巧用二次求導(dǎo)解決函數(shù)單調(diào)性和極值問(wèn)題（課堂PPT）

1、1巧用二次求導(dǎo)解決函數(shù)單調(diào)性和極值問(wèn)題深圳市民辦學(xué)校高中數(shù)學(xué)教師歐陽(yáng)文豐制作2導(dǎo) 言在歷年高考試題中，導(dǎo)數(shù)部分是是以導(dǎo)數(shù)作為壓軸題來(lái)考查。這類題主要考察函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值與最值以及利用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決恒成立、不等式證明等問(wèn)題。解決這類題的常規(guī)解題步驟為：求函數(shù)的定義域；求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；求 的零點(diǎn)；列出 的變化關(guān)系表；根據(jù)列表解答問(wèn)題。而在有些函數(shù)問(wèn)題中，如含有指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的函數(shù)問(wèn)題，求導(dǎo)之后往往不易或不能直接判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而不能進(jìn)一步判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值情況，此時(shí)解題受阻。若遇這類問(wèn)題，則可試用求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)加以解決。3一二階導(dǎo)數(shù)與凸性一二階導(dǎo)數(shù)與凸性一二階導(dǎo)數(shù)與凸

2、性一二階導(dǎo)數(shù)與凸性定義定義1 1. 設(shè) 在區(qū)間 I 上連續(xù)，如果對(duì) I 上任意兩點(diǎn) 與 ，恒有 ，那么稱 在 I 上的圖形是凹的；如果恒有 ，那么稱 在 I 上的圖形是凸的；定理定理1 1 設(shè) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，那么：（1）若在 內(nèi) 單調(diào)增加，則 在 上的圖形是凹的； （2）若在 內(nèi) 單調(diào)減少， 則 在 上的圖形是凸的；( )f x1x2x1212()()()22xxf xf xf1212()()()22xxf xf xf , a b( , )a b( , )a b( )fx( )f x , a b( , )a b( )fx( )f x , a b( )f x4一二階導(dǎo)數(shù)與凸性一二階導(dǎo)數(shù)

3、與凸性定理定理 2 2設(shè) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)二階可導(dǎo)，那么：（1）若在 內(nèi) ，則 在 上的圖形是凹的；（2）若在 內(nèi) ，則 在 上的圖形是凸的 凸性作為函數(shù)的一種重要性質(zhì),其準(zhǔn)確刻畫需要涉及到高等數(shù)學(xué)中的二階導(dǎo)數(shù)等知識(shí), 因此, 它不屬于高中數(shù)學(xué)的研究范疇, 但是, 近年來(lái)的高考試題中有許多與二階導(dǎo)數(shù)的凸性有關(guān)的高考題。凹凸性是函數(shù)圖像的主要形狀之一。結(jié)合 的關(guān)系可以方便地判斷一個(gè)函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)圖像的關(guān)系。( )f x , a b( , )a b( , )a b( )0fx( )f x , a b( , )a b( )0fx( )f x , a b(),(),()fxfxfx5二二階導(dǎo)數(shù)與極值

4、二二階導(dǎo)數(shù)與極值二二階導(dǎo)數(shù)與極值二二階導(dǎo)數(shù)與極值在高中，判斷函數(shù)是否在 取得極值，經(jīng)常是利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)在 兩側(cè)的符號(hào)來(lái)判斷。實(shí)際上，還可以利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷 是否為函數(shù)的極值點(diǎn)。有如下的判定定理：定理定理3 3設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處具有二階導(dǎo)數(shù)且 ， ，那么 （1） 當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在 處取得極大值； （2） 當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在 處取得極小值)(xf0 x0()0fx0()0fx0()0fx0()0fx0 x0 x6典型例題講解例題1、已知函數(shù) ，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。解： 的定義域是 .xxxxf1)1 (ln)(22)(xf xf), 1(22)1 (21)1ln(2)( xxxxxxf22)1

5、(2)1ln()1 (2xxxxx設(shè)xxxxxg2)1ln()1 (2)(2則xxxg2)1ln(2)( xxxg12)( 7典型例題講解）上是增函數(shù)；在（時(shí)，,01)( , 0)( 01xgxgx當(dāng)0 x當(dāng).0)( , 0)( ）上為減函數(shù)，在（xgxg時(shí)),0(0)( , 0)0( 0)( xxggxxg所以處有最大值，而在所以函數(shù)在)( xg), 1(上是減函數(shù).;)(, 0)( , 0)0()(01遞增時(shí)，xfxfgxgx當(dāng)當(dāng)遞減時(shí)，)(, 0)( , 0)0()(0 xfxfgxgx所以，函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ，遞減區(qū)間是 . )(xf)0, 1(),0(8典型例題講解例題2、設(shè)函

6、數(shù) 21xf xexax （）若0a fx求 的單調(diào)區(qū)間；（）若當(dāng) 時(shí)，0 x 0fx。求 的取值范圍。a9典型例題講解（2）、解：當(dāng) a 0時(shí)，在區(qū)間 上顯然 ，綜上(1)可得在區(qū)間 上 成立。故 a 0滿足題意。當(dāng) a0 時(shí)， ， ，顯然 ， 當(dāng) 在區(qū)間 上大于零時(shí)， 為增函數(shù)， ，滿足題意。而當(dāng) 在區(qū)間 上為增函數(shù)時(shí)， ，也就是說(shuō)，要求 在區(qū)間 上大于等于零，又因?yàn)?在區(qū)間 上為增函數(shù)，所以要求 ，即 ，解得 。綜上所述，a 的取值范圍為 。0,20ax0, 210 xf xexax 1 2xfxeax 2xfxea 00f 00f fx0, f x 0f xf xfx0, 00fxf

7、fx0, 2xfxea0, 10f 020ea12a 1,210典型例題講解例題3、已知函數(shù) .（）若 ，求 的取值范圍；（）證明： 解：第一問(wèn)難度不算大，大多數(shù)同學(xué)一般都能做出來(lái)。采用分離參數(shù)法解決恒成立問(wèn)題就行了。而第二問(wèn)是屬于運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具證明不等式問(wèn)題。用 去分析 的單調(diào)性受阻。( )(1)ln1f xxxx2( )1xfxxax(1) ( )0 xf xa fx f x11典型例題講解我們可以嘗試再對(duì) 求導(dǎo)，可得 ，顯然當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 1 時(shí)， 0 ，即 在 區(qū)間 上為減函數(shù)，所以有當(dāng) 0 x 時(shí)， ，我們通過(guò)二次求導(dǎo)分析 的單調(diào)性，得出當(dāng)0 x 時(shí) ，則 在區(qū)間 上為增函數(shù)，即 ，此

8、時(shí)， 則有 成立。下面我們?cè)诮又治霎?dāng) 1x 時(shí)的情況，同理，當(dāng) 1 x時(shí)， 0，即 在區(qū)間 上為增函數(shù)，則 ，此時(shí)， 為增函數(shù)，所以 ，易得 也成立。綜上， 得證。 1lnfxxx 211fxxx0 x1 0fx x fx 1lnfxxx0,1 11fxf1 1fxfx0 ,1 10f xf(1) ( )0 xf xfxfx1, 11fxf fx 10f xf( 1 ) ( ) 0 xf x( 1 ) ( ) 0 xf x12典型例題講解例題4、設(shè)a 為實(shí)數(shù)，函數(shù) 。（）求 的單調(diào)區(qū)間與極值；（）求證：當(dāng) a 且x 0時(shí)， 。（）解：設(shè) ，則： 22 ,xf xexa xRfxln21xe221xax 221xg xexax 22xgxexa 2xgxe 0+ 減減 極小值極小值 增增ln2, gx gxln20,ln 213典型例題講解由上表可知 ，而 ln2gxgln2ln22ln2222ln222ln2 1geaaaln21由由a a 知知 0 0，所以，所以 00，即，即 在區(qū)間在區(qū)間 上為增函數(shù)。ln2g gx g x0, g x 0g 020020 1 0gea 于是有于是有，