第二章 角動量守恒定律

1、mxyzrLpO設(shè)：設(shè)：t t時刻質(zhì)點的位矢時刻質(zhì)點的位矢r質(zhì)點的動量質(zhì)點的動量vm運動質(zhì)點相對于參考點運動質(zhì)點相對于參考點O O的的角動量角動量定義為定義為vmrprL單位：單位：Kg m2s-12-3-1 質(zhì)點的角動量 sinsinvmrrpL rpo角動量與所取的慣性系有關(guān)；角動量與所取的慣性系有關(guān)；角動量與參考點角動量與參考點O的位置有關(guān)。的位置有關(guān)。 如果質(zhì)點繞參考點如果質(zhì)點繞參考點O作圓周運動作圓周運動rmprLvvmO r角動量矢量的起點一般置于參考點上。角動量矢量的起點一般置于參考點上。OrO rvmrprL質(zhì)點對參考點的角動量在通過點的任意軸線上的投影質(zhì)點對參考點的角動量在通

2、過點的任意軸線上的投影。 LOALA cosLLA 質(zhì)點系的角動量質(zhì)點系的角動量設(shè)各質(zhì)點對設(shè)各質(zhì)點對O點的位矢分別為點的位矢分別為nrrr,21動量分別為動量分別為nppp,21 niniiii11)(prLL質(zhì)點對軸線的角動量質(zhì)點對軸線的角動量2-3-2 2-3-2 力矩力矩 tprptrtprtLdddddddd 1力對參考點的力矩力對參考點的力矩0dd pvptr式中式中Ftp ddFrtL dd 質(zhì)點角動量的改變不僅與所受的作用力質(zhì)點角動量的改變不僅與所受的作用力 有有關(guān)，而且與參考點關(guān)，而且與參考點O到質(zhì)點的位矢到質(zhì)點的位矢 有關(guān)。有關(guān)。 rF定義：定義：外力外力 對參考點對參考點O

3、的力矩：的力矩：FFrMmNxyzrOMF力矩的大?。毫氐拇笮。簊inrFM 力矩的方向由右手螺旋力矩的方向由右手螺旋關(guān)系確定，垂直于關(guān)系確定，垂直于 和和確定的平面。確定的平面。rFOxyz1rir2r1F2FiF iiFrMd質(zhì)點系：質(zhì)點系：對參考點的合力矩的大小為各力單獨對參考點的合力矩的大小為各力單獨存在時對該參考點力矩的矢量和。存在時對該參考點力矩的矢量和。2力對軸的矩力對軸的矩OAAMM力力 對點的力矩對點的力矩 在過點的在過點的任一軸線上的投影。任一軸線上的投影。FMcosMMAAOrFF/FMFrM 力力 對軸對軸OA的力矩：的力矩： F FrMA)(/ FFr FrFr/2

4、-3-3 角動量定理 角動量守恒定律 tLMdd1221LLtMttd-質(zhì)點的角動量定理質(zhì)點的角動量定理角動量定理的積分式：角動量定理的積分式：21tttMd稱為稱為“沖量矩沖量矩”tLFrdd 外力距對某固定點的沖量距等于質(zhì)點對該點的角動量的增量。外力距對某固定點的沖量距等于質(zhì)點對該點的角動量的增量。作用在質(zhì)點上的力矩等于質(zhì)點角動量對時間的變化率。作用在質(zhì)點上的力矩等于質(zhì)點角動量對時間的變化率。質(zhì)點系質(zhì)點系的角動量：的角動量： niniiii11)(prLL兩邊對時間求導：兩邊對時間求導： tprptrtLiiiidddddd0dd iiptr上式中上式中 iiiiifFrtpr dd0 i

5、ifr上式中上式中 iiiifrFrtLdd合內(nèi)力矩為零合內(nèi)力矩為零tLFrMiidd 質(zhì)點系角動量定理：質(zhì)點系角動量定理： 質(zhì)點系對質(zhì)點系對z 軸的角動量定理：軸的角動量定理： tzzddLM 質(zhì)點系角動量定理的積分式：質(zhì)點系角動量定理的積分式： 2112dttLLtM如果如果0 M則則恒恒矢矢量量 L-質(zhì)點或質(zhì)點系的角動量守恒定律質(zhì)點或質(zhì)點系的角動量守恒定律 -質(zhì)點系對質(zhì)點系對z 軸的角動量守恒定律軸的角動量守恒定律恒量恒量 zL0 zM 角動量守恒定律是自然界的一條普遍定律，它有著廣泛的應(yīng)用。 應(yīng)用：應(yīng)用：1）天體運動：行星繞太陽轉(zhuǎn)動，受到有心力，對太陽）天體運動：行星繞太陽轉(zhuǎn)動，受到有

6、心力，對太陽 的角動量守恒；的角動量守恒； 2）帶點微觀粒子運動到質(zhì)量較大的原子核附近，粒子）帶點微觀粒子運動到質(zhì)量較大的原子核附近，粒子 受到的電場力也是有心力，角動量守恒。受到的電場力也是有心力，角動量守恒。例例1、證明開普勒第二定律：、證明開普勒第二定律：行星和太陽之間的連線行星和太陽之間的連線在相等時間內(nèi)掃過的橢圓面積相等在相等時間內(nèi)掃過的橢圓面積相等 。rrSd21drrdvrtrrtS21dd21ddLmmrmtS2121ddv恒矢量恒矢量 tSdd有心力作用下角動量守恒有心力作用下角動量守恒 證畢證畢 證明證明例例2. 如圖，兩個質(zhì)量相等的人分別抓住輕繩的兩端。如圖，兩個質(zhì)量相等

7、的人分別抓住輕繩的兩端。設(shè)開始時兩人在設(shè)開始時兩人在同一高度同一高度上，此時左邊的人從上，此時左邊的人從靜止靜止開始往上爬，右邊的人抓住繩子不動，如不計滑輪開始往上爬，右邊的人抓住繩子不動，如不計滑輪的摩擦，問哪個人先到達滑輪？如果兩人的質(zhì)量不的摩擦，問哪個人先到達滑輪？如果兩人的質(zhì)量不等，情況又如何？等，情況又如何？ 解：解： 以以O(shè)點為參考點點為參考點兩人質(zhì)量相等時，系統(tǒng)的兩人質(zhì)量相等時，系統(tǒng)的0M00 LL021 RmRm21vv21mm 21vv 兩人初始高度相同兩人初始高度相同同時到達同時到達系統(tǒng)：人、繩子、滑輪系統(tǒng)：人、繩子、滑輪Om1m2Om1m2時時21mm gRmmM)(12 RmRmL21vv21 以垂直版面向內(nèi)為正