直線與橢圓地位置關(guān)系練習(xí)的題目三

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案直線與橢圓的位置關(guān)系練習(xí)題三221 .橢圓c：；+t=i(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，且 a b過(guò)點(diǎn)A(2,1)(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l:x_1_y=0與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N ,求M N |的值.【答案】(1) + =1 ； ( 2) |M N | =五h +X2 )2 4x2 =上叵 825【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用(1 )由條件a =2b ,所以C :24b,代入點(diǎn)(2,1)可得b =«(2)聯(lián)立橢圓和直線方程可得直線5x2 8x 4=0 7 所以X1X28一，X,55,結(jié)合相交弦的

2、公式得到結(jié)論。解：(1)由條件a=2b ,所以C ：x y =1224b b，代入點(diǎn)(2,1)可得精彩文檔22b=TT，橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為 二十L=1；(2)聯(lián)立橢圓和直線方程可得直線5x? -8x-4=0 ,所以X1X28一，X1X25由相交弦長(zhǎng)公式可得M N = . 2 /(X1 - x2 )2 4x1x22 .（本小題12分）離心率為 日的橢圓c 的左、右焦點(diǎn)分別為 Fi（.1,0）、F2（1,0）I, O是坐標(biāo)原點(diǎn).（1 ）求橢圓C的方程;（2）若直線x=ky+l與C交于相異兩點(diǎn)M、N ,且常亦=，求k .（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)） 92254【解析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，直

3、線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，其中根據(jù)已知條件求生橢圓的標(biāo) 準(zhǔn)方程是解答本題的關(guān)鍵.（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)可知道參數(shù)a,b,c的值，進(jìn)而求解得到=ky - 125y =202= (5k24)y 8ky - 16 =0=0結(jié)合韋達(dá)定理得到向量的關(guān)系式以及參數(shù)k的值 解：（1）依題意得a2a =5-2b =4,故橢圓C的方程為二十乙=15424)y 8ky16=0=07M (x1, y 1)N (x2,y2 )則y1 , y2y1 y2-8k-24k 5-164k 2522- 20 k 5= x i x2 = (ky i 1)( ky 21) = k v 1V2k ( yi y 2)1 =24k 52

4、1012分.20 k 1131 OM ON =xx2，yiy2 二 2一-4k 59=k2 =1從而 k =±1、,223.(本小題12分)橢圓，+匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為 匕、 43F2 ,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1與橢圓交于A,B兩點(diǎn)。(1 )求MBF 2的周長(zhǎng)；(2)若l的傾斜角為：，求MBF 2的面積?！敬鸢浮?1) a =2；, “F 2的周長(zhǎng)為8o/1|112V2 124(2) S&BF2 =_1 F1F2 1,1 f =一父 2 M=。22277【解析】本題考查三角形周長(zhǎng)的求法和三角形面積的計(jì) 算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈 活運(yùn)用橢圓的性質(zhì)， 注意橢

5、圓定義、韋達(dá)定理在解題中的 合理運(yùn)用.(1)由橢圓的定義，得AE+AF2=2a, BF1+BF2=2a ,又AE+BE=AB,所以，4ABF2 的周長(zhǎng)=AB+AF+BF2=4a.再由 a2=4,能導(dǎo)由4ABF2的周長(zhǎng).(2)由F1 (-1 , 0), AB的傾斜角為,知直線 AB的方 4y = x - 1, 程為 y=x+1 .由 lx2 y2 1.,43消去 x,得 7y2-6y-9=0 ,設(shè) A (x1, y1), B(X2, y2),借助韋達(dá)定理能夠求生 ABF 2的面積.解：(1)由橢圓的定義，得 | AFi | +| AF2 | = 2a , | B Fi | + | B F ? |

6、= 2 a ,2 分又 | AFi | +| BFi |=AB 所以 AABF2的周長(zhǎng)為 |AB| 十 |AF2|十|BF2| = 4a。4 分又因?yàn)閍2 =41所以a =2,故8BF 2的周長(zhǎng)為8-5分（2）由條件，得Fi（-1,0）.，因?yàn)锳B的傾斜角為工，所以AB14斜率為1 ,故直線 AB |的方程為 y = X +1。 6分y = x - 1, 由（x2y2消去 x ,得 7y2 -6y 9 =。， 8 分+ =1,、43設(shè) A（x1 , y1 ） , B（x2 , y2）,解得 V1 = 3 +6我,y2= 3 一6五 10 分77所以S ABF2 二 I F1F 2 r y1-

7、y211 2、. 21 2,. 2=-M2M=27712分224 .直線 l 與橢圓 二十、=1(a Ab A0)父于 A(xy1), B(x2,y2)兩點(diǎn), a b已知m = (ax 1, by 1) , n = (ax 2 , by 2 ),若m _L n且橢圓的離心率e=近，又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(五,1) , O為坐標(biāo)原點(diǎn). 22(I )求橢圓的方程；(n)若直線l過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F(0,c)卜(c為半焦距)，求直線l的斜率k的值；(M)試問(wèn)：AAOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予 證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由 . 2【答案】(I) z_+x2=i (n)卜=±冏-(田)三角形的面積 4為

8、定值。證明見(jiàn)解析【解析】(I)由e和橢圓過(guò)點(diǎn)(立,i)可得到關(guān)于a,b的兩 2個(gè)方程，從而解由 a,b值求生橢圓的方程.(II)設(shè)l的方程為y=kx十石，由已知m ,n =0得：a 2 x1 x2 ，b2yly2 =4x1x2 - (kx 1 - 4 3)( kx2，由)=(4 - k 2) x1 x2 ,3k (x1 - x2) 3= 0然后直線方程與橢圓方程聯(lián)立消y后得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理建立關(guān)于k的方程求生k值.(III)要討論AB斜率存在與不存在兩種情況 .研究當(dāng)AB斜率 存在時(shí)，由已知 m n =0 ,得 4x12y12=0= y12 =4x12，又 A(x1,y1)

9、在 橢圓上，所以x12 +疸=1=|x1| =三,|山| =五，從而證明出42S =一 | x1 H y1 - 丫？七一1 x1 121y1 口 為定值. 22a 十22a 4 ba二12a = 2,b = 12橢圓的方程為y x2=14(n)依題意，設(shè)i的方程為丫=口+&y = kx 由 y y22=(k2+4)x2 +2/3kx _1 = 0q x 二 14顯然-： 0-2.3k-1% x2=2, xi x2 二 2k 94k - 4由已知mF =0得：I- 222-a x1 x2 - b y1y 2 =4x1x2 - (kx1，工,3)( kx2，,'3 ) = ( 4

10、k ) x1x23k ( x1 - x2)321-2.3 k二(k - 4)( - 2) - , 3k . 23=0k 4k 4解得k余(m)當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，即*-2»=7由已知mF =0 ,22224x171=°= 丫1=4x1又A(xyj在橢圓上，所以 x： +4x =1 = | x1 | 二立,| 丫1 | = V242S =1|x1 | y1 -y2 I = 1|x1 |2| y1 1 = 1 ,三角形的面積為定值.7分22當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)：設(shè)AB的方程為y=kx+ty = kx - t222y 1k22= (k 4)x 2ktx t 7 =0 '

11、; x2 =1,4必須 0>o即 4 k2t2 -4(k2 +4)( t2 -4) >02得到、1+'2=丹尸5=三 m _1_ n , 4x1x2 + y1y2 =0U 4x1x2 +(kx1 +t)(kx2 +t) =0代入整理得：2t2.k2=4 10.11t I1-：2S=/ I AB | = 1 |t |+ x2) _4xj1加值.1盼所以三角形的面積為定225.已知橢圓方程為 二十二=1(a Ab0),它的一個(gè)頂點(diǎn)為 a bM (0,1),離心率e =也. 3(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓交于A, B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為立，求4AOB面 2

12、積的最大值.【答案】(1)二+ y2=i. (2)立 32【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解以及直線與 橢圓位置關(guān)系的綜合運(yùn)用(1 )設(shè) c = 7 a 2 一 b 2 ,解得卜二工,解得b =1'b =1依題意得 ,Y7VJ62分c a a - b 6 6 e =-=aa3(2)聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理和三角形的面積公式得 到結(jié)論。解：(1)設(shè) c = Ja2 b2 ,b =1依題意得c&2分c a a b 6解得，a= & 3分b =12二橢圓的方程為、+ y2=1.4分3(2)當(dāng) AB_lx軸時(shí)，iab |=J3. 5 分當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)， 設(shè)直線AB的

13、方程為y =kx + m , A (x1, y 1), B (x2，y2)y=由已知 萼L=曰4Hm 3k - 1 =2(k2 +1),6 分把y =kx +m代入橢圓方程，整理得1 - k224222(3 k- 1) x - 6 kmx 1 3 m - 3 = 0 ,2 6 km3( m 1)x1x2 =2 ,x1x2 =2.3k 13k 12222| AB | =(1 k )" x1)=(1 k )2236 k m22(3k- 1)212 ( m - 1)2222212 (1 - k )( 3k 1 -m )3(k- 1)( 9k - 1)22-22(3k- 1)(3k- 1)2

14、12 k1212=3 + -22 = 3 +(k O 0) < 3 + = 4.9k 6k 1212369 k-26 k當(dāng)且僅當(dāng)9k2=4，即k=±2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí) k3| AB |=2. 10當(dāng)k =0時(shí)，| AB |=73.11分綜上所述：lAB|max=2,此 時(shí)AAOB卜 面 積 取 最 大 值1,33S =-1AB |max X- = 一. 1277222有其它解答，請(qǐng)老師們參考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)酌情給分!“.226 .已知直線y=_x+1與橢圓>+>b>0）相交于a,b兩a b點(diǎn)。若橢圓的離心率為 在，焦距為2 ,求線段AB的長(zhǎng)。3【答案】AB【解析】本試

15、題主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn) 用。聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理以及橢圓的幾何性質(zhì)先求解由a,b的值然后利用弦長(zhǎng)公式解得AB的長(zhǎng)度。“.227 .（本小題滿分10分）求以橢圓L+2L=i的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),8 5以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的方程.【答案】"c =V5,b =加則雙曲線的方程為22x y一 二 132【解析】本試題主要是考查橢圓方程以及幾何性質(zhì)與雙曲22線方程的求解的綜合運(yùn)用。根據(jù)橢圓的方程為L(zhǎng)+二=1可852一' =12知2=而內(nèi)=而則。=6。再結(jié)合兩者的關(guān)系可知雙曲線中a =6, C=/5, b二2,則雙曲線的方程為“.22解：由橢圓的方程為 營(yíng)十亍=1可知a

16、 =T8,b =75,則c=F,.、,22又因?yàn)殡p曲線以橢圓:+匕=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓的頂85/點(diǎn)為焦點(diǎn)，所以可知雙曲線中a=73,c=Mb="則雙曲線的22方程為x=1328. （13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)（°, 6）,（。聲|的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為Co（1）求生C的軌跡方程；（2）設(shè)直線y =kx +i與C交于A、B兩點(diǎn)，k為何值時(shí)OA±Ob ?2【答案】（1） L+x2=14（2） k=2【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。（1）因?yàn)辄c(diǎn)P到兩點(diǎn)（。，出），（。，73）的距離之和等于4

17、,設(shè) 點(diǎn)P的軌跡為Co符合橢圓的定義，因此可知a,c的值得到橢圓的方程。（2）設(shè)直線與橢圓方程聯(lián)立方程組，然后結(jié)合韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得到k的值。2解：（1）工+x2 =1（5分）4（2）設(shè) A3 , y, , B 區(qū)，丫2）I +匚 一/口，一，、由 4 型（k? +4）x? +2 kx -3 =0 , >0 怕成| y = kx - 1- O A - O B . O A O B =0 . x1x2 , y1y 2 = 0 . x1 x2 (kx1 1)( kx2 1)=02,2,2,23( k +1) 2k +k +4. 1(k 1) x1 x2 k( x1 x2)10

18、. k =k2 - 42.當(dāng) k=±X4OA_LOB> ( 13 分)2229 .（本題12分）已知命題p：方程_x_+_y_=i表示焦點(diǎn) 16 .m m 4在x軸上的橢圓；命題q ：點(diǎn)（m,4）在圓（x.10）2 +（y）2=131內(nèi). 若PC為真命題，P八q為假命題，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】4 <m <8或10 < m < 12 .【解析】先求生p、q為真的條件，然后根據(jù)pc為 真命題，P"為假命題可知p、q一真一假，再分兩種情 況求m的取值范圍，再求并集即可.命題 p ： 4 Hm <10 ；命題 q : 8 <m &l

19、t;12由題意，命題p和命題q 真一假，若p真q假，則 cos / F1PF 2 = cmM8 ；若 p 隹i q 真，貝U 10 Em <12 ；故實(shí)數(shù)m的取值范圍是4<mM8或10 < m <12 .10 .（本題12分）已知橢圓的焦點(diǎn)是F1（.1,0）和F2（1,0）,又過(guò) 點(diǎn)（1,3）.2（1）求橢圓的離心率； 又設(shè)點(diǎn)P在這個(gè)橢圓上，且| PF 1 | | PF 2 |=1 ,求/F1PF2的余 弦的大小.22【答案】(1)方程為L(zhǎng) + J=1 , e J ；(2)432【解析】(1)由已知條件可知 c,然后根據(jù)P(i,3),|PF i|+|PF 2|=2a,求

20、生a值,則離心率確定. 2(2)根據(jù) |PFi|+|PF 2|=4, ipFiI_ipf2I=i,|F 園=2，根據(jù)余弦定理可求由 “PF2的余弦值.2211.(本題滿分12分)給生命題p：方程2L+_=i表示焦點(diǎn) a 2 a在y軸上的橢圓；命題q ：曲線y = x2 +(2a .3)x +1與x軸交于不 同的兩點(diǎn).(1)在命題p中，求a的取值范圍；(2)如果命題“ ps”為真，“P八q”為假，求實(shí)數(shù)a的取 值范圍.【答案】(1) 0 <a <1 ； (2) (.« ,0 U,1) U (5,4=c ). 22【解析】本試題主要考查了命題的真值，以及橢圓的方程，拋物線于x

21、軸的交點(diǎn)問(wèn)題的運(yùn)用。第一問(wèn)中利用命題 p為真，得到a的范圍。第二問(wèn)中，因?yàn)槊}“ P文q”為真，“pAq”為假二p,q四一真一假，那么分情況討論得到。解：(1)命題 p 為真 U 2-a>a>0 0 < a <1 4分(2)> 命題 q 為真 u =(2a-3)2-4>0U a < a > 22命題“pS”為真，“pAq廣為假=p，q中一真一假6分 0 <a <1.當(dāng)p真q假時(shí)，1 . J ,得：一三a三一 a 2a£0或a至1廣當(dāng)p假q真時(shí)，、5,得aw?；騛ja <一或 a > -222所以a的取值范圍是(,

22、oU-,i)U(-,+«)2212分2212.點(diǎn)p在橢圓二+2_=11 69上,求點(diǎn)P到直線3x.4y=24的最大距離和最小距離?！敬鸢浮縟max =上(2 十 J2), dmin =t(2 J2)。 5 5【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式可知，設(shè)P( 4 cos 0, 3 sin 0),12cos0-12sin 6241d =L512 72cos(6 +三)-24即 d =4一5,當(dāng) cos(日 +土)= 1 時(shí),4dmax =當(dāng)2十亞；5當(dāng) cos(日 +土) =1 時(shí) d4解：設(shè) P(4cos&3sin 0),=上(277)。結(jié)論可知。5用H 1 2 cos 6 1 2s

23、in 日24叭 U d = J512 V2'cos(9 +) -24即 d =4, 當(dāng) cos(9 +土) = T 時(shí)， d max =12 (2 +V2)；545當(dāng) cos(e + -) =1 時(shí), 4x y 1(a . b , 0)的離心率為3 I ,長(zhǎng)軸長(zhǎng)13.已知橢圓a2 b2為2右I,直線l:y=kX+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A、B.(1)求橢圓的方程;(2)求 m=1,且 OA QB =0,求 k的值(。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))；3(3)若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為2 | ,求AAOB 面積的最大值.k '、3k 二二(3)1S =2當(dāng)|AB|最大時(shí)，&AOB F的面積最大值2【解析】(1)依題意得,所以 c=、2，b =1橢圓方程為3=1(2)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，保證6kX1 - x2,x1X2 = 0,禾fj用0A OB =0 ,可得(3)由原點(diǎn)m。到直線l的距離為2 |得) .直線方程與橢圓方程聯(lián)立，保證X1 X26km23m -32 ，X1X21 - 3k2I AB | 二.221 +3k2 |,禾f