第一章_周期結(jié)構(gòu)

1、Chapter 1 Periodic StructureChapter 1 Periodic StructureCrystal Lattice and Reciprocal LatticeThe most important characteristics of Crystals: Periodic Array of Atoms（ions, Molecules)-LatticeAny lattice point in the array can be represented by the lattice vector332211alalalRll1, l2, l3 are arbitrary

2、integers ，a1, a2, a3are the lattice primitive vectors（or fundamental translation vectors） a1a2The primitive cells and vectors in a 2D latticeCell：The smallest unit in the lattice, which can serve as a building block for the crystal structure.1由由a1, a2, a3組成的平行六面體組成的平行六面體is called as Primitive Cell。2

3、Each cell contains only one lattice site。3The chose of the cell and primitive vector is not unique。The cells volume:： )(321aaaWigner-sietz cell（W-S cell）它是由一個(gè)格點(diǎn)與最近鄰格點(diǎn)（有時(shí)也包括次近鄰格點(diǎn)）的連線(xiàn)中垂面它是由一個(gè)格點(diǎn)與最近鄰格點(diǎn)（有時(shí)也包括次近鄰格點(diǎn)）的連線(xiàn)中垂面所圍成的多面體，其中只包含一個(gè)結(jié)點(diǎn)。所圍成的多面體，其中只包含一個(gè)結(jié)點(diǎn)。它能更明顯地反映點(diǎn)陣的對(duì)稱(chēng)性。它能更明顯地反映點(diǎn)陣的對(duì)稱(chēng)性。它具有所屬點(diǎn)陣點(diǎn)群的全部對(duì)稱(chēng)性（旋轉(zhuǎn)、

4、反射、反演操作）。它具有所屬點(diǎn)陣點(diǎn)群的全部對(duì)稱(chēng)性（旋轉(zhuǎn)、反射、反演操作）。a1a2二維六角點(diǎn)陣的魏格納二維六角點(diǎn)陣的魏格納-賽茨元胞（賽茨元胞（W-S原胞原胞）立方體立方體截角八面體截角八面體棱十二面體棱十二面體簡(jiǎn)單立方（簡(jiǎn)單立方（SC）、體心立方（）、體心立方（BC）和面心立方點(diǎn)陣（）和面心立方點(diǎn)陣（FC）的）的W-S元胞元胞SCBCFC倒格矢倒格矢由于元激發(fā)的狀態(tài)都是由波矢來(lái)描述的由于元激發(fā)的狀態(tài)都是由波矢來(lái)描述的-引入波矢空間及響應(yīng)的點(diǎn)陣，即倒點(diǎn)陣。引入波矢空間及響應(yīng)的點(diǎn)陣，即倒點(diǎn)陣。 倒點(diǎn)陣的基矢是由晶格點(diǎn)陣的基矢定義的：倒點(diǎn)陣的基矢是由晶格點(diǎn)陣的基矢定義的：)3 , 2 , 1,(0

5、)(22jijijibaijii）)(2)(2)(2213132321aabaabaab可求出：可求出： 在倒點(diǎn)陣中任一格點(diǎn)的位置矢：在倒點(diǎn)陣中任一格點(diǎn)的位置矢：332211bnbnbnKn（ni為整數(shù)）為整數(shù)）稱(chēng)為倒格矢。稱(chēng)為倒格矢。 )(321*bbb元胞的體積：元胞的體積： 布里淵區(qū)布里淵區(qū)相應(yīng)的相應(yīng)的W-S元胞作為倒點(diǎn)陣的元胞：在此多面體邊界上的任意一點(diǎn)可元胞作為倒點(diǎn)陣的元胞：在此多面體邊界上的任意一點(diǎn)可由另一點(diǎn)加上一個(gè)倒格矢的平移達(dá)到。由另一點(diǎn)加上一個(gè)倒格矢的平移達(dá)到。當(dāng)它的中心為原點(diǎn)時(shí)，當(dāng)它的中心為原點(diǎn)時(shí)，W-S元胞所包含的區(qū)域稱(chēng)為第一布里淵區(qū)，用元胞所包含的區(qū)域稱(chēng)為第一布里淵區(qū)，

6、用BZ表表示，又稱(chēng)簡(jiǎn)約區(qū)示，又稱(chēng)簡(jiǎn)約區(qū)倒點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣的關(guān)系倒點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣的關(guān)系mlnRKiiiln22)2(*33 m為整數(shù)為整數(shù) BZ具有晶格點(diǎn)陣點(diǎn)群的全部對(duì)稱(chēng)性。具有晶格點(diǎn)陣點(diǎn)群的全部對(duì)稱(chēng)性。2. 2. 平移對(duì)稱(chēng)性平移對(duì)稱(chēng)性點(diǎn)陣是格點(diǎn)在空間中的無(wú)限周期性重復(fù)排列；點(diǎn)陣是格點(diǎn)在空間中的無(wú)限周期性重復(fù)排列；點(diǎn)陣具有平移對(duì)稱(chēng)性，表現(xiàn)為將整體作任意正格矢的平移后，它將恢復(fù)原狀；點(diǎn)陣具有平移對(duì)稱(chēng)性，表現(xiàn)為將整體作任意正格矢的平移后，它將恢復(fù)原狀；即從空間任意一點(diǎn)出發(fā)，作任意正格矢的位移，必達(dá)到等效的點(diǎn)上即從空間任意一點(diǎn)出發(fā)，作任意正格矢的位移，必達(dá)到等效的點(diǎn)上 實(shí)際的晶體有界面，但體的尺寸比界面大實(shí)

7、際的晶體有界面，但體的尺寸比界面大107 108個(gè)數(shù)量級(jí)個(gè)數(shù)量級(jí) 因而，界面幾乎不影響體的物理特性，與邊界條件的選擇無(wú)關(guān)。因而，界面幾乎不影響體的物理特性，與邊界條件的選擇無(wú)關(guān)。波恩波恩-卡門(mén)邊界條件卡門(mén)邊界條件嚴(yán)格講，只有無(wú)限理想晶體才具有平移對(duì)稱(chēng)性；嚴(yán)格講，只有無(wú)限理想晶體才具有平移對(duì)稱(chēng)性；實(shí)際晶體的尺寸比元胞大得多，表面效應(yīng)并不重要；實(shí)際晶體的尺寸比元胞大得多，表面效應(yīng)并不重要； 邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為Na1, Na2, Na3 的有限晶體沿的有限晶體沿a1, a2, a3 三個(gè)方向首尾相接形成三個(gè)方向首尾相接形成循環(huán)邊界條件。循環(huán)邊界條件。N-3N-2N-1N123波恩波恩- -卡門(mén)循環(huán)邊界條件

8、卡門(mén)循環(huán)邊界條件波恩波恩- -卡門(mén)循環(huán)邊界條件在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為：卡門(mén)循環(huán)邊界條件在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為： 0|1EaNEaNEiiiillllRrrRERrrRE1|-平移算符平移算符)()|()(|1RrfrREfrfREll對(duì)于元胞數(shù)為對(duì)于元胞數(shù)為 N N = = N N1 1N N2 2N N3 3 的晶體，的晶體，共有共有 N N 個(gè)平移算符個(gè)平移算符 組成平移群組成平移群lRE |任意兩次相繼的平移仍為一平移；相繼兩次平移的效果與它們作用的先后次序無(wú)關(guān)。任意兩次相繼的平移仍為一平移；相繼兩次平移的效果與它們作用的先后次序無(wú)關(guān)。滿(mǎn)足乘法結(jié)合律滿(mǎn)足乘法結(jié)合律存在逆元素。存在逆元素。存在恒等操作存在

9、恒等操作0|E3. 3. 布洛赫定理布洛赫定理 對(duì)于對(duì)于N（N=N1N2N3）個(gè)元胞的晶體滿(mǎn)足波恩）個(gè)元胞的晶體滿(mǎn)足波恩-卡門(mén)條件時(shí)，具有平移對(duì)稱(chēng)性：卡門(mén)條件時(shí)，具有平移對(duì)稱(chēng)性：由于由于N階平移群的每個(gè)元素本身自成一個(gè)共軛類(lèi)階平移群的每個(gè)元素本身自成一個(gè)共軛類(lèi) mlmlRERERERE|1因此，平移群有因此，平移群有N個(gè)不可約表示個(gè)不可約表示NnN12說(shuō)明平移群的說(shuō)明平移群的N個(gè)不可約表示都是一維的個(gè)不可約表示都是一維的)()|()()|()(|1raEDarraEraEjjjj)(r是一維表示的基函數(shù)。是一維表示的基函數(shù)。D是表示一維矩陣，實(shí)際上是一個(gè)數(shù)。是表示一維矩陣，實(shí)際上是一個(gè)數(shù)。)(

10、)(0|)(|)(1rrEraNErDjjNjj=1,2,3)2exp(, 1jjNNniDDj其中其中nj =0, 1, 2, 由此可得：由此可得：)()/(2exp)()()(|313322111rNnlialalalrRrrREjjjjl在倒逆空間中定義一個(gè)波矢在倒逆空間中定義一個(gè)波矢31jjjjbNnk)()()(|1reRrrRElRkilkkl布洛赫定理布洛赫定理 D定義的定義的k可作為平移群不可約表示的標(biāo)記。可作為平移群不可約表示的標(biāo)記。以上方程可理解為平移算符的本征方程，以上方程可理解為平移算符的本征方程，exp(ik Rl)是它的是它的k個(gè)本征值。個(gè)本征值。進(jìn)一步可得進(jìn)一步可

11、得)()(rerurki)()()(reRrerkilkRrikl如果令如果令可得可得)()(ruRruklk是正點(diǎn)陣的周期函數(shù)是正點(diǎn)陣的周期函數(shù)布洛赫函數(shù)布洛赫函數(shù))exp()()(rkirurkk布洛赫函數(shù)是由晶體的平移對(duì)稱(chēng)性導(dǎo)出的，凡屬周期性結(jié)構(gòu)中的波函數(shù)都應(yīng)布洛赫函數(shù)是由晶體的平移對(duì)稱(chēng)性導(dǎo)出的，凡屬周期性結(jié)構(gòu)中的波函數(shù)都應(yīng)具有布洛赫函數(shù)的形式。具有布洛赫函數(shù)的形式。k的非唯一性問(wèn)題的非唯一性問(wèn)題nKkk 那么那么)exp()exp(llRkiRki第一布里淵區(qū)：任意兩個(gè)波矢之差小于一個(gè)最短的倒格矢的區(qū)域。第一布里淵區(qū)：任意兩個(gè)波矢之差小于一個(gè)最短的倒格矢的區(qū)域。限于第一布里淵區(qū)（限于第

12、一布里淵區(qū)（BZ）的波矢叫簡(jiǎn)約波矢，簡(jiǎn)約區(qū)體積為）的波矢叫簡(jiǎn)約波矢，簡(jiǎn)約區(qū)體積為 *，其中有，其中有N個(gè)個(gè)不同的波矢，它們可以唯一地標(biāo)記平移群的不同的波矢，它們可以唯一地標(biāo)記平移群的N個(gè)不可約表示。個(gè)不可約表示。iak (i=1, 2, 3) (K=0 (i=1, 2, 3) (K=0的對(duì)稱(chēng)多面體，的對(duì)稱(chēng)多面體，W-SW-S元胞元胞) )固體物理學(xué)的幾個(gè)關(guān)系固體物理學(xué)的幾個(gè)關(guān)系1. 平移群不可約表示的正交關(guān)系平移群不可約表示的正交關(guān)系lRkklNRkki) (exp2. 平移群特征標(biāo)的正交關(guān)系平移群特征標(biāo)的正交關(guān)系slRRBZkslNRRk)(exp普遍適用于周期結(jié)構(gòu)中的電子、聲子和自旋波等普

13、遍適用于周期結(jié)構(gòu)中的電子、聲子和自旋波等3. 求和與積分關(guān)系求和與積分關(guān)系相鄰相鄰k值的間距值的間距iiiNbk(i=1, 2, 3)每一許可每一許可k值所占的體積為值所占的體積為VNNNNkkk33321321)2()2(*)(k空間單位體積內(nèi)的有空間單位體積內(nèi)的有 個(gè)不同的波矢?jìng)€(gè)不同的波矢V 為晶體體積為晶體體積 3)2(V求和變積分：求和變積分： (.)2(.)33kdVk 由于晶格結(jié)構(gòu)的周期性，其哈密頓量由于晶格結(jié)構(gòu)的周期性，其哈密頓量H與平移算符對(duì)易，兩者具有共同與平移算符對(duì)易，兩者具有共同的本征函數(shù)的本征函數(shù) 布洛赫函數(shù)布洛赫函數(shù) )exp()()(rkirurkk在單電子問(wèn)題中，

14、晶體中一個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可由布洛赫函數(shù)描述：在單電子問(wèn)題中，晶體中一個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可由布洛赫函數(shù)描述：)()()(rkErHkk)()()(rukEruHkkkkmimkHHk2222相當(dāng)作一相當(dāng)作一 正則變換正則變換 由于由于 )()(ruRruklk可簡(jiǎn)化為在一正點(diǎn)陣的一個(gè)元胞中求解可簡(jiǎn)化為在一正點(diǎn)陣的一個(gè)元胞中求解 有無(wú)窮多個(gè)分立的本證值有無(wú)窮多個(gè)分立的本證值)(kEn因此，晶體中單電子能量是因此，晶體中單電子能量是k的多值函數(shù)的多值函數(shù)每一個(gè)確定的每一個(gè)確定的k描述一套能級(jí)描述一套能級(jí) 和狀態(tài)和狀態(tài))(kEn)(,rkn由于由于 )()(,kEKkEnnnknKknn在在BZ外布洛赫

15、函數(shù)無(wú)新態(tài)外布洛赫函數(shù)無(wú)新態(tài) k限于限于BZ，是取以，是取以k=0為中心的為中心的W-S元胞元胞由于確定由于確定n值的值的 是倒點(diǎn)陣的周期函數(shù)，必有能量的上界和下界是倒點(diǎn)陣的周期函數(shù)，必有能量的上界和下界)(kEn不同不同k同一同一n的所有能級(jí)包括在界內(nèi)，組成一能帶。的所有能級(jí)包括在界內(nèi)，組成一能帶。不同的不同的n代表不同的能帶，它們的總體稱(chēng)為晶體的帶結(jié)構(gòu)。代表不同的能帶，它們的總體稱(chēng)為晶體的帶結(jié)構(gòu)。能帶存在的結(jié)論來(lái)自布洛赫函數(shù)的振幅是正點(diǎn)陣的周期函數(shù)這一普遍性特征。能帶存在的結(jié)論來(lái)自布洛赫函數(shù)的振幅是正點(diǎn)陣的周期函數(shù)這一普遍性特征。周期結(jié)構(gòu)中一切波的能（頻）譜都成周期結(jié)構(gòu)中一切波的能（頻）譜

16、都成帶帶4. 4. 布里淵區(qū)和晶體的對(duì)稱(chēng)性布里淵區(qū)和晶體的對(duì)稱(chēng)性 空間群包含平移、旋轉(zhuǎn)、反射、滑移反映、螺旋軸等對(duì)稱(chēng)操作空間群包含平移、旋轉(zhuǎn)、反射、滑移反映、螺旋軸等對(duì)稱(chēng)操作空間群算符操作：空間群算符操作：trt| 代表旋轉(zhuǎn)、反映等點(diǎn)群對(duì)稱(chēng)操作，代表旋轉(zhuǎn)、反映等點(diǎn)群對(duì)稱(chēng)操作，t代表平移。代表平移。 lRE |-平移群平移群 0|-點(diǎn)群點(diǎn)群 |-螺旋軸或滑移反映面螺旋軸或滑移反映面算符相乘：算符相乘： tsst|逆：逆： tt111| 晶體空間群的定義：包括平移群作為不變子群的晶體空間群的定義：包括平移群作為不變子群的t |元素集合元素集合llREtREt|1這就限制了晶體中只可能出現(xiàn)這就限制了

17、晶體中只可能出現(xiàn)2、3、4、6次旋轉(zhuǎn)軸，使晶體空間群成為有限群次旋轉(zhuǎn)軸，使晶體空間群成為有限群 不變子群條件要求不變子群條件要求lR仍為正格矢，即點(diǎn)陣經(jīng)旋轉(zhuǎn)等點(diǎn)群操作后應(yīng)與自身重合，仍為正格矢，即點(diǎn)陣經(jīng)旋轉(zhuǎn)等點(diǎn)群操作后應(yīng)與自身重合，（1 ）布里淵區(qū)（）布里淵區(qū)（BZ）中）中En(k)的對(duì)稱(chēng)性的對(duì)稱(chēng)性t |t |設(shè)晶體屬于空間群設(shè)晶體屬于空間群，則晶體的哈密頓，則晶體的哈密頓H應(yīng)與應(yīng)與對(duì)易，即對(duì)易，即H對(duì)于空間群對(duì)于空間群 的一切操作是不變的，有對(duì)稱(chēng)性：的一切操作是不變的，有對(duì)稱(chēng)性：t |HtHt|1可以證明：可以證明：1|)(|)(2,rtrknkn可求出可求出)()()()(|)()()()

18、(3,*,3,1*,3,*,kErdrHrrdrtHtrrdrHrkEnknknknknknknn 只是屬于該晶體空間群的點(diǎn)群操作。只是屬于該晶體空間群的點(diǎn)群操作。在每一能帶中如果把能量在每一能帶中如果把能量E En n( (k k) )看作布里淵區(qū)中看作布里淵區(qū)中“位置位置”的函數(shù)，它便的函數(shù)，它便具有點(diǎn)陣點(diǎn)群具有點(diǎn)陣點(diǎn)群 的全部對(duì)稱(chēng)性，此即簡(jiǎn)單空間群中的全部對(duì)稱(chēng)性，此即簡(jiǎn)單空間群中En(k)的對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)性。性。0|例如：二維正點(diǎn)陣?yán)纾憾S正點(diǎn)陣BZ為正方形，保持為正方形，保持BZ不變的點(diǎn)群操作有不變的點(diǎn)群操作有8個(gè)，個(gè)，4mm標(biāo)記。標(biāo)記。對(duì)于對(duì)于BZ中矢量中矢量k1施于上述點(diǎn)群操作后，它

19、變?yōu)槭┯谏鲜鳇c(diǎn)群操作后，它變?yōu)閗2, k3, k4, k5, k6, k7, k8. 這這8個(gè)點(diǎn)在個(gè)點(diǎn)在同一能帶中有相同的能量。同一能帶中有相同的能量。Kx/a-/a/a-/ak1k2k6k7k5k4k3k8mxmymdmdC4C42C43E二維正點(diǎn)陣二維正點(diǎn)陣BZ為正方形，保持為正方形，保持BZ不變的點(diǎn)群操作有不變的點(diǎn)群操作有8個(gè)個(gè))(.)()(821kEkEkEnnn（2.） En(k)的簡(jiǎn)并度的簡(jiǎn)并度)()()(rkErHkk簡(jiǎn)并：同一簡(jiǎn)并：同一k不同態(tài)具有相同能量本征值。不同態(tài)具有相同能量本征值。簡(jiǎn)并度：設(shè)在簡(jiǎn)并度：設(shè)在k點(diǎn)第點(diǎn)第n個(gè)能量本征值的簡(jiǎn)并度為個(gè)能量本征值的簡(jiǎn)并度為dn,則有

20、則有dn個(gè)布洛赫函數(shù)個(gè)布洛赫函數(shù) 對(duì)應(yīng)于同一個(gè)能量對(duì)應(yīng)于同一個(gè)能量 ),.,2 , 1)(,njkndjr)(kEn這種情況往往發(fā)生在這種情況往往發(fā)生在BZ中某些高對(duì)稱(chēng)性的點(diǎn)與線(xiàn)上。中某些高對(duì)稱(chēng)性的點(diǎn)與線(xiàn)上。這時(shí)點(diǎn)群中的某些元素對(duì)這時(shí)點(diǎn)群中的某些元素對(duì)k運(yùn)算后保持運(yùn)算后保持k不變（或等于不變（或等于k+Kn），）， 但這些元素對(duì)布洛赫函數(shù)作用將產(chǎn)生具有不同對(duì)稱(chēng)性的一但這些元素對(duì)布洛赫函數(shù)作用將產(chǎn)生具有不同對(duì)稱(chēng)性的一組函數(shù)，它們具有相同的組函數(shù)，它們具有相同的k和本征能量和本征能量 )(kEnK波矢群：波矢群： 0|點(diǎn)群點(diǎn)群 中對(duì)中對(duì)k k運(yùn)算后保持運(yùn)算后保持k k不變（或等于不變（或等于k k

21、+ +K Kn n）的那些對(duì)稱(chēng)操作元素）的那些對(duì)稱(chēng)操作元素的集合所構(gòu)成的點(diǎn)群的集合所構(gòu)成的點(diǎn)群nKkkk波矢群不可約表示的維數(shù)等于波矢群不可約表示的維數(shù)等于k點(diǎn)能級(jí)的簡(jiǎn)并度點(diǎn)能級(jí)的簡(jiǎn)并度dn.例如：二維正方點(diǎn)陣的波矢群例如：二維正方點(diǎn)陣的波矢群（i） 點(diǎn)：點(diǎn)：k=0的波矢群即點(diǎn)群的波矢群即點(diǎn)群4mm；這個(gè)群可分為；這個(gè)群可分為5個(gè)共軛元素類(lèi)個(gè)共軛元素類(lèi),34424ddyxmmmmCCCE因此，有因此，有5個(gè)不可約表示，這些表示的維數(shù)個(gè)不可約表示，這些表示的維數(shù)n 應(yīng)滿(mǎn)足應(yīng)滿(mǎn)足5128nKxKy/a-/a-/a二維正點(diǎn)陣二維正點(diǎn)陣BZ中高對(duì)稱(chēng)性的點(diǎn)與線(xiàn)中高對(duì)稱(chēng)性的點(diǎn)與線(xiàn)MXZ82111122222)0(nE其解只可能有：其解只可能有：說(shuō)明說(shuō)明 波矢群有波矢群有4 4個(gè)一維和個(gè)一維和1 1個(gè)兩維的不可約表示，即個(gè)兩維的不可約表示，即4 4種單重態(tài)和種單重態(tài)和1 1種雙種雙重態(tài)，在重態(tài)，在 點(diǎn)點(diǎn) 可能有兩重簡(jiǎn)并發(fā)生?？赡苡袃芍睾?jiǎn)并發(fā)生。（ii）M點(diǎn)點(diǎn)M點(diǎn)波矢經(jīng)點(diǎn)波矢經(jīng)4mm所有群元作用后仍在四角頂點(diǎn)上，波矢群也為所有群元作用后仍在四角頂點(diǎn)上，波矢群也為4mm，可能有兩，可能有兩重簡(jiǎn)并發(fā)生。重簡(jiǎn)并發(fā)生。（iii) X點(diǎn)點(diǎn)X波矢群應(yīng)由波矢群應(yīng)由E，mx, my, C42等等4個(gè)元素組成。這個(gè)群中各個(gè)元素