第二章 角動(dòng)量守恒定律

1、mxyzrLpO設(shè)：設(shè)：t t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位矢時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位矢r質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量vm運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于參考點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于參考點(diǎn)O O的的角動(dòng)量角動(dòng)量定義為定義為vmrprL單位：單位：Kg m2s-12-3-1 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量 sinsinvmrrpL rpo角動(dòng)量與所取的慣性系有關(guān)；角動(dòng)量與所取的慣性系有關(guān)；角動(dòng)量與參考點(diǎn)角動(dòng)量與參考點(diǎn)O的位置有關(guān)。的位置有關(guān)。 如果質(zhì)點(diǎn)繞參考點(diǎn)如果質(zhì)點(diǎn)繞參考點(diǎn)O作圓周運(yùn)動(dòng)作圓周運(yùn)動(dòng)rmprLvvmO r角動(dòng)量矢量的起點(diǎn)一般置于參考點(diǎn)上。角動(dòng)量矢量的起點(diǎn)一般置于參考點(diǎn)上。OrO rvmrprL質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量在通過點(diǎn)的任意軸線上的投影質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量在通

2、過點(diǎn)的任意軸線上的投影。 LOALA cosLLA 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量設(shè)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)設(shè)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的位矢分別為點(diǎn)的位矢分別為nrrr,21動(dòng)量分別為動(dòng)量分別為nppp,21 niniiii11)(prLL質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸線的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸線的角動(dòng)量2-3-2 2-3-2 力矩力矩 tprptrtprtLdddddddd 1力對(duì)參考點(diǎn)的力矩力對(duì)參考點(diǎn)的力矩0dd pvptr式中式中Ftp ddFrtL dd 質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的改變不僅與所受的作用力質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的改變不僅與所受的作用力 有有關(guān)，而且與參考點(diǎn)關(guān)，而且與參考點(diǎn)O到質(zhì)點(diǎn)的位矢到質(zhì)點(diǎn)的位矢 有關(guān)。有關(guān)。 rF定義：定義：外力外力 對(duì)參考點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)O

3、的力矩：的力矩：FFrMmNxyzrOMF力矩的大小：力矩的大?。簊inrFM 力矩的方向由右手螺旋力矩的方向由右手螺旋關(guān)系確定，垂直于關(guān)系確定，垂直于 和和確定的平面。確定的平面。rFOxyz1rir2r1F2FiF iiFrMd質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系：對(duì)參考點(diǎn)的合力矩的大小為各力單獨(dú)對(duì)參考點(diǎn)的合力矩的大小為各力單獨(dú)存在時(shí)對(duì)該參考點(diǎn)力矩的矢量和。存在時(shí)對(duì)該參考點(diǎn)力矩的矢量和。2力對(duì)軸的矩力對(duì)軸的矩OAAMM力力 對(duì)點(diǎn)的力矩對(duì)點(diǎn)的力矩 在過點(diǎn)的在過點(diǎn)的任一軸線上的投影。任一軸線上的投影。FMcosMMAAOrFF/FMFrM 力力 對(duì)軸對(duì)軸OA的力矩：的力矩： F FrMA)(/ FFr FrFr/2

4、-3-3 角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒定律 tLMdd1221LLtMttd-質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理的積分式：角動(dòng)量定理的積分式：21tttMd稱為稱為“沖量矩沖量矩”tLFrdd 外力距對(duì)某固定點(diǎn)的沖量距等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量的增量。外力距對(duì)某固定點(diǎn)的沖量距等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量的增量。作用在質(zhì)點(diǎn)上的力矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。作用在質(zhì)點(diǎn)上的力矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量：的角動(dòng)量： niniiii11)(prLL兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)：兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)： tprptrtLiiiidddddd0dd iiptr上式中上式中 iiiiifFrtpr dd0 i

5、ifr上式中上式中 iiiifrFrtLdd合內(nèi)力矩為零合內(nèi)力矩為零tLFrMiidd 質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理： 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)z 軸的角動(dòng)量定理：軸的角動(dòng)量定理： tzzddLM 質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理的積分式：質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理的積分式： 2112dttLLtM如果如果0 M則則恒恒矢矢量量 L-質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律 -質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)z 軸的角動(dòng)量守恒定律軸的角動(dòng)量守恒定律恒量恒量 zL0 zM 角動(dòng)量守恒定律是自然界的一條普遍定律，它有著廣泛的應(yīng)用。 應(yīng)用：應(yīng)用：1）天體運(yùn)動(dòng)：行星繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)，受到有心力，對(duì)太陽）天體運(yùn)動(dòng)：行星繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)，受到有

6、心力，對(duì)太陽 的角動(dòng)量守恒；的角動(dòng)量守恒； 2）帶點(diǎn)微觀粒子運(yùn)動(dòng)到質(zhì)量較大的原子核附近，粒子）帶點(diǎn)微觀粒子運(yùn)動(dòng)到質(zhì)量較大的原子核附近，粒子 受到的電場力也是有心力，角動(dòng)量守恒。受到的電場力也是有心力，角動(dòng)量守恒。例例1、證明開普勒第二定律：、證明開普勒第二定律：行星和太陽之間的連線行星和太陽之間的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的橢圓面積相等在相等時(shí)間內(nèi)掃過的橢圓面積相等 。rrSd21drrdvrtrrtS21dd21ddLmmrmtS2121ddv恒矢量恒矢量 tSdd有心力作用下角動(dòng)量守恒有心力作用下角動(dòng)量守恒 證畢證畢 證明證明例例2. 如圖，兩個(gè)質(zhì)量相等的人分別抓住輕繩的兩端。如圖，兩個(gè)質(zhì)量相等

7、的人分別抓住輕繩的兩端。設(shè)開始時(shí)兩人在設(shè)開始時(shí)兩人在同一高度同一高度上，此時(shí)左邊的人從上，此時(shí)左邊的人從靜止靜止開始往上爬，右邊的人抓住繩子不動(dòng)，如不計(jì)滑輪開始往上爬，右邊的人抓住繩子不動(dòng)，如不計(jì)滑輪的摩擦，問哪個(gè)人先到達(dá)滑輪？如果兩人的質(zhì)量不的摩擦，問哪個(gè)人先到達(dá)滑輪？如果兩人的質(zhì)量不等，情況又如何？等，情況又如何？ 解：解： 以以O(shè)點(diǎn)為參考點(diǎn)點(diǎn)為參考點(diǎn)兩人質(zhì)量相等時(shí)，系統(tǒng)的兩人質(zhì)量相等時(shí)，系統(tǒng)的0M00 LL021 RmRm21vv21mm 21vv 兩人初始高度相同兩人初始高度相同同時(shí)到達(dá)同時(shí)到達(dá)系統(tǒng)：人、繩子、滑輪系統(tǒng)：人、繩子、滑輪Om1m2Om1m2時(shí)時(shí)21mm gRmmM)(12 RmRmL21vv21 以垂直版面向內(nèi)為正