異面直線所成角練習(xí)題

1、范文范例學(xué)習(xí)參考精品資料整理i .如圖，在正方體 ABCD -ABGDi中，異面直線AiD與BCi所成的角為DiJ 口3A. 30°【答案】【解析】.45°9 90°試題分析：如圖所示,連接BiC,AD與BC所成的角為90° .故選：D.考點(diǎn)：異面直線及其所成的角2.已知平行六面體=/ AiAD= i20° ,ABCD- AiBGD中，底面 ABC皿邊長為 則異面直線 AC與AiD所成角的余弦值（的正方形，AA = 2, /AAB ). T47i55Jc5試題分析：設(shè)向量 AB=a, AD = b, AA, = c ,則 AC = a+ b+

2、c,AD = b c , ACi = 2, AD = ,7 ,COS ：AC1,A1D =AC1I4。7考點(diǎn)：空間向量的集合運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算。3 .正方體 ABCD AiBiGDi 中，E,F,G,H 分別是 AAi, AB , BB1，B1G 的中點(diǎn)，則直線EF與GH所成的角是（）A. 30°B .45°C . 60°90°【答案】C【解析】試題分析：由三角形中位線可知 EF AiB,GH L BCi，所以異面直線所成角為 NABG ,大小為60°考點(diǎn)：異面直線所成角4 .在正方體 ABCD ABiCiDi中，E是BCi的中點(diǎn)，則異面直線 D

3、G與BE所成角的余弦值為（）A. 2 底 B , 2d0 C . _2j20 D . 2 店【答案】B【解析】105試題分析：取BC中點(diǎn)F ,連結(jié)FD , FC1 ,則/ DCF為異面直線所成角，設(shè)邊長為2,.GF ”5,DCi =：8, DF = 5 cos DCiF考點(diǎn)：異面直線所成角5 .如圖，正四棱柱ABCD-A'BCD'中（底面是正方形，側(cè)棱垂直于底面）AA'=3AB,則異面直線 A'B與AD'所成角的余弦值為（）7ioA、9B 、4 CI05【答案】A【解析】、r、 l一，t 1 一、 ，.， 1' f-'.'_

4、9;.試題分析：連結(jié)BC ,異面直線所成角為/ ABC ,設(shè)AB = i,在AABC中AC' =、2, AB = BC' =、.而.9cos - A BC = io考點(diǎn)：異面直線所成角6 .點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PAL平面ABCD , PA = AB ,則PB與AC所 成的角是A. 60° B . 90° C . 45°D . 30s【答案】A【解析】試題分析：作出空間幾何體如下圖所示：設(shè)正方形的邊長為2,所以PB與AC所成的角就是 上 FEA ,由題意可知： EF = AE = AF = J2 ,所以 ZFEA =601考點(diǎn)：異面直線的

5、位置關(guān)系.,- _ 一_ 一7 .如圖所不，在棱長為1的正萬體 ABCD A1B1clD1中，M是棱CD的中點(diǎn)，則A1M與DC i所成角的余弦值為()22 C10, 10,.一百B.豆 C. 一行D.加【答案】A 【解析】試題分析：以分別以DA,DC,DD1為x, y, z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)由棱長_1 一則 D。0。，41。1),0,”,。©1,1),所以-11 T?AM =(-1,2,-1),DC10+2-1,2二(0 , 1,1 cos < A1M , DC1 >= -2=,故選 A.3.262考點(diǎn)：空間向量所成角的余弦值8.在正方體ABCD ABiCQi中，

6、E、F分別為AB、BC中點(diǎn)，則異面直線EF與ABi所成角的余弦值為范文范例學(xué)習(xí)參考【解析】試題分析：聯(lián)結(jié) ACB1C則/B1AC即為所成的角。BiAC為等邊三角形，所 一 1以 cos._B1AC =cos60* 二2考點(diǎn)：異面直線所成的角9 .在正方體 ABCO AiBCQ中，點(diǎn)P在線段 AD上運(yùn)動，則異面直線 CP與BA所的0角的取值范圍是（）o<<-o<5<-。<然£1. 一 B.C.二 D.二【答案】D【解析】如圖，連結(jié) CD,則異面直線CP與BA'所成的角0冗等于/ D'CP,由圖可知，當(dāng) P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，0 = 3當(dāng)P點(diǎn)無限

7、接近 D'點(diǎn)時(shí)，0趨近于0.由于是異面直線，故 00.選D考點(diǎn)：空間幾何體，異面直線所成角10 .如圖，正方體 ABCD ABCiDi,則下列四個命題: P在直線BC1上運(yùn)動時(shí)，三棱錐 A-D1PC的體積不變;P在直線BG上運(yùn)動時(shí)，直線 AP與平面ACD1所成角的大小不變;P在直線BC1上運(yùn)動時(shí)，二面角 P -AD1 -C的大小不變;M是平面AB1C1D1上到點(diǎn)D和C1距離相等的點(diǎn)，則 M點(diǎn)的軌跡是過 D1點(diǎn)的直線 其中真命題的個數(shù)是A. 1 B .2 C .3 D .4【答案】C【解析】試題分析： BC1 /平面AD1 , BC1 /上任意一點(diǎn)到平面AD1c的距離相 等，所以體積不變

8、，正確.P在直線BG上運(yùn)動時(shí)，直線AB與平面ADiC 所成角和直線AC1與平面AD1c所成角不相等，所以不正確.當(dāng)P在直線 BG上運(yùn)動時(shí)，AP的軌跡是平面PADi ,即二面角P - ADi -C的大小不受影 響，所以正確.M是平面ABGD1上到點(diǎn)D和C1距離相等的點(diǎn)，M點(diǎn) 的軌跡是一條與直線DC,平行的直線，而DDi=DiG,所以正確，故答案為： C .考點(diǎn)：異 面直線及其所成的角；棱柱、棱錐、棱臺的體積；與二面角有關(guān)的 立體幾何綜合題.ii .如圖，正方體 ABCD-ABGDi中，AB的中點(diǎn)為 M DD的中點(diǎn)為 N,則異面直線 BM與 CN所成的角是（）A. 0 B. 45 C. 60 D.

9、 90DiClt【答案】D【解析】試題分析：解：取 AA的中點(diǎn)E ,連接EN , BE交BiM于點(diǎn)O ,Ct則 EN BC ,且 EN = BC二四邊形BCNE是平行四邊形.BE/CN丁 ZBOM就是異面直線B1M與CN所成的角,而 Rt BB1M 三 Rt ABE二 /ABE=/BB1M , NBMB1 =/AEB,二 /BOM =900 .故選 D.考點(diǎn)：異面直線所成角12 .如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱長AA1= J2，則異面直線A1B1與BD1的夾角大小等于【答案】60°【解析】試題分析：由直四棱柱 ABCD-AB1cl D1的底面是

10、邊長為1的正方形，側(cè)棱長AA1 = J2可得BD1 =2,由ABI-AB1 知/ABD1就是異面直線 AB1與BD1的夾角，且AB 1 cosjABD1 =一，所以2ABD1=60。，即異面直線 AB1與BD1的夾角大小等于BD1260° .考點(diǎn)：1正四棱柱；2異面直線所成角13 .如果直線AB與平面a相交于B,且與口內(nèi)過點(diǎn)B的三條直線BC, BD, BE所成的角 相同，則直線 AB與CD所成的角=.【答案】900【解析】試題分析：因?yàn)?，直線AB與平面a相交于B,且與a內(nèi)過點(diǎn)B的三條直線BC, BD,BE所成的角相同，所以，直線 AB在平面口內(nèi)的射影應(yīng)是BC,BD夾角的平分線，同時(shí)也

11、應(yīng)是 BD,BE夾角及BC, BE的平分線，因此，直線 AB在平面a內(nèi)的射影是點(diǎn)B ,即AB _L a ,而CD u久，所以AB _L CD ,直線AB與CD所成的角為900考點(diǎn)：直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系.14 .平行六面體 ABCD-A1BCD中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長度都為 2,且兩兩夾角為60。，則DBi和CiA1所成角大小為 .、6 arccos- 6DB1 =AB+AA AD,A1C1 = AB +ADDBi GA = . 2 ADAB AA -AD (AB AD) = AB AB+AA AB+AA AD-AD AB2AD =4DBf =|ab；+ aa1 -AD2 =AB

12、12十2十“2.AD 十 2 AB1AAi精品資料整理-2ABi AD -2AA1 AD=8, DB1= 2J2 ，同理：設(shè)DBi和CiA所成角大小為日cos9 = cos < DB1 ,C1A > =DB1 C1ADB1|C1Al2% 2 2 36arccos- 6考點(diǎn)：1.向量的加法和減法；2.向量的數(shù)量積；3.向量的模；4.異面直線所成的角;15 .已知四面體 ABCD中，DA = DB = DC =3j2 ,且DA, DB,DC兩兩互相垂直,點(diǎn)。是AABC的中心，將ADAO繞直線DO旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，直線 DA與 直線BC所成角的余弦值的最大值是 【解析】試題分析：

13、當(dāng) OABC時(shí)，直線DA與直線BC所成角最小，對應(yīng)的余弦值最大, cos/OAD ；易知：AB = AC =BC =6, OA =6 丑=2. 3 , cos OAD = OA = 2 3 ;3DA 3. 2考點(diǎn)：異面直線所成的角.即,6316.如圖所示， ABCD -A1BC1D1為正方體，給出以下五個結(jié)論：BD平面CB1D1； AC1，平面 CB1D1 ;AC1與底面ABCD所成角的正切值是 J2 ； 二面角C -BD -Ci的正切值是 J2 ； 過點(diǎn)A1且與異面直線 AD和CB1均成70。角的直線有2條.其中，所有正確結(jié)論的序號為 .【答案】【解析】試題分析：如下圖，正方體 ABC>

14、; ABCD中，由于BD/ BiD ,由直線和平面平行的判定定理可得BD/平面CBD ,故正確.故正tan /由正方體的性質(zhì)可得 BiDXAO, CGL B1D1,故 BD,平面 ACOA,故BiDiXAG 同理可得BiC±AC.再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得，AC,平面CBD ,確.CC.1工AC與底面ABCDF成角的正切值為 =產(chǎn)= ,故不正確.AC22取 BiD 的中點(diǎn) M,則/ CMC即為二面角 C- BD- C的平面角， RtCMC中,CMC= CG = L = . 2 ,故正確.CiM二2如下圖，由于異面直線 AD與CB成45°的二面角，過 Ai作MIN/

15、AR PQ/ CB,設(shè)MNW PQ確定平面 a , / PAM=45 ,過 A 在面a上方作射線 AH,則滿足與 MN PQ成70°的射線 AiH有4條：滿足/ MAH=/ PAH=70的有一條，滿足/ PAH=/ NAH=70 的有一條,滿足/ NAH=/ QAH=70 的有一條，滿足QAH=/ MAH=70的有一條.故滿足與 MN PQ成70°的直線有 4條，故過點(diǎn) A與異面直線 AD與CB成70°角的直線有4條，故不正確.考點(diǎn)：二面角的定義及求法；直線和平面平行的判定；直線和平面垂直的判定；異面直線的判定.17.如圖，正方體 ABCD-AiBCD中，E, F

16、分別是正方形 ADDAi和ABCD勺中心，G是CC 的中點(diǎn)。設(shè)GF, CE與AB所成的分別為u, P ,則a+P =【解析】試題分析：取正方形BiCCB的中點(diǎn)為點(diǎn)O,連結(jié)OCi, OE,取BC的中點(diǎn)為點(diǎn) A ,連結(jié)GH , FH ,通過分析可知 OG GH , OE/ FH得平面CiEO平面GFH，設(shè)正方形邊長為2,在 AGFH 中，GH =6，F(xiàn)H = i,ntt .2則 s - i: n ,c在ACiEO中OE =2, C!E = J6, OC122 一二cos P =-=,所以 a + B = 一。 632考點(diǎn)：直線與平面所成角，面面平行問題。18.如圖所示，在三棱柱 ABC-ABC中,

17、點(diǎn)E、F分別是棱AB BB的中點(diǎn)，則直線AAL底面 ABC AB= BC= AA, A ABC= 90° , EF和BC的夾角是【解析】試題分析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.由于 AB=BC=AA不妨取AB=2則E (0, TT1, 0), F (0, 0, 1), Cl (2, 0, 2). EF = (0, 1,1), BC1= (2, 0, 2). . T Tcos < EF, BC1 >= EF BC14 =-2-= = 1 . .異面直線 EF 和 BC 的夾角為工.故|EF|BC1|：2 %8 23答案為：-.39考點(diǎn)：用空間向量求直線間的夾角、距離；異面直

18、線及其所成的角.19 .如圖，在直三棱柱 ABC AB1C1 中，/ACB = 90°, AA1 =2,AC = BC =1 ,則異面直線AB與AC所成角的余弦值是【解析】試題分析：由于 AC / AC1,所以ZBAiCi （或其補(bǔ)角）就是所求異面直線所成的角，在 ABACi 中，A1B=爬,ACi=1, BC1 =y/5 , cosZBA1C1 = 6+5 = 6 .2、, 6 16考點(diǎn)：異面直線所成的角.20 .在正三棱柱 ABCAB1cl中，各棱長均相等，BC1與B1c的交點(diǎn)為D ,則AD與平面BB1cle所成角的大小是 【答案】600【解析】試題分析：如圖所示取 BC中點(diǎn)E,

19、連接AE, DE耳易得AD與平面BB1C1C所成角為/ADE ,設(shè)正三棱柱棱長為 2,則等邊三角形 ABC邊上的中線 AE = J3, DE=1,直角三角形中/ADE = 60°考點(diǎn)：直線與平面所成的角.21 .如圖，直三棱柱 ABG ABC 中，AB= AC= 1 , AA= 2, /B1AQ = 90° , D為 BB 的中 點(diǎn)，則異面直線 CD與AC所成角的余弦值為 .15【解析】試題分析：求異面直線所成的角，關(guān)鍵是作出這個角，一般把異面直線的一條平移后與另一條相交，得到要求的角（當(dāng)然異面直線所成的角不大于90口）本題中我們就可以把C1D向下平移到過點(diǎn)C （實(shí)際作圖時(shí)

20、，是延長BiB至ij E ,使BE = B D,則有CE/ C D,然后在 MiCE中求出ZAiCE ,就可得出題中要求的角.考點(diǎn)：異面直線所成的角.22 .四棱錐PABCD勺所有側(cè)棱長都為 J5,底面ABC虛邊長為2的正方形，則 CD與PA所成角的余弦值為.54-5 = 525 25【解析】試題分析：.正方形ABCD中，CD/ AB,PAB或其補(bǔ)角就是異面直線CD與PA 所成的角， PAB 中,PA=PB= <5 , AB=2 , cos /222PA2 AB2 - PB2PAB=2PA AB考點(diǎn)：1.余弦定理的應(yīng)用；2.異面直線及其所成的角23 .如圖所示，正方形 ABCD43, E、F分別是AB AD的中點(diǎn)，將此正方形沿 EF折成直二面角后，異面直線 AF與BE所成角的余弦值為【解析】試題分析：過F做FH/DC ,過A做AG _LEF ,連接GH ,在三角形AGH中，AH =110+2=73, /AFH即為異面直線AF與BE所成角.44設(shè)正方形ABCD的邊長為2,則在|_AFH中，AF =1, FH =2, AH =J3,1 coMAFH =一,故答案為2考點(diǎn)：異面直線所成的角的計(jì)算ABCD - A1B1C1D1 E為 C1D1AE BC3【解析