費(fèi)業(yè)泰誤差理論與數(shù)據(jù)處理課后答案全

1、誤差理論與數(shù)據(jù)處理練習(xí)題參考答案第一章緒論1- 7用二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量某壓力得100.2，該壓力用更準(zhǔn)確的辦法測(cè)得為100.5，問(wèn)二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量值的誤差為多少？【解】在實(shí)際檢定中，常把高一等級(jí)精度的儀器所測(cè)得的量值 當(dāng)作實(shí)際值。故二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量值的絕對(duì)誤差=測(cè)得值實(shí)際值=100.2 - 100.5 =0.3 ( ) o相對(duì)誤差 =03 100%0.3%100.5 221- 9使用凱特?cái)[時(shí)，g由公式4n (h12)給定。今測(cè)出長(zhǎng)度(h12) 為(1.04230 ± 0.00005 ) m 振動(dòng)時(shí)間 T為(2.0480 ± 0.0005 ) s。 試求g及其

2、最大相對(duì)誤差。如果(h12)測(cè)出為(1.04220 ± 0.0005 ) m為了使g的誤差能小于0.001m , t的測(cè)量必須精確到多少？【解】測(cè)得(h12)的平均值為1.04230 (m), T的平均值為2.0480(s)(h1h2),得:2.048021.042309.81053(m/s2)當(dāng)(h1 h2)有微小變化(h1 h2)、T有T變化時(shí)，令h h1 h2g的變化量為:(hh2)T孝 4Tt (h(hih2)(hh2)4T2gh2(h4 2 T8T3g的最大相對(duì)誤差為:衛(wèi) 4 ；t2 h 2 TTh g 4 二2山0.00005 2 ( 0.0005)h2)1.042302

3、.0480如果（h h2）測(cè)出為（于 0.001m2,即:2也即(h1求得:1-10.h 2 TTh2T2hh h100%0.054%1.04220 ± 0.0005)m為使g的誤差能小0.001h2)(h1 h2)0.0014 22.048020.00050.0005口 1.042202.0480T1.01778 T0.00106T 0.00055(s)檢定2.5級(jí)（即引用誤差為電壓表，發(fā)現(xiàn)50V刻度點(diǎn)的示值誤差表是否合格?0.0012.5%）的全量程為 100V的2V為最大誤差，問(wèn)該電壓【解】 引用誤差=示值誤差/測(cè)量范圍上限。所以該電壓表的引用誤差為：VUmUm2%100由于：

4、2%<2.5%所以該電壓表合格。1- 13多級(jí)彈導(dǎo)火箭的射程為10000時(shí)，其射擊偏離預(yù)定點(diǎn)不 超過(guò)0,優(yōu)秀射手能在距離 50m遠(yuǎn)處準(zhǔn)確地射中直徑為 2的靶 心，試評(píng)述哪一個(gè)射擊精度高 ？解:多級(jí)火箭的相對(duì)誤差為:100000.000010.001%射手的相對(duì)誤差為:50m0.01m50m0.0002 0.002%多級(jí)火箭的射擊精度高。附加1- 1測(cè)得某三角塊的三個(gè)角度之和為180°00' 02” ,試求測(cè)量的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差 解:0.000003086410.000031%相對(duì)誤差等于22=2180°180 60 60 _ 648000第二章誤差的基本性質(zhì)

5、與處理2- 2.試述單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差和算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，兩者x物理意義和實(shí)際用途有何不同？【解】單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差表征同一被測(cè)量n次測(cè)量的測(cè)量值分散性的參數(shù)，可作為測(cè)量列中單次測(cè)量不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差是表征同一被測(cè)量各個(gè)獨(dú)立列算術(shù)X平均值分散性的參數(shù)，可作為算術(shù)平均值不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)在n次測(cè)量的等精度測(cè)量列中， 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差的1-，當(dāng)測(cè)量次數(shù)n愈大時(shí)，算術(shù)平均值愈接近被測(cè)量的真值，測(cè)量精度也愈高2- 3.試分別求出服從正態(tài)分布、 反正弦分布、均勻分布誤差落 在邁，邁中的概率?！窘狻浚?）誤差服從正態(tài)分布時(shí)引入新變量t： t,經(jīng)變換上式成為:l2tP(

6、2 )亍 oet22dt(t) 20.4195 0.84 84%(2) 誤差服從反正弦分布時(shí)因反正弦分布的標(biāo)準(zhǔn)差為a 2 ,所以區(qū)間2 , 5 a,a ,故:P( & )a廠a22d 1(3)誤差服從均勻分布時(shí)為：,故2P()-所以區(qū)間2a 1d33a 2a12a0.8282%2- 4.測(cè)量某物體重量共8次，測(cè)得數(shù)據(jù)(單位為g )為236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40， 求其算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。【解】選參考值X。236.00，計(jì)算差值 Xi Xi 236.00、X。和殘差Vi等列于表中。序 研XiA a* iV

7、?1236.450.45+0. 020. 0004236.370, 37-0 06D. 00363236.510, 51+0. 080, 00644236. 34a 3斗-0 090. 00815236.390. 39-0. 040. 00166236.480. 48+0. 050. 0025*7236. 470. 47+0. 040,00168236, 400. 40-0. 030, 0009x = xD + i.rg = 236.43-1 s= 0.438 J-L& = -0.038D； = 0.02518或依算術(shù)平均值計(jì)算公式，8,直接求得：XXi 236.43(g)0.0251

8、 0.06(g)i 1 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：用貝塞爾公式計(jì)算：廠1II n 10.06x '、n .80.022-6測(cè)量某電路電流共5次，測(cè)得數(shù)據(jù)(單位為)為168.41 ,168.54 , 168.59 , 168.40 ,168.50。試求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差、或然誤差和平均誤差。解:5Ii168.49(mA)i 150.08-°.080.04、n 520.08 0.05 R 0.674530.024 0.08 0.06 T 0.797950.0327在立式測(cè)長(zhǎng)儀上測(cè)量某校對(duì)量具，重復(fù)測(cè)量5次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為）為 20.0015,20.0016 ,20.0018 ,20.001

9、5 ,20.0011 若測(cè)量值服從正態(tài)分布，試以99 %的置信概率確定測(cè)量結(jié)果。解：n 求算術(shù)平均值lix20.0015mmn 求測(cè)量列單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差用貝塞爾公式計(jì)算:,262.55 10 4mm用別捷爾斯公式計(jì)算：nvr "C i 1 ' C"0.0008 c c, "41.253 /-J 1.253 2.24 10 4mmJn(n 1)V5 4 求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差2.55 10.54=1.14410 mm2.24 10.54=0.0001 求單次測(cè)量的極限誤差和算術(shù)平均值的極限誤差做法1 :因n = 5較小，算術(shù)平均值的極限誤差應(yīng)按t分布處理?，F(xiàn)自

10、由度為：v= n 1 = 4; a = 1-0.99 = 0.01 ,查t 分布表有：t = 4.60單次測(cè)量的極限誤差：limxt 4.60 2.55 10 4 1.173 10 3 1.17 10 3mm算術(shù)平均值的極限誤差：44iim x t x 4.60 1.14 105.24 10 mm寫出最后測(cè)量結(jié)果iimx20.0015 5.24 10 4 mm做法2 :因假設(shè)測(cè)量值服從正態(tài)分布，并且置信概率2(t)=99%，貝y(t)=0.495，查正態(tài)分布積分表，得置信系數(shù)t 2.6單次測(cè)量的極限誤差：44limxt 2.60 2.55 106.63 100.00066算術(shù)平均值的極限誤差：

11、44limx t x 2.60 1.14 102.964 100.0003寫出最后測(cè)量結(jié)果L x iimX 20.0015 0.0003 mmCT =2 - 10用某儀器測(cè)量工件尺寸，已知該儀器的標(biāo)準(zhǔn)差0.001，若要求測(cè)量的允許極限誤差為土0.0015，而置信概率P為0.95時(shí)，應(yīng)測(cè)量多少次？解：根據(jù)極限誤差的意義，有In0.0015根據(jù)題目給定得已知條件，有- n0.00150.0011.5查教材附錄表3有 若 n = 5, v= 4,a= 0.05，有 t = 2.78 ,t 2.782.781.24n 52.236若 n = 4, v= 3,a= 0.05，有 t = 3.18 ,3.

12、183.1821.59即要達(dá)題意要求，必須至少測(cè)量 5次 2-11已知某儀器測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差為0.5卩m若在該儀器上，對(duì)某一軸徑測(cè)量一次，測(cè)得值為26.2025，試寫出測(cè)量結(jié)果。若重復(fù)測(cè)量10次，測(cè)得值（單位為）為26.2025 , 26.2028,26.2028 ,20.2025 , 26.2026 , 26.2022 , 20.2023 , 26.2025 , 26.2026 ,26.2022，試寫出測(cè)量結(jié)果。若手頭無(wú)該儀器測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差值 的資料，試由中10次重復(fù)測(cè)量的測(cè)量值，寫出上述、的 測(cè)量結(jié)果。解： 單次測(cè)量的極限誤差以3”計(jì)算:iimX 33 0.51.5( m) 0.0015(mm)

13、所以測(cè)量結(jié)果可表示為：26.2025 ± 0.0015 ()10 重復(fù)測(cè)量10次，計(jì)算其算術(shù)平均值為：x x 26.2025(mm)i 1取與相同的置信度，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差0.0005.10=1.5810-4 mmlim X3 1.58 10-44.74 10-4 5 10-4則測(cè)量結(jié)果為：X 3 x 26.2025 0.0005 () 若無(wú)該儀器測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差資料，則依10次重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差和表示測(cè)量結(jié)果。選參考值X0 26.202，計(jì)算差值序號(hào)XiA2>7126.20250.000500226.20280. 0008+0. 00039X10326.20280. 000

14、8K) 00039X10-*420 20250. OOQo00526.20260. 0006P. 00011X 10'8626.20220* 0002-0. 00039X10720.20230. 0003-0. 00024X10-9S26.20250. 000500926.20260. 0006+O. 00011X10-*1026.20220.0002-o. 00039X10-4x =+ A,ro = 26.20251 mA.vo - V- 0P00051昭蔦SVr=010 = 43x10*用貝塞爾公式計(jì)算:算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差:取與相同的置信度，2.2 104mm0.00007 mm此

15、時(shí)的測(cè)量結(jié)果為26.2025 3 0.00022 26.2025 0.00066 26.2025 0.0007()；的測(cè)量結(jié)果為26.2025 3 0.00007 26.2025 0.00021 26.2025 0.0002 ().2-13測(cè)量某角度共兩次，測(cè)得值為a 1=24° 13' 36”，a 2=2413' 24”，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為彷尸3.1”，彷2=13.8 ”，試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。【解】已知各組測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差，可確定各組的權(quán)。P1 : P23.12 13.829.61 190.4419044:961?。簆1 19044, p2 961選取-0 24

16、1336''，可由公式直接計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)Pi ii 1Pii 1差：:厶糧乂'' 19044 0 961 (12J19044 96124 13'35.4''加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算， 先求兩測(cè)量結(jié)果的殘余誤差:v1 0.6'', v211.4''算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為：x2PiVxii 1m(m 1)i 1Pi19044 0.62 961 ( 11.4)2(2 1)(19044 961)6.6''2-15.試證明n個(gè)相等精度測(cè)得值的平均值的權(quán)為n乘以任個(gè)測(cè)量值的權(quán)。【證明】因?yàn)榈?/p>

17、精度測(cè)量，可設(shè)n個(gè)測(cè)得值的標(biāo)準(zhǔn)差均為且其算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為:又設(shè)各測(cè)量值的權(quán)相等，即：p1p2pj p0。n個(gè)相等精度測(cè)得值的平均值的權(quán)為px，貝U： n個(gè)相等精度測(cè)得值的平均值的權(quán)px與各測(cè)得值的權(quán)p(i 1,2.n)的比為11 n 1Px : p :： n :1x iPx npi2-17對(duì)某量進(jìn)行10次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)為14.7,15.0，15.2,14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，試判斷該測(cè)量列中是 否存在系統(tǒng)誤差。解：先計(jì)算算術(shù)平均值：x 14.96。各測(cè)量數(shù)據(jù)的殘余誤差分 別為：v,0.26v20.04v30.24v40.16v50.54v60.3

18、6v70.06v80.16v90.14v100.04 根據(jù)殘余誤差觀察法：計(jì)算出的殘余誤差符號(hào)正負(fù)個(gè)數(shù)相同，且無(wú)顯著變化規(guī)律，因此可判斷該測(cè)量列無(wú)變化的系 統(tǒng)誤差存在。 采用不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法。按貝塞爾公式：用別捷爾斯法計(jì)算:nvi1.2%=1)1.253210一90.264令:2°264 1.004 110.263因?yàn)椋?0.6670.004，故無(wú)根據(jù)懷疑測(cè)量列存VnlVl0 1在系統(tǒng)誤差。（馬利科夫準(zhǔn)則）按殘余誤差校核法：前5個(gè)殘余誤差和與 后5個(gè)殘余誤差的差值為510ViVj 0.4 （ 0.4） 0.8i 1j 6兩部分之差顯著不為0,則有理由認(rèn)為測(cè)量列中含有系統(tǒng)誤差。

19、 阿卑-赫梅特準(zhǔn)則n 10.26 0.040.040.240.24 0.160.16 0.54uVW 1i 10.54 0.360.360.060.06 0.160.16 0.140.14 0.040.3056 0.3.廿 2.9 0.26320.21u20.21所以測(cè)量列中含有周期性系統(tǒng)誤差（為什么會(huì)得出互為矛盾的結(jié)論？問(wèn)題出在本題給出的數(shù)據(jù)存 在粗大誤差這就提醒我們?cè)谂袛嗍欠裼邢到y(tǒng)誤差前，應(yīng)先剔除 粗大誤差，然后再進(jìn)行系統(tǒng)誤差判斷。）2-18、對(duì)某一線圈電感測(cè)量10次，前4次是和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比 較得到的，后4次是和另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，測(cè)得結(jié)果如下（單位為）：50.82 ，50.83

20、， 50.87 ， 50.89 ；50.78 ，50.78 ， 50.75 ， 50.85 ， 50.82 ，50.81 試判斷前 4 次和后 6 次測(cè)量中是否存在系統(tǒng)誤差。【解】將兩組數(shù)據(jù)混合排列，用秩和檢驗(yàn)法有：n1 4,n2 6,T 5.5 7 9 10 31.5QT 14,T 30,T T所以有根據(jù)懷疑存在系統(tǒng)誤差2-19等精度測(cè)得某一電壓10次，測(cè)得結(jié)果（單位為V）為25.94 , 25.97， 25.98， 26.01 ， 26.04， 26.02， 26.04， 25.98， 25.96， 26.07 。測(cè)量完畢后，發(fā)現(xiàn)測(cè)量裝置有接觸松動(dòng)現(xiàn)象，為判明是 否因接觸不良而引入系統(tǒng)誤差

21、，將接觸改善后，又重新做了 10 次等精度測(cè)量，測(cè)得結(jié)果（單位為V）為25.93 , 25.94 , 25.98 ,26.02 , 26.01 , 25.90 , 25.93 , 26.04 , 25.94 , 26.02。試用 t 檢驗(yàn)法（取a =0.05 ）判斷兩組測(cè)量值之間是否有系統(tǒng)誤差。解】計(jì)算兩組測(cè)量結(jié)果的算術(shù)平均值：1(< x)2x 26.001y0.0015510 y 25971S；10(yi y)20.002151.48(26.001 25.971)10 10(1° 10 2)Y(10 10)(10 0.00155 10 0.00215)由 v =10+10-2

22、=18 及取 a =0.05，查 t 分布表，得 t 2.1因t 1.48 t 2.1，故無(wú)根據(jù)懷疑兩組數(shù)據(jù)間存在線性系統(tǒng)誤差。2-20.對(duì)某量進(jìn)行了 12次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)為 20.06，20.07， 20.06，20.08，20.10，20.12，20.11，20.14，20.18，20.18， 20.21，20.19，試用兩種方法判斷該測(cè)量列中是否存在系統(tǒng)誤 差。12【解】先計(jì)算算術(shù)平均值：xXi 20.125。各測(cè)量數(shù)據(jù)的殘余i 1誤差分別為：V 0.065 V20.055 V30.065 V40.045 V50.025 v60.005V70.015 v 0.015v90.055V|00

23、.055v110.085V|20.065 根據(jù)殘余誤差觀察法：計(jì)算出的殘余誤差有規(guī)律地遞增，在測(cè)量開(kāi)始與結(jié)束時(shí)誤差符號(hào)相反，故可判斷該測(cè)量列存在線性 系統(tǒng)誤差。 （馬利科夫準(zhǔn)則）按殘余誤差校核法：前 6個(gè)殘余誤差和與后6個(gè)殘余誤差的差值為612ViVi 0.26 0.260.52i=1i=7兩部分之差顯著不為0,則有理由認(rèn)為測(cè)量列中含有線性系統(tǒng) 誤差。 采用不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法。按貝塞爾公式:0.054V21.253n(n=1)用別捷爾斯法計(jì)算:1.2530.55.12 110.0610.060.0540.110.11，故無(wú)根據(jù)懷疑測(cè)量列存在系統(tǒng)誤差。 阿卑-赫梅特準(zhǔn)則n 1 uvVi 1

24、 0.02后 20.0542 0.01i 1因?yàn)椋簎 .百2，所以測(cè)量列中含有周期性系統(tǒng)誤差（又出現(xiàn)互為矛盾的結(jié)論，如何解釋呢？）2-21對(duì)某量進(jìn)行兩組測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下:0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.301.341.391.411.570.991.121.211.251.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95試用秩和檢驗(yàn)法判斷兩組測(cè)量值之間是否有系統(tǒng)誤差。解：按照秩和檢驗(yàn)法要求，將兩組數(shù)據(jù)混合排列成下表:T1234567891011121314150.620.861.131.131.161.1

25、81.201.211.221.261.300.991.121.211.25T1617181920212223242526272829301.341.391.411.571.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.951+2+5+6+7+8+9+10.5+12+14+15+18+20+21.5+25=174因n1 n2 15 10 ，秩和 T近似服從正態(tài)分布，n dm n2 1)N(亠廠mn? (n1 n2 q 121)丄)232.5 ；“1 n2(m “21)1224.11求出:2.43選取概率2 (t) 0.95，即(t)0.475,查教材附表1有t

26、1.96由于t t，因此，可以認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)間有系統(tǒng)誤差。選取置信概率99%（顯著度0.01 ）,即?。╰） 0.495，由附錄 表1查得：t 2.60 o由于t 2.43 t2.60，故無(wú)根據(jù)懷疑兩組數(shù)據(jù)間有系統(tǒng)誤差。2-22對(duì)某量進(jìn)行15次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)為28.53,28.52,28.50, 29.52，28.53，28.53，28.50，28.49，28.49，28.51，28.53， 28.52，28.49，28.40，28.50，若這些測(cè)得值已消除系統(tǒng)誤差， 試用萊以特準(zhǔn)則、格羅布斯準(zhǔn)則和狄克松準(zhǔn)則分別判別該測(cè)量 列中是否含有粗大誤差的測(cè)量值。【解】將有關(guān)計(jì)算數(shù)據(jù)：平均值、殘差 Vi等

27、列于表中:庁號(hào)Xj町v;F."f128, 53-0.040.0016Cl 030” 000928. 52-0. 050+ 00250.020. 0004328, 50-0. 070.004900429. 520,950.9025528. 53-0. 040L00160.030. 0009&28. 53-0. 040.00160.030. 0009f28. 50-0.070. 004900828. 49-0. 080.0064P. 010. 0001928. 49-0. 080.0064-d 010*0001W28.51060.00360.010.00011128, 53040

28、.00160.030. 00091228. 52-0.050. 00250.020. 0004132S. 4S-0. 080.0064T. 010. 00011423. 400. 17Q+ 02S9-0. 16 0L1528.魂HX 07Qg日007-28.57J-9vrjr =0.980J14D -0.04f-ja直接求得15個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差:x l15Xi 28.5715i i0.9803:15 10.265 用萊以特準(zhǔn)則判別粗大誤差因V40.95 30.795，故第4個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)含測(cè)量誤差，應(yīng)當(dāng)剔除。再對(duì)剩余的14個(gè)測(cè)得值重新計(jì)算，得:1 14x'x 28.5014i

29、i3 ' 3 0.0337 0.101114i 1 V<0.0148 門'1.0.0337n 1. 14 1.2由表知第14個(gè)測(cè)得值的殘余誤差:V(14)0.17 30.1011，故也含粗大誤差，應(yīng)剔除。再重復(fù)驗(yàn)算，剩下的13個(gè)測(cè)得值已不包含粗大誤差。用格羅布斯準(zhǔn)則判別已經(jīng)計(jì)算出15個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征量：x 28.57,0.265。將測(cè)得的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，有:x28.40,x x(1) 28.57 28.4 0.17x(15) 29.52,x(15) x 29.52 28.57 0.95首先判別Xg是杏含有粗人謀差：&=電戸= 1585查表 2-13

30、得：g/15. 0.05) = 2.41則；g(IJ)-3.585 > (15. 0.05) = 241故第4個(gè)測(cè)得數(shù)據(jù)包含秫大祺差，應(yīng)當(dāng)剔除。再對(duì)剩下的1斗個(gè)測(cè)得值計(jì)算，劌斷工是否含有粗大課差.已知：7 = 28.50, cr =0,03428.50 2 8.40O.OB4=2.94斗一 O DS) = 2.37= 2 £>4 > So <14.O.O5> = 2.3故第14個(gè)測(cè)烈上啟堀也血含機(jī)人諛毛，畑當(dāng)別除*PT比它并渙我*佯1口刁心河倒倉(cāng)首I人決年J用猶克松準(zhǔn)則判別將測(cè)得的數(shù)據(jù)按從小到人的順序排列，有;,v(1) = 28.40,丫=x(rt =

31、28,49,判斷展小值與最大值比5)是否包含粗大誤差亠因血=1久以統(tǒng)計(jì)菲冬和F型計(jì)算29.52 2&53V T,r伽缶=T(l) - T(13)鮎.40 2&斗 92840-28.53=0,692査表 2-14 得g 0.05) = 0.525, 因;rn =1.04>(15, 0.05)和氐=0.692 > q(l勺 0.05) 故口：和“(即冊(cè)測(cè)的第4和第Z個(gè)測(cè)航值)包含粗人誤差，應(yīng)予剔除匸 再啦復(fù)椅驗(yàn)剩余的13個(gè)測(cè)得債，已不再但含粗人誤差.2-26對(duì)某被測(cè)量X進(jìn)行間接測(cè)量得：2x 1.44,3x 2.18,4x 2.90 ,其權(quán)分別為5:1:1 ,試求X的測(cè)量

32、結(jié)果及其標(biāo)準(zhǔn)差？【解】Xi1.440.72, x22.1830.727, xa2.9040.725,選取 P15, P2 1,Pa 1可由公式直接計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差:0.722x 0.7250 1 °.007 1 °.°05加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算，先求殘余誤差:vx x1 x0.002, v冷0.005, vX3 0.003算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為:0.0025 0.0022 1 0.0052 1 0.0032V(3 1)(5 1 1)limx3 x 3 0.002 0.006x 0.722 0.0062-28測(cè)量圓盤的直徑D (72.003 0.052

33、)mm ,按公式計(jì)算圓盤面積SD2/4，由于選取 的有效數(shù)字位數(shù)不同，將對(duì)面積S計(jì)算帶來(lái)系統(tǒng)誤差，為保證 S的計(jì)算精度與直徑測(cè)量精度相同，試確 定的有效數(shù)字位數(shù)？【解】測(cè)得D的平均值為72.0032.048021.042309.81053(m/s2)當(dāng)D有微小變化有變化時(shí)，S的變化量為:S空D蟲 - D0.052 3.1416 72.003 (D &40.052) 72.003472.003240.00450.004取4位有效數(shù)字da db de= 80541.441,2-0.80.5+116L644.511.2=2745.744 (umi3)第三章誤差的合成與分配3- 2為求長(zhǎng)方體體

34、積V ,直接測(cè)量其各邊長(zhǎng)為：a 161.6mm,b 44.5mm,c 11.2mm ， 已 知測(cè)量 的系統(tǒng) 誤差為 a 1.2mm, b 0.8mm, c 0.5mm， 測(cè)量的極限誤差為a 0.8mm, b 0.5mm, c 0.5mm，試求立方體的體積及其體積的 極限誤差。【解】立方體體積：V abc，若不考慮測(cè)得值的系統(tǒng)誤差，則 計(jì)算體積為：Vo abc 161.6 44.5 11.280541.44(mm3)體積V的系統(tǒng)誤差為：A ¥ ZV7 AZ? ArAc = abc+十a(chǎn)bc考慮測(cè)量系統(tǒng)誤差后的立方體體積：/ = 80541.44-2745744 = 77795,696

35、聲 77795,70 (linn3)又直接測(cè)量值存在極限誤差，則間接測(cè)量體積存在的極限誤差 為：甘二士J(藝r+(執(zhí)八(執(zhí)y cadbcc陰卩=士 Jeur十械爲(wèi)尸+(加5了= ±v'44,5xll.2x(±0.8)? + 16L6xl 1.2 x (+0,5)2 + 161 6 x 44.5 x (±0.5)'二 ±V398.722 +904.962 -I-3595.62 = 3729.1 (mn?)故測(cè)量結(jié)果為：V imV 77795.70 3729.1(mm)33長(zhǎng)方體的邊長(zhǎng)分別為ai ,a 2, a 3測(cè)量時(shí)：標(biāo)準(zhǔn)差均為CT ；標(biāo)

36、準(zhǔn)差各為彷1、彷2、(T 3。試求體積的標(biāo)準(zhǔn)差。解：長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式為：V a1 a2 a3體積的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)為:V 2 2 ()1a1V 2 2 V2()2()3a2a3現(xiàn)可求出：乂a2a3 ；aia1 a3 ；a2Va 2a3若:V、2(V)2 2 ( V)2 I a2a3V 2 V 2 ()2 ()2a1 a2V 2()2a3.(aza?)2 (a03)2 住2)2則有:若：1(a2a3)1(a1 a3)2 (a1a2 )3測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差3-4測(cè)量某電路的電流I 22.5mA，電壓U 12.6V ,分別為|0.5mA, u 0.1V，求所耗功率P UI及其標(biāo)準(zhǔn)差【解】若不考慮測(cè)得值的誤差，

37、則計(jì)算所耗功率為:3P UI 12.6 22.5 100.2835WP3PI 22.5 10U 12.6UI且U I完全線性相關(guān)，故1,所以p ；(u(i 2： u '.,(22.5 103)20.12 12.62 (0.5 10 3)2 2 22.5 10 3 12.6 0.1 0.5 10 3 8.55 10 3(W)若電壓、電流的測(cè)量結(jié)果相互獨(dú)立，則所耗功率標(biāo)準(zhǔn)差為P 屮-jP)2 U (*)2 I g'u7(Ul)7.(22.5 10 3 0.1)2 (12.6 0.5 10 3)236.69 5006256.69 10 3(W)3-6已知x與y的相關(guān)系數(shù)xy1，試求u

38、 x2 ay的方差u o10 3【解】屬于函數(shù)隨機(jī)誤差合成問(wèn)題。2222 5ll CUCX即CX即=(2x)2 er; +n2cr + 2 x 2,v x n x (-V)a. a = (2xa. - aa. )丄i* J-*J3-8用惡蝶鏈測(cè)屋扎的直艷D,其審譽(yù)宜徑分別拘國(guó)衛(wèi)節(jié)測(cè)出距裔井別為曷咅自悽洌星屋的誦裁兼乘。_/（箱”仏，局，比j夙扛逞遽傳遞東濁【碎】由耳何羌養(yǎng)昂求披測(cè)孔矗D»¥亠詁+生寺八申亠旦'_（玄亠右! +<) + J河 +團(tuán)-耳X% 司 4RJ缶迢甚測(cè)呈呈的碳追檢逼航頻也下上3D _ L&J.2么風(fēng)+ H,'昭+H廠旺ao

39、1 77' 22 V爲(wèi)-耳+鳳3D 1瓦直十眾H” 2H甌，刁麗+工-瓦）胚帀+応硬也 2/dt十總-瓦）（右-盡十HJ曬L23- 12 按公式n r2h求圓柱體體積，若已知r約為2, h約為20, 要使體積的相對(duì)誤差等于1%,試問(wèn)r和h測(cè)量時(shí)誤差應(yīng)為多少？解：若不考慮測(cè)量誤差，圓柱體積為V r2 h 3.14 2220251.2cm3根據(jù)題意，體積測(cè)量的相對(duì)誤差為1%,即測(cè)定體積的相對(duì)誤差為：1%V即 V 1%251.2 1%2.51現(xiàn)按等作用原則分配誤差，可以求出測(cè)定r的誤差應(yīng)為:2.5110.007 cm1.41 2 hr測(cè)定h的誤差應(yīng)為:1h 、2 V/ h2.51120.14

40、2cm1.41 r23- 10假定從支點(diǎn)到重心的長(zhǎng)度為 L的單擺 振動(dòng)周期為T，重力加速度可由公式T 2 , g給 出。若要求測(cè)量9的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差-g 0.1%，試問(wèn)按等作用原則分配誤差時(shí)，測(cè)量 對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)該是多少？L和T的相解：由重力加速度公式，t 2 L得，T24 2L4 2LT2因?yàn)椋琓28 2LT3因?yàn)闇y(cè)量項(xiàng)目有兩個(gè)，所以n 2。按等作用原理分配誤差，得4 2L_g1g T_99_9 丄lL n_924 224 22 92 9LL 19L 2 9r 0.1% 0.07072%g 1n _gg T3gT2 T.28 2L2 8 2L2 8 2L22g1i| I|g _ 0.1% 0.035

41、36%T 2 2 g 2 2綜上所述，測(cè)量L和T的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差分別是0.07072% 和 0.03536%第四章測(cè)量不確定度評(píng)定與表示測(cè)量不確定度的步驟可歸納為1）分析測(cè)量不確定度的來(lái)源，列出對(duì)測(cè)量結(jié)果影響顯著的不 確定度分量。2） 評(píng)定標(biāo)注不確定度分量，并給出其數(shù)值和自由度。3） 分析所有不確定度分量的相關(guān)性，確定各相關(guān)系數(shù)p。4）求測(cè)量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，則將合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度 及自由度v .5）若需要給出展伸不確定度，則將合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度乘以包 含因子k，得展伸不確定度 。6）給出不確定度的最后報(bào)告，以規(guī)定的方式報(bào)告被測(cè)量的估計(jì) 值y及合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度或展伸不確定度U,并說(shuō)明獲得它們的細(xì)

42、節(jié)。根據(jù)以上測(cè)量不確定度計(jì)算步驟。4 1某圓球的半徑為r，若重復(fù)10次測(cè)量得r 土彷r =(3.132± 0.005)，試求該圓球最大截面的圓周和面積及圓球體積的測(cè)量不確定度，置信概率 99%?！窘狻壳髨A球的最大截面的圓周的測(cè)量不確定度已知圓球的最大截面的圓周為：D 2 r其 標(biāo) 準(zhǔn) 不 確 定 度 應(yīng) 為 ： u J -Dr2J 2 2 2V4 3.141592 0.0052r=0.0314確定包含因子。查t分布表t 0.99 (9)= 3.25，及K= 3.25故圓球的最大截面的圓周的測(cè)量不確定度為：U= 3.25 X 0.0314 = 0.102求圓球的體積的測(cè)量不確定度 圓球

43、體積為：V 4 r33V 2*2 2 2 r4rr其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為：16 3.141592 3.1324 0.00520.616確定包含因子。查t分布表t0.01 (9)= 3.25，及K= 3.25最后確定的圓球的體積的測(cè)量不確定度為U= 3.25 X 0.616 = 2.0024- 3測(cè)量某電路電阻R兩端的電壓U,由公式I Ur算出電路電流 I。若測(cè)得 U u （16.50 0.05）V、R R （4.26 0.02），相關(guān)系數(shù)ur 0.36，試求電流I的標(biāo)準(zhǔn)不確定度?！窘狻縄 U/R丄丄丄 uU R RR2UI(1 )2 2 (R)RUR u、120.052 U40.022 2 1 U

44、2 UR 0.05 0.02.R2R4R R20.024- 6某數(shù)字電壓表的說(shuō)明書指出，該表在校準(zhǔn)后的兩年內(nèi)，其 2V量程的測(cè)量誤差不超過(guò)土 （14 X 10-6讀數(shù)+1X 10-6 X量程）V, 相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為20%，若按均勻分布，求 1V測(cè)量時(shí)電壓表的標(biāo) 準(zhǔn)不確定度；設(shè)在該表校準(zhǔn)一年后，對(duì)標(biāo)稱值為1V的電壓進(jìn)行 16次重復(fù)測(cè)量，得觀測(cè)值的平均值為 0.92857V，并由此算得單 次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差為0.000036V，若以平均值作為測(cè)量的估計(jì)值， 試分析影響測(cè)量結(jié)果不確定度的主要來(lái)源，分別求出不確定度 分量，說(shuō)明評(píng)定方法的類別，求測(cè)量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度 及其自由度?！窘狻浚?）測(cè)量誤差根據(jù)相

45、對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為20%由B類評(píng)定，根據(jù)12.5, V服從均勻分布，2（）2且2V量程測(cè)量誤差（14 10 6讀數(shù)1 10 6量程），所以在區(qū)間（）14 101 10 216 101.6 101.6 10 59.24 10一年后，對(duì)標(biāo)稱值為1V的電壓進(jìn)行16次重復(fù)測(cè)量X 0.92857V x 0.000036V(2)不確定度評(píng)定影響測(cè)量結(jié)果不確定度的主要來(lái)源:A 16次重復(fù)測(cè)量誤差B電壓表的示值誤差C電壓表的穩(wěn)定度A測(cè)量重復(fù)誤差引起的不確定度V 0.92857V0.000036VV0.000009/-16電壓重復(fù)性引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度口為屬于A類評(píng)定UxV 9 10 6 9 V 自由度：1=16-仁15

46、B標(biāo)準(zhǔn)電壓表的示值誤差引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度Ux2614 101廠8.08 10 6示值誤差按均勻分布計(jì)算，屬于B類評(píng)定自由度：2 =1=12.52(_)22 (20%)uC穩(wěn)定度引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u電壓表穩(wěn)定度按均勻分布，屬B類評(píng)定6106 自由度:3 = 12.51 10 2UX33- 8.08合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度Uc.Uxi2Ux22Ux32,.(9 106)2(8.08106)2(1.15 10 6)228.010 628.0 V4自由度：c UC4428.0 10 6 28.0 VUx1Ux2Ux31234-9用漏電測(cè)量?jī)x直接測(cè)量正常使用中微波爐的泄漏電流，5次測(cè)量的平均值為 0.320,平

47、均值的標(biāo)準(zhǔn)差為 0.001;已知漏電測(cè)量?jī)x的示值誤差范圍為5%,按均勻分布，取相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為10%；測(cè)量時(shí)環(huán)境溫度和濕度的影響范圍為2%,按三角分布，其相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為25%；試給出泄漏電流測(cè)量的不確定度報(bào)告（置信概率為99% ）?！窘狻浚?）不確定度評(píng)定對(duì)泄漏電流測(cè)量不確定度影響顯著的因素有:A泄漏電流測(cè)量重復(fù)性引起的不確定度 U1B示值誤差引起的不確定度U2C環(huán)境溫度與濕度引起的不確定度 U3求Up U2> U3A測(cè)量重復(fù)誤差引起的不確定度U10.001mA 1 A 5 1V示值誤差（均勻分布）：1°.32°_ 5% mA 9.24 A、3、32（）2U212 （10%

48、）250環(huán)境溫度（三角分布）：U32.61 Aa_0.320_2% 2.“ 忖皿人、6 .6（2）不確定度合成因不確定度各個(gè)分量相互獨(dú)立，即j合成的不確定度為:自由度:4UcC44U1 U21 2根據(jù)“三分之一準(zhǔn)則”，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度進(jìn)行修約得Uc ,U12 U22 U32、12 9.242 2.612 9.65 V 0.00965mA757.1U33uc 0.010mA10 A取置信概率P 99%,（3）展伸不確定度=57，查 t 分布表，得 t°.99（57）2.68，泄漏電流測(cè)量的展伸不確定度為U kUC 2.68 9.65 25.862 0.025862mA 根據(jù)“三分之一準(zhǔn)則” ，對(duì)展伸不確定度進(jìn)行修約得 U 0.026 mA 26 A（4）不確定度報(bào)告1）用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定泄漏電流，則測(cè)量結(jié)果為：I 0.320mA uc 10 A 57.12）用展伸不確定度評(píng)定泄漏電流，則測(cè)量結(jié)果為：I （0.320 mA 0.026） mAP 0.99 57第五章最小二乘法原理參數(shù)最小二乘法估計(jì)矩陣形式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)及回顧:由誤差方程/ L AX且要求最小，貝V：VTV (L AX )T(L AX)(lt xtat)(l AX)ltl ltax xtatl xtatax令其等于f( X),要f( X)最小，需其對(duì)應(yīng)偏導(dǎo)為 0:所以：f( x)lta lta (A