人進(jìn)行排列,并考慮甲乙二人的順序,所以共有種。例 9 8 人排成一排,甲、乙必須分別緊靠站

5、在丙的兩旁,有多少種排法?例 105個(gè)男生 3 個(gè)女生排成一列,要求女生排一起,共有幾種排法?練習(xí) 3 四對(duì)兄妹站一排,每對(duì)兄妹都相鄰的站法有多少種?答案:A44 24=3845 不相鄰問(wèn)題用“插空法 ”: 不相鄰問(wèn)題是指要求某些元素不能相鄰,由其它元素將它們隔開(kāi)解決此類(lèi)問(wèn)題可以先將其它元素排好,再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置,故稱(chēng)插空法例 11 用 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù),要求1與 2 相鄰, 2 與 4 相鄰, 5 與 6 相鄰,而7 與 8 不相鄰。這樣的八位數(shù)共有( )個(gè)(用數(shù)字作答)例 127 名學(xué)生站成一排,甲乙互

6、不相鄰有多少不同排法?解:甲、乙二人不相鄰的排法一般應(yīng)用“插空 ”法,所以甲、乙二人不相鄰的排法總數(shù)應(yīng)為:種 .例 13 排一張有8 個(gè)節(jié)目的演出表,其中有 3 個(gè)小品, 既不能排在第一個(gè),也不能有兩個(gè)小品排在一起,有幾種排法?例 145 個(gè)男生 3 個(gè)女生排成一列,要求女生不相鄰且不可排兩頭,共有幾種排法?練習(xí)44 男 4 女站成一行,男女相間的站法有多少種?答案:2A44 A44例15.馬路上有編號(hào)為1、2、3、9的9盞路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞, 但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞,也不能關(guān)兩端的路燈,則滿(mǎn)足要求的關(guān)燈方法有幾種?練習(xí)5從1、2、10這十個(gè)數(shù)中任選三個(gè)互不相鄰的自然數(shù),有幾種不

7、同的取法?答案: C83。6 順序固定用“除法 ”: 對(duì)于某幾個(gè)元素按一定的順序排列問(wèn)題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行全排列,然后用總的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。例 16 6 個(gè)人排隊(duì),甲、乙、丙三人按“甲 -乙 -丙 ”順序排的排隊(duì)方法有多少種?例 17 4個(gè)男生和3 個(gè)女生,高矮不相等,現(xiàn)在將他們排成一行,要求從左到右女生從矮到高排列,有多少種排法。A74 種排法元素定序,先排后除或選位不排或先定后插對(duì)于某些元素的順序固定的排列問(wèn)題,可先全排,再除以定序元素的全排,或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列,然后對(duì)其它元素進(jìn)行排列。也可先放好定序的元素,再一一插入其它元素。例

8、 18 5 人參加百米跑,若無(wú)同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)的情況,則甲比乙先到有幾種情況?練習(xí)6要編制一張演出節(jié)目單,6個(gè)舞蹈節(jié)目已排定順序,要插入 5個(gè)歌 唱節(jié)目,則共有幾種插入方法?七.分排問(wèn)題用 直排法”:把幾個(gè)元素排成若干排的問(wèn)題, 可采用統(tǒng)一排成 一排的排法來(lái)處理。例19. 7個(gè)人坐兩排座位,第一排3個(gè)人,第二排坐4個(gè)人,則不同的坐 法有多少種?A77八.逐個(gè)試驗(yàn)法:題中附加條件增多,直接解決困難時(shí),用試驗(yàn)逐步尋找規(guī)例20.將數(shù)字1, 2, 3, 4填入標(biāo)號(hào)為1, 2, 3, 4的方格中,每方格填1 個(gè),方格標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有()A. 6B.9C.11D.23B九、構(gòu)造模型隔板法”對(duì)

9、于較復(fù)雜的排列問(wèn)題,可通過(guò)設(shè)計(jì)另一情景,構(gòu)造一個(gè)隔板模型來(lái)解決問(wèn) 題。例21 .方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解?例10.把10本相同的書(shū)發(fā)給編號(hào)為1、2、3的三個(gè)學(xué)生閱覽室,每個(gè)閱 覽室分得的書(shū)的本數(shù)不小于其編號(hào)數(shù),試求不同分法的種數(shù)。請(qǐng)用盡可能多的方 法求解,并思考這些方法是否適合更一般的情況?15例22. 20個(gè)相同的球分給3個(gè)人,允許有人可以不取,但必須分完,有多 少種分法?C21 =210相同元素進(jìn)盒,用檔板分隔例23. 10張參觀公園的門(mén)票分給5個(gè)班,每班至少1張,有幾種選法?C94注:檔板分隔模型專(zhuān)門(mén)用來(lái)解答同種元素的分配問(wèn)題。練習(xí)9 從全校10個(gè)班中選12人組成排球隊(duì),

10、每班至少一人,有多少種 選法?C119十.正難則反一一排除法對(duì)于含至多”或至少”的排列組合問(wèn)題,若直接解答多需進(jìn)行復(fù)雜討論,可 以考慮總體去雜”,即將總體中不符合條件的排列或組合刪除掉,從而計(jì)算出符 合條件的排列組合數(shù)的方法.例24.從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái),其中至少要甲型與 乙型電視機(jī)各一臺(tái),則不同的取法共有()種.A. 140 種B. 80 種 C. 70 種D. 35 種C.注:這種方法適用于反面的情況明確且易于計(jì)算的習(xí)題.例25.求以一個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的個(gè)數(shù)。C84 -12 =58個(gè)。例26.100件產(chǎn)品中有3件是次品,其余都是正品?,F(xiàn)在從中取出5件產(chǎn)品,

11、其中含有次品,有多少種取法?C500 C;5 =17347001 種。例27. 8個(gè)人站成一排,其中A與B、A與C都不能站在一起,一共有多 少種排法?P88 -2 P2 P77 + P2 P66=21600 種排法。十二. 一一對(duì)應(yīng)法:例29.在100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽(即一場(chǎng)失敗要退出比賽)最 后產(chǎn)生一名冠軍,要比賽幾場(chǎng)?99場(chǎng)。十三、多元問(wèn)題分類(lèi)討論法對(duì)于元素多,選取情況多,可按要求進(jìn)行分類(lèi)討論,最后總計(jì)。例30.(2003年北京春招)某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單, 開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同插法 的種數(shù)為(A )A. 42B.

12、30C. 20D. 12Ao例31. (2003年全國(guó)高考試題)如圖, 一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域,現(xiàn) 給地圖著色,要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色, 現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不同 的著色方法共有多少種?(以數(shù)字作答)72.多類(lèi)元素組合,分類(lèi)取出例32. 車(chē)間有11名工人,其中4名車(chē)工,5名鉗工,AB二人能兼做車(chē) 鉗工。今需調(diào)4名車(chē)工和4名鉗工完成某一任務(wù),問(wèn)有多少種不同調(diào)法?十四、混合問(wèn)題 先選后排法對(duì)于排列組合的混合應(yīng)用題,可采取先選取元素,后進(jìn)行排列的策略.例33. (2002年北京高考)12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車(chē)流量的 調(diào)查,若每個(gè)路口 4人,則不同的分配方案共有()A.種B.種

13、C.種D.種例34. (2003年北京圖考試題)從黃瓜、白菜、油菜、扁豆 4種蔬菜品種 中選出3種,分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上, 其中黃瓜必須種植,不同的種植 方法共有()A. 24 種B. 18 種C. 12 種D. 6 種排列與組合配合練習(xí)一.填空題:(用直接填空法解下列排列組合問(wèn)題)1.7個(gè)人并排站成一排(1)如果甲必須站在中間,有種排法.(2)如果甲、乙兩人必須站在兩端,有種排法.2 .用0,1,2,3,4,5可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)個(gè).用集團(tuán)法 若千元素要相鄰時(shí),或要按順序3 .四男三女排成一排,(1)三個(gè)女的要相鄰,有 種排法 ;(2)女同學(xué)必須按從高到矮的順序(可不相鄰)

14、有 種 .用插空位的方法若千元素互不相鄰時(shí).4 .四男三女排成一排,(1)女同學(xué)互不相鄰,有 種排法 .(2)男同學(xué)互不相鄰,女同學(xué)也互不相鄰,有 種排法 .用間接法 .5 .8人排成一排,其中甲、乙兩人不排在一起,有 種排法.6 .平面內(nèi)有8 個(gè)點(diǎn),其中有4個(gè)點(diǎn)共線,另外還有三點(diǎn)共線,此外再無(wú)三點(diǎn)共線.則 (1)過(guò)這 8個(gè)點(diǎn)中的任何兩點(diǎn)可和條直線.(2)由這8 個(gè)點(diǎn)可以組成個(gè)不同的三角形 .分組分配問(wèn)題:7 .18名同學(xué),(1)平均分成三組,有 種分法.(2)平均分給數(shù)、理、 化小 組有 種分法.(3)分配給化學(xué)小組7 人 ,物理小組6 人 ,數(shù)學(xué)小組5人 ,有 種分法.(4)分給數(shù)、理、

15、化小組,其中一個(gè)組為5 人 ,一個(gè)組為6人 , 一 個(gè)組為 7 人 ,有 種分法 .二 .填空題(用多種方法解)1 .某班上午要上語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、體育和英語(yǔ),又體育教師因故不能上第一節(jié)和第四節(jié), 則不同的排課方案有種 .2 .從 5 位女同學(xué),6 位男同學(xué)中選出3 位女同學(xué)和2 位男同學(xué)擔(dān)任五種不同的職務(wù),有 種選法 .3 .從甲、乙 ,等6 人中選出4名代表,那么(1)甲一定當(dāng)選,共有 種選法.(2)甲一定不入選,共有 種選法 .(3)甲、乙二人至少有一人當(dāng)選,共有 種選法 .4 .將 5 本不同的數(shù)學(xué)書(shū),4本不同的物理,3本不同的化學(xué)書(shū)排成一排,(1)各類(lèi)書(shū)必須排成一起,問(wèn)有 種排法.(2)化學(xué)書(shū)不全排在一起,問(wèn)有 種排法.(3)化學(xué)書(shū)每?jī)杀径疾幌噜?問(wèn)有 種排法 .5 .有男女售票員各4 人 ,被分配在四輛公共汽車(chē)上,要求每輛車(chē)上男、女各1人 ,則有種分法 .6 .四個(gè)男孩和三個(gè)女孩站成一列,男孩甲前面至少有一個(gè)女孩站著,并且站在這 個(gè) 男 孩 前 面 的 女 孩 個(gè) 數(shù) 必 少 于 站 在 他 后 面 的 男 孩 的 個(gè) 數(shù) ,則 有 種站法 .配合練習(xí) 解答一 .填空題 :1. (1). P66=720(2). P22P55=2402. 156 個(gè) 3. (1) 720(2) 8404. (1) P44P35=1440 (2) 1445.

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