試驗(yàn)一斐波那契數(shù)列

1、試驗(yàn)一斐波那契數(shù)列實(shí)驗(yàn)?zāi)康呐c要求1認(rèn)識(shí)Fib on acci數(shù)列，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)其通項(xiàng)公式的過程；2. 了解matlab軟件中進(jìn)行數(shù)據(jù)顯示與數(shù)據(jù)擬合的方式；3. 掌握matlab軟件中plot, polyfit等函數(shù)的基本用法;4. 提高對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與處理的能力。二、問題描述某人養(yǎng)了一對(duì)兔，一個(gè)月后生育了一對(duì)小兔。假設(shè)小兔一個(gè)月后就可以長(zhǎng) 大成熟，而每對(duì)成熟的兔每月都將生育一對(duì)小兔，且兔子不會(huì)死亡。問：一年后 共有多少對(duì)兔子？三、問題分析這個(gè)問題，最早由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契(Fibonacci)，于1202年在其著 作珠算原理中提出。根據(jù)問題的假設(shè)，兔子的總數(shù)目是如下數(shù)列：1，1，2，3，5，8，

2、13，21，34，55，89，144，233,問題的答案就是此數(shù)列的第12項(xiàng)，即一年后共有144對(duì)兔子。這個(gè)數(shù)列通常被稱為斐波那契 (Fibo nacci)數(shù)列，研究這個(gè)問題就是研究 Fibonacci數(shù)列。把這個(gè)問題作更深入的研究，我們會(huì)問：第n個(gè)月后，總共有多少對(duì)兔子？即Fibonacci數(shù)列的第n項(xiàng)是多少？這就需要我們探素 Fibonacci 數(shù)列的通項(xiàng)公式。根據(jù)問題的描述，我們知道第n+2個(gè)月后兔子的對(duì)數(shù)，等于第n+1個(gè)月后兔子的對(duì)數(shù)(表示原來就有的老兔子對(duì)數(shù))，加上第 n個(gè)月后兔 子的對(duì)數(shù)(表示生育出來的新兔子對(duì)數(shù))。這樣就得到關(guān)于Fib on acci數(shù)列的一 個(gè)遞推公式：Fn 2

3、 - Fn 1 Fn利用matlab軟件的數(shù)據(jù)可視化功能將這些數(shù)據(jù)顯示成平面曲線的形式后， 我們可以觀察到Fib on acci數(shù)列的變化規(guī)律；通過matlab軟件的數(shù)據(jù)擬合功能， 我們可以大概知道Fib on acci數(shù)列的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合上面的遞推公式，就可以 推導(dǎo)出來Fib on acci數(shù)列的通項(xiàng)公式。四、背景知識(shí)介紹1. 數(shù)據(jù)的可視化。將離散的數(shù)據(jù)：F1,F2,F3, F4,川,fJH，看成平面坐標(biāo)系里的點(diǎn)：(1,FJ,(2, F2),(3, F3),(4, F4),川,(n,Fn),川，利用matlab軟件的plot函數(shù)在平面坐標(biāo)系里劃出一個(gè)點(diǎn)列，就可以實(shí)現(xiàn)離 散數(shù)據(jù)的可視化。pl

4、ot函數(shù)的基本使用格式為：plot(y)，其中參數(shù)y表示豎坐標(biāo)， 即需要顯示的數(shù)據(jù)。例 1y=1:20;y=y43;plot(y)2. 數(shù)據(jù)的擬合。數(shù)據(jù)擬合就是尋找一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，作為被擬合數(shù)據(jù)的近似函數(shù)關(guān)系。目標(biāo) 函數(shù)的類型，可以是多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)等。作數(shù)據(jù)擬合，首先需要估計(jì)目標(biāo)函數(shù) 的類型，這一點(diǎn)可以通過數(shù)據(jù)可視化來觀察得到，而一階多項(xiàng)式是最常見的目標(biāo)函數(shù)，此時(shí)稱為線性回歸。確定擬合系數(shù)的原則是最小二乘法，即所有誤差的平方和取最小值。在 matlab軟件中以多項(xiàng)式為目標(biāo)函數(shù)作數(shù)據(jù)擬合的函數(shù)是 polyfit ，它的基本使用格式為：polyfit (x,y, n)。其中(x,y)是被擬合的數(shù)據(jù)

5、，即平面上的一個(gè)點(diǎn)列，而n是事先確定的多項(xiàng)式的階數(shù)。例 2x=1,3,4,5,6,7,8,9,10;y=10,5,4,2,1,1,2,3,4; polyfit (x,y,2)結(jié)果：0.2676t2 - 3.6053t + 13.45973. 數(shù)列的通項(xiàng)公式。尋找一個(gè)整標(biāo)函數(shù)，使得它在 n處的函數(shù)值，等于數(shù)列的第n項(xiàng)的值，這個(gè) 函數(shù)就是數(shù)列的通項(xiàng)公式。4. 黃金分割。把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一部分與這部 分之比(如下圖)。其比值是一個(gè)無理數(shù)(.、5-1)亠2，取其前三位數(shù)字的近似值 是0.618。由于按此比例設(shè)計(jì)的造型十分協(xié)調(diào)美觀，因此稱之為黃金分割。A M B AM

6、:AB=MB:AM五、實(shí)驗(yàn)過程本試驗(yàn)將Fib on acci數(shù)列的有限項(xiàng)，看成是待處理的數(shù)據(jù)。首先利用matlab 軟件的可視化功能，將這些數(shù)據(jù)顯示在平面坐標(biāo)系中，觀察其圖形類似什么曲線， 結(jié)論是：指數(shù)函數(shù)的曲線。進(jìn)一步，利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的互逆關(guān)系，將原 有數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)，再觀察其曲線形狀是否類似直線，以驗(yàn)證原來的觀察是否正確。 通過觀察到的目標(biāo)函數(shù)，然后利用matlab軟件的數(shù)據(jù)擬合功能，得到Fibonacci 數(shù)列通項(xiàng)公式的近似關(guān)系。最后，從近似關(guān)系出發(fā)，推導(dǎo)出來Fibonacci數(shù)列的 通項(xiàng)公式。1. 觀察數(shù)據(jù)的大概函數(shù)關(guān)系。為了研究Fibonacci數(shù)列的變化規(guī)律，我們?nèi)〈藬?shù)列的前

7、30項(xiàng)來觀察。利 用Matlab軟件的數(shù)據(jù)可視化功能，將這些數(shù)據(jù)顯示在平面坐標(biāo)系中，觀察其中 蘊(yùn)涵的函數(shù)關(guān)系。具體的實(shí)現(xiàn)流程為：(1)定義數(shù)組fn ； (2)顯示數(shù)組fn。 具體的代碼如下：fun cti on plotfibo (n) % fn=1,1;%for i=3: n%fn定義函數(shù)顯示Fibonacci數(shù)列前n項(xiàng)將數(shù)列的前兩項(xiàng)放到數(shù)組fn中的第3項(xiàng)到第n項(xiàng)fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %將第i項(xiàng)添加到數(shù)組fn中end%循環(huán)結(jié)束plot(fn)%將裝有數(shù)列前n項(xiàng)的數(shù)組顯示出來這個(gè)函數(shù)的調(diào)用方式是：plotfibo(30)，顯示出來的圖像為圖1,經(jīng)觀察， 覺得曲線的形狀象

8、指數(shù)函數(shù)的曲線， 其數(shù)據(jù)無限增大?？梢愿淖儏?shù)n的值，反 復(fù)觀察。圖 1 n=30圖 2 n=50圖 3 n=500圖 4n=1000-4543$325-16-111.I 11L1J01 ii.inWfunction plotlnfibo(n) % fn=1,1;%for i=3: n%fnfn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %將第i項(xiàng)添加到數(shù)組fn中2. 進(jìn)一步驗(yàn)證上一步得到的結(jié)論。經(jīng)過上一步的觀察，覺得這些數(shù)據(jù)應(yīng)該是指數(shù)函數(shù)的形式。為了進(jìn)一步驗(yàn) 證這個(gè)結(jié)論是否正確，可以利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的互逆關(guān)系。 如果這些數(shù)據(jù) 確實(shí)是指數(shù)函數(shù)的形式，則經(jīng)過取對(duì)數(shù)后應(yīng)該是一個(gè)線性關(guān)系，即一階

9、多項(xiàng)式， 從圖形上看應(yīng)該象一條直線。因此，再利用Matlab軟件的數(shù)據(jù)可視化功能，將這些數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)后顯示在平面坐標(biāo)系中，觀察它是否象一條直線。具體的實(shí)現(xiàn)流程為：(1)疋義數(shù)組fn ;(2)數(shù)組fn取對(duì)數(shù)；(3)顯示數(shù)組fn。具體的代碼如下:顯示取對(duì)數(shù)后的前n項(xiàng)將數(shù)列的前兩項(xiàng)放到數(shù)組fn中的第3項(xiàng)到第n項(xiàng)end%循環(huán)結(jié)束fn=log(fn) %將原來的數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)plot(fn)%將裝有數(shù)列前n項(xiàng)的數(shù)組顯示出來這個(gè)函數(shù)的調(diào)用方式是：plot In fibo(30)，顯示出來的圖像為圖5,經(jīng)觀察, 覺得它確實(shí)象一條直線?？梢愿淖儏?shù)n的值，反復(fù)觀察。10圖 5 n=30圖 6 n=50-KJL!w4

10、®/3®XC3D153/100甜i1rii圖 7 n=500圖 8 n=10003. 獲得數(shù)據(jù)的近似關(guān)系式。經(jīng)過以上第一步的觀察，確定Fibo nacci數(shù)列的數(shù)據(jù)是指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，第二步驗(yàn)證了第一步得到的結(jié)論，因此我們認(rèn)為Fibonacci數(shù)列的數(shù)據(jù)關(guān)系就是 指數(shù)函數(shù)，取對(duì)數(shù)后就是線性函數(shù)，即一階多項(xiàng)式。利用Matlab軟件的數(shù)據(jù)擬合功能，通過取對(duì)數(shù)后的數(shù)據(jù)，用一階多項(xiàng)式擬合出它的函數(shù)關(guān)系式，可以得到Fib on acci數(shù)列通項(xiàng)公式的一個(gè)近似表達(dá)式。具體的實(shí)現(xiàn)流程為：(1)定義數(shù)組fn ; (2)數(shù)組fn取對(duì)數(shù)；(3)用一階多項(xiàng)式擬合數(shù)組fn。具體的代碼如下：fun c

11、tion fitln fibo (n) %根據(jù)取對(duì)數(shù)后的數(shù)據(jù)，擬合出線性表達(dá)式fn=1,1;%將數(shù)列的前兩項(xiàng)放到數(shù)組fn中for i=3:n %fn 的第3項(xiàng)到第n項(xiàng)fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %將第 i 項(xiàng)添加到數(shù)組 fn 中end%循環(huán)結(jié)束xn=1: n;%定義橫坐標(biāo)fn=log(fn) % 將原來的數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù) polyfit(xn,fn,1) %擬合裝有數(shù)列前n項(xiàng)的數(shù)組這個(gè)函數(shù)的調(diào)用方式是：fitlnfibo(30)，運(yùn)行后返回結(jié)果是：0.4799 ,-0.7768。這兩個(gè)數(shù)據(jù)就是一階多項(xiàng)式的系數(shù)，即：log(FJ ： -0.7768+0.4799n為了提高精度，可以加

12、大n的值。取n= 1000時(shí)得到：log(FJ ： -0.8039+0.4812n從上面的表達(dá)式，可以得到數(shù)列通項(xiàng)公式的近似：Fn 0.4476 1.618014. 觀察擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的吻合程度。經(jīng)過第三步的擬合，得到了Fib on acci數(shù)列近似的通項(xiàng)公式，為了觀察其吻合程度，我們將Fibonacci數(shù)列的擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的圖形顯示出來，進(jìn)行對(duì)比觀察。具體的實(shí)現(xiàn)流程為：(1)定義數(shù)組fn1,fn2 ; (2)顯示數(shù)組fn1,fn2。 具體的代碼如下：fun ctio n plotfibo2( n) %顯示擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的前n項(xiàng)fn仁;% 裝擬合數(shù)據(jù)的數(shù)組for i=1:n%fn1

13、 的第1項(xiàng)到第n項(xiàng)fn1= fn1,0.4476*1.618Ai; %將第 i 項(xiàng)添加到數(shù)組 fn1 中endfn2=1,1;%裝原始數(shù)據(jù)的數(shù)組，前兩項(xiàng)放到數(shù)組fn2中for i=3:n%fn2 的第3項(xiàng)到第n項(xiàng)fn2=fn2,fn2(i-2)+fn2(i-1); %將第 i 項(xiàng)添加到數(shù)組 fn2 中endx=1: n;plot(x,fn1,x,fn2,'r*') %顯示，fn1 蘭線，fn2 紅星這個(gè)函數(shù)的調(diào)用方式是：fitl nfibo2(20)，顯示出來的圖像為圖9，或fitln fibo2(50)，顯示出來的圖像為圖10。圖 9 n=20圖 10 n=505. 推導(dǎo)Fi

14、bonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）。通過以上的觀察和分析，我們知道 Fib on acci數(shù)列的數(shù)據(jù)大概是指數(shù)函數(shù) 的關(guān)系。因此，我們猜測(cè)它的通項(xiàng)公式具有形式：Fn二k rn。將這個(gè)表達(dá)式代入遞推公式Fn Fn 1 - Fn中，得到：k 二k Jk J。經(jīng)過簡(jiǎn)化得到：2r r 1這是一個(gè)一元二次的代數(shù)方程，其兩個(gè)根形式如下：r =（仁、5）考慮到Fib on acci數(shù)列的數(shù)據(jù)無限增大，我們?nèi) = （V .5' 2，于是得到 通項(xiàng)公式如下：Fn = k "（1 + V5）斗 2n上面的公式對(duì)嗎？我們可以來驗(yàn)證。 取n=1和n=2代入上面的公式中計(jì)算， 顯然得不到F1 =1,

15、 F2 =1，因此它不是Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式。但這個(gè)公式并非一無是處，我們可以來考慮這個(gè)公式與Fib on acci數(shù)列到底相差多少。因此，我們引入以下一個(gè)數(shù)列：人=& 一 k漢（1 +妁弓2n可以驗(yàn)證，這個(gè)新的數(shù)列也滿足同樣的遞推公式：Tn2=TnTn，因此我們猜測(cè)它同樣是指數(shù)函數(shù)的形式，可以假設(shè)其表達(dá)式為：Tn二，rn，代入遞推公式后，同樣可以得到：r2=r 1。這里的r顯然不同于上面的r，故這個(gè)r取 值為：r=（15）“2，從而得到：人= （1-J5），2n。故有：Fn = k x（1 + 75）斗 2.x（W52n由條件F1,F1確定其中的常數(shù)，得到：Fn =（1

16、+ 亦） + 2n -（1-V5）*2n + T5可以證明，它確實(shí)就是 Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式。這個(gè)公式是法國(guó)數(shù)學(xué)家比內(nèi)（Binet）在1843年發(fā)現(xiàn)的，稱為比內(nèi)公式。6. 推導(dǎo)Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）。Fibonacci數(shù)列具有如下遞推關(guān)系：Fn 2 - Fn 1 Fn這個(gè)等式實(shí)際上是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次差分方程，可以仿照二階常系 數(shù)線性齊次微分方程來求解。首先由遞推等式得到如下特征方程：r2 = r 1這是一個(gè)一元二次的代數(shù)方程，其兩個(gè)根形式如下：r =（1 一、5）亠2因此，我們得到差分方程的通解如下：_Fn =G （15） “2n C2 （1 -5）訶取n=1

17、和n=2代入上面的公式中，解得：G " 5, C2 二-V5從而得到:Fn =心 + 75 2n 心V5） + 2n m 麗可以證明，它確實(shí)就是 Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式。六、結(jié)論與應(yīng)用1. Fibonacci數(shù)列的階。通過以上試驗(yàn)過程，我們得到了Fibo nacci數(shù)列的通項(xiàng)公式，它類似一個(gè)指數(shù)函數(shù)，當(dāng)n無限增大時(shí)，其數(shù)據(jù)也無限增大，變化的階是：（1、.5）“2”. 5在Fib on acci數(shù)列的通項(xiàng)公式中，出現(xiàn)了 （V , 5）亠2和（1 -、. 5）亠2等無理 數(shù)，而它們運(yùn)算以后的結(jié)果確是正整數(shù)，多么奇妙啊。2. Fibonacci數(shù)列與黃金分割數(shù)的關(guān)系。 上面的兩個(gè)

18、無理數(shù)之間，存在著這樣的關(guān)系：（1+亦）*2 =（翕 一1）斗 2，而G =（-.5-1）亠2就是著名的黃金分割數(shù)。因此，F(xiàn)ib on acci數(shù)列的通項(xiàng)公 式又可以寫成如下形式：Fn =G+（_1）n41Gn十 J5F2nF 2n 1可以驗(yàn)證，F(xiàn)ibonacci數(shù)列與黃金分割數(shù)之間還有如下的關(guān)系：III Gill :F2n -1<F2n 2、5-1G23. Fib on acci數(shù)列通項(xiàng)公式的其它形式Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式還有其它形式，比如：1-100III0011-10III00Fn十二011-1III00IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII0000III114.自然界中的Fibonacci數(shù)列。Fibonacci數(shù)列與自然界中的許多