拋物線專題復(fù)習(xí)講義及練習(xí)

1、拋物線專題復(fù)習(xí)講義及練習(xí)知識梳理1. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)( p0 ) ：標(biāo)準(zhǔn)方程y2 2 pxy 2 2 pxx 2 2 pyx22py圖形 y yyyxxxxOOOO焦點F ( p ,0)F (p ,0)F ( 0, p )F (0,p )2222準(zhǔn)線ppppxxyy2222范圍x 0, y Rx 0, y Rx R, y 0x R, y 0對稱軸x 軸y 軸頂點（0，0）離心率e12. 拋物線的焦半徑、焦點弦 y2 2 px( p0) 的焦半徑 PFxP ; x 2 2py( p0) 的焦半徑 PFyP ；22 過焦點的所有弦中最短的弦，也被稱做通徑. 其長度為 2p. A

2、B 為拋物線 y 2 2 px 的焦點弦，則xA xBp2， yA yBp2 ， | AB |= xAxB p4重難點突破重點 : 掌握拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，會運(yùn)用定義和會求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，能通過方程研究拋物線的幾何性質(zhì)難點 :與焦點有關(guān)的計算與論證重難點 : 圍繞焦半徑、焦點弦，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和代數(shù)方法研究拋物線的性質(zhì)1. 要有用定義的意識問題 1：拋物線 y=4 x2 上的一點 M到焦點的距離為1，則點 M的縱坐標(biāo)是 ( )A.17157D. 0B.16C.168點撥：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21 y ，準(zhǔn)線方程為y1, 由定義知，點M到準(zhǔn)線的距離416為 1，所以點M的縱坐標(biāo)是15162.

3、 求標(biāo)準(zhǔn)方程要注意焦點位置和開口方向問題 2：頂點在原點、焦點在坐標(biāo)軸上且經(jīng)過點（3， 2）的拋物線的條數(shù)有點撥：拋物線的類型一共有4 種，經(jīng)過第一象限的拋物線有2 種，故滿足條件的拋物線有2條3. 研究幾何性質(zhì)，要具備數(shù)形結(jié)合思想，“兩條腿走路”問題 3：證明：以拋物線焦點弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切點撥： 設(shè) AB 為拋物線的焦點弦， F 為拋物線的焦點， 點 A'、B ' 分別是點 A、B 在準(zhǔn)線上的射影，弦 AB的中點為 M，則 AB AF BFAA' BB' ，點 M到準(zhǔn)線的距離為1 ( AA' BB')1AB，以拋物線焦點弦為直徑的

4、圓總與拋物線的準(zhǔn)線相切22熱點考點題型探析考點 1 拋物線的定義題型利用定義 , 實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離之間的轉(zhuǎn)換 例 1 已知點 P在拋物線y2 = 4x 上，那么點P 到點 Q（2， 1）的距離與點P 到拋物線焦點距離之和的最小值為【解題思路】將點P 到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點P 到準(zhǔn)線的距離 解析 過點 P 作準(zhǔn)線的垂線l 交準(zhǔn)線于點R，由拋物線的定義知，PQPFPQPR ，當(dāng) P 點為拋物線與垂線l 的交點時， PQPR 取得最小值，最小值為點Q到準(zhǔn)線的距離,因準(zhǔn)線方程為x=-1, 故最小值為3【名師指引】 靈活利用拋物線的定義，就是實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的

5、距離之間的轉(zhuǎn)換，一般來說, 用定義問題都與焦半徑問題相關(guān)【新題導(dǎo)練】1. 已知拋物線2Fy2 px( p0)的焦點為，點P ( x y )P ( xy)，P ( x y)在拋11，1，22，233， 3物線上，且 |P1 F|、|P2F|、|PF|成等差數(shù)列，則有（）3A x1 x2x3B y1 y2 y3C x1x32x2D.y1y32 y2解析 C由拋物線定義， 2( x2p )( x1p)( x3p ), 即： x1x32x2 2222. 已知點 A(3,4), F 是拋物線 y 28x 的焦點 ,M 是拋物線上的動點,當(dāng) MAMF 最小時 ,M點坐標(biāo)是()A.(0,0)B.(3,26)

6、C.(2,4)D.(3,2 6) 解析 設(shè) M到準(zhǔn)線的距離為MK , 則 | MA |MF |MAMK ，當(dāng) MAMK 最小時，M點坐標(biāo)是 (2,4) ，選 C考點 2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型 : 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例 2 求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：(1) 過點 (-3,2)(2)焦點在直線 x 2y40 上【解題思路】以方程的觀點看待問題，并注意開口方向的討論. 解析 (1) 設(shè)所求的拋物線的方程為y22 px 或 x22 py( p0) ,過點 (-3,2) 42 p(3)或9 2 p2 p2 或 p934拋物線方程為y 24 x 或 x29 y,32前者的

7、準(zhǔn)線方程是 x1y9, 后者的準(zhǔn)線方程為83(2) 令 x0 得 y2 ，令 y0 得 x4 ，拋物線的焦點為 (4,0)或 (0,-2),當(dāng)焦點為 (4,0)時 , p4 ,2 p8，此時拋物線方程y216 x p4 ，此時拋物線方程x28 y; 焦點為 (0,-2)p2時2.所求拋物線方程為y216 x 或 x28 y , 對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x4, y2 .【名師指引】對開口方向要特別小心，考慮問題要全面【新題導(dǎo)練】3. 若拋物線 y22 px 的焦點與雙曲線x2y21的右焦點重合 , 則 p 的值3 解析 p31p 424. 對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：焦點在 y 軸上；焦點

8、在 x 軸上；拋物線上橫坐標(biāo)為1 的點到焦點的距離等于6；拋物線的通徑的長為5； 由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為（2，1）.能使這拋物線方程為y2=10x 的條件是 _. （要求填寫合適條件的序號） 解析 用排除法，由拋物線方程y2=10x 可排除，從而滿足條件.5. 若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn) 為焦點， M為準(zhǔn)線與 Y 軸的交點， A 為拋物線上一點,且|AM |17,| AF |3 ，求此拋物線的方程解析設(shè)點 A' 是點 A 在準(zhǔn)線上的射影，則| AA'|3 ，由勾股定理知 | MA '|22，點 A的橫坐標(biāo)為 (2p) ，代入方程2得 p2或

9、，拋物線的方程2或22,3x2 pyx4 yx8 y24考點 3拋物線的幾何性質(zhì)題型：有關(guān)焦半徑和焦點弦的計算與論證 例 3 設(shè) A、B 為拋物線 y22px上的點 , 且 AOB90 (O 為原點 ),則直線 AB必過的定點坐標(biāo)為 _.【解題思路】由特殊入手，先探求定點位置解析設(shè)直線 OA方程為 ykx , 由ykx2 p2 p )y2解出 A 點坐標(biāo)為2 px( k 2 ,ky1xk (x2 pk2) , 令2 pkk 解出 B 點坐標(biāo)為 (2 pk 2 , 2 pk ) ，直線 AB 方程為 yy 22 px1k 2y 0 得 x2 p ，直線 AB 必過的定點 (2 p, 0)【名師指

10、引】（ 1）由于是填空題，可取兩特殊直線AB, 求交點即可；（ 2） B 點坐標(biāo)可由 A點坐標(biāo)用1換 k 而得。k【新題導(dǎo)練】6. 若直線 axy 10 經(jīng)過拋物線 y24x 的焦點，則實數(shù) a 解析 -17. 過拋物線焦點 F 的直線與拋物線交于兩點A、B, 若 A、 B 在拋物線準(zhǔn)線上的射影為 A1 , B1 ,則A1FB1()A.45B.60C.90D.120解析C基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. 過拋物線 y2 4xa22a4(aR)的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B 兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于，則這樣的直線（）A. 有且僅有一條B.有且僅有兩條C.1條或 2 條D.不存在解析C|AB|xAxBpa

11、22a5(a1)24 4 ，而通徑的長為42. 在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，若拋物線 x24y 上的點 P 到該拋物線焦點的距離為5，則點P 的縱坐標(biāo)為（）A. 3B. 4C. 5D. 6解析B利用拋物線的定義，點P 到準(zhǔn)線 y1 的距離為5，故點 P 的縱坐標(biāo)為 43. 兩個正數(shù) a、b 的等差中項是9 ，一個等比中項是 25 ，且 ab, 則拋物線 y 2(b a) x2的焦點坐標(biāo)為 ( )A (0,1 )B (0,1)C (1 ,0)D (1 ,0)4424解析D.a5, b4, ba112824x1284. 如果P，P ，P是拋物線上的點，它們的橫坐標(biāo)依次為x， x， x ，F(xiàn) 是拋物

12、線的焦點， 若 x1, x2 , xn ( nN) 成等差數(shù)列且 x1x2x945 ，則 | P5F |=（）A 5B 6C 7D 9解析B根據(jù)拋物線的定義，可知PFxpx1（i1， 2， n），ii2ix1 , x2 , xn (n N) 成等差數(shù)列且 x1x2x945,x55, |P5F |=65、拋物線 y24x的焦點為 F , 準(zhǔn)線為 l ， l與 x 軸相交于點 E，過 F 且傾斜角等于 60°的直線與拋物線在x 軸上方的部分相交于點A， ABl ，垂足為 B，則四邊形 ABEF的面積等于（ ）A33 B43C6 3D83解析C.過 A 作 x 軸的垂線交 x 軸于點 H，

13、設(shè) A( m,n) ，則AFABm1, FHOHOFm1，m 1 2(m1)m3, n 23四邊形 ABEF的面積 = 1 2(31)236 32、設(shè) O 是坐標(biāo)原點，F(xiàn)是拋物線24x 的焦點， A 是拋物線上的一點，F(xiàn)A 與 x 軸正向6y的夾角為60，則 OA為解析21.過A作ADx 軸于 D，令 FD m ，則 FA2m 即 2 m2m ，解得 m2 A(3,23)OA32(23)221綜合提高訓(xùn)練7. 在拋物線 y4x2 上求一點，使該點到直線y4x5 的距離為最短，求該點的坐標(biāo) 解析 解法 1：設(shè)拋物線上的點P( x,4x2 ) ，| 4x24x5 | 4( x1) 24 |4 17

14、，點 P 到直線的距離 d2171717當(dāng)且僅當(dāng) x1時取等號，故所求的點為（ 1，1）22解法 2：當(dāng)平行于直線y 4x5 且與拋物線相切的直線與拋物線的公共點為所求，設(shè)該直線方程為 y4xb ，代入拋物線方程得4x24xb0 ，由1616b0 得 b1, x1，故所求的點為 （ 1 ，1）229.設(shè)拋物線 y22 px （ p0）的焦點為 F ，經(jīng)過點 F 的直線交拋物線于A、B 兩點點 C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC X 軸證明直線AC經(jīng)過原點 O證明 : 因為拋物線 y22 px （ p0）的焦點為 Fp ,0，所以經(jīng)過點 F 的直線 AB的方程2可設(shè)為 xmyp22 pmy20 ，代人拋

15、物線方程得yp2若記 A x1 , y1， B x2 , y2，則 y1, y2 是該方程的兩個根，所以y1 y2p2 因為 BC X 軸，且點 C 在準(zhǔn)線 xp 上，所以點 C 的坐標(biāo)為p , y2 ，22故直線 CO的斜率為 ky22 py1 .py1x12即 k 也是直線 OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點 O10. 橢圓 x2y21上有一點 M（ -4 ， 9 ）在拋物線 y 22 px （ p>0）的準(zhǔn)線 l 上，拋物a2b25線的焦點也是橢圓焦點 .（1）求橢圓方程；（2）若點 N 在拋物線上，過N 作準(zhǔn)線 l的垂線，垂足為Q距離，求 |MN|+|NQ| 的最小值 .解：（ 1

16、） x2y 21 上的點 M在拋物線 y 22 pxa2b2（p>0）的準(zhǔn)線l 上，拋物線的焦點也是橢圓焦點. c=-4 ， p=8M（ -4 ， 9 ）在橢圓上5 16811a225b2 a2b 2c2 由解得：a=5、 b=3橢圓為 x2y 21259由 p=8 得拋物線為 y 216 x設(shè)橢圓焦點為F（ 4，0），由橢圓定義得 |NQ|=|NF| |MN|+|NQ| |MN|+|NF|=|MF|=(4 4)2( 90)241，即為所求的最小值 .55參考例題：1、已知拋物線C 的一個焦點為F（ 1， 0），對應(yīng)于這個焦點的準(zhǔn)線方程為x=- 1 .22（ 1）寫出拋物線 C 的方程；

17、（ 2）過 F 點的直線與曲線 C 交于 A、 B 兩點， O點為坐標(biāo)原點，求 AOB重心 G的軌跡方程；解：（ 1）拋物線方程為： y2=2x.（4 分）（ 2）當(dāng)直線不垂直于x 軸時，設(shè)方程為y=k(x-1 ) ，代入 y2=2x ，2得： k2x2-(k2+2)x+k 20 .4設(shè) A（x1， y1）， B(x2 ， y2) ，則 x1+x2= k 22， y1+y2=k(x1+x2-1)=2 .k 2k0x1x2k 22x33k 2設(shè) AOB的重心為 G（ x，y）則0，y1y22y33k消去 k 得 y2= 2 x2為所求，（6 分）39當(dāng)直線垂直于x 軸時， A（ 1，1），B（1

18、 ，-1 ），（8 分）22 AOB的重心 G（ 1， 0）也滿足上述方程 .3綜合得， 所求的軌跡方程為y2= 2 x2，（9 分）39拋物線專題練習(xí)一、選擇題（本大題共10 小題，每小題5 分，共 50分）1如果拋物線 y 2=ax的準(zhǔn)線是直線 x=-1 ，那么它的焦點坐標(biāo)為（）A（1, 0 ）B（ 2, 0）C（3, 0 ）D（ 1, 0）2圓心在拋物線y 2=2x 上，且與 x 軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切的一個圓的方程是（）A x2+ y 2-x-2 y -1 =0B x2+ y 2+x-2 y +1=041 =0C x2+ y 2-x-2 y +1=0D x2+ y 2-x-2 y +

19、43拋物線 yx 2 上一點到直線2x y40 的距離最短的點的坐標(biāo)是（）A（1，1） B（ 1,1 ） C(3,9)D（ 2， 4）24244一拋物線形拱橋，當(dāng)水面離橋頂2m時，水面寬 4m，若水面下降 1m，則水面寬為（）A 6 m B 2 6 mC 4.5m D 9m5平面內(nèi)過點 A（ -2 ， 0），且與直線 x=2 相切的動圓圓心的軌跡方程是（）A y 2= 2xB y 2= 4xC y 2= 8xD y 2= 16x6拋物線的頂點在原點，對稱軸是x 軸，拋物線上點（ -5 ， m）到焦點距離是6，則拋物線的方程是（）A y 2=-2xB y 2=-4x C y 2=2xD y 2=

20、-4x或 y 2=-36x7過拋物線 y 2=4x 的焦點作直線， 交拋物線于 A(x1,y 1)，B(x2, y 2) 兩點，如果 x1+ x2=6，那么 |AB|=（）A 8B10 C 6D 48把與拋物線y 2=4x關(guān)于原點對稱的曲線按向量a ( 2, 3) 平移，所得的曲線的方程是（）A ( y3)24( x2)BC ( y3)24( x2)D( y3) 24( x2)( y3)24( x2)9過點 M（ 2， 4）作與拋物線y 2=8x 只有一個公共點的直線l 有（）A0條B1條C2條D3 條10過拋物線 y =ax2(a>0)的焦點F 作一直線交拋物線于P、 Q兩點，若線段P

21、F 與 FQ的長分別是 p、 q，則 11等于（）pqA 2a B1 C 4a D 42aa二、填空題11拋物線 y 2=4x 的弦 AB垂直于 x 軸，若 AB的長為 43 ，則焦點到 AB的距離為12拋物線 y =2x2的一組斜率為 k的平行弦的中點的軌跡方程是13 P 是拋物線 y 2=4x上一動點，以P 為圓心，作與拋物線準(zhǔn)線相切的圓，則這個圓一定經(jīng)過一個定點Q，點 Q的坐標(biāo)是14 拋 物線 的焦 點為橢圓x 2y21 的左焦點，頂點在橢圓中心 ，則 拋物線 方程94為一選擇題（本大題共10 小題，每小題5 分，共 50分）題號12345678910答案 ADABCBACCC二填空題（

22、本大題共4 小題，每小題6 分，共 24 分）11 2 12 xk24 5 x13（ 1， 0） 14 y4三、解答題15已知動圓M與直線 y =2 相切，且與定圓C： x2( y3)21外切，求動圓圓心M的軌跡方程 解析 ：設(shè)動圓圓心為M（ x， y），半徑為r ，則由題意可得M到 C（ 0， -3 ）的距離與到直線 y=3 的距離相等，由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡是以C（ 0， -3 ）為焦點，以 y=3 為準(zhǔn)線的一條拋物線，其方程為x 212 y 16已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x 軸，拋物線上的點M（ 3，m）到焦點的距離等于 5，求拋物線的方程和m的值（ 12 分） 解析

23、：設(shè)拋物線方程為x 22 py ( p0) ，則焦點 F（p ,0 ），由題意可得2m26 p，解之得m 2 6 或 m26 ，p ) 2m2(35p 4p 42故所求的拋物線方程為x 28y ， m的值為2617動直線 y =a ，與拋物線 y21 x 相交于 A 點，動點 B 的坐標(biāo)是 (0,3a)，求線段 AB 中2點 M的軌跡的方程 (12分 ) 解析 ：設(shè) M的坐標(biāo)為（ x，y）， A（ 2a2 ， a），又 B (0,3a) 得xa2y2a消去 a，得軌跡方程為xy2，即 y 24x419如圖，直線 l1和 l2相交于點 M，l1 l2 ，點 N l1 以 A、B 為端點的曲線段 C上的任一點到 l2的距離與到點N 的距離相等若AMN為銳角三角形， |AM|=， |AN|=3 ，且|BN|=6 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程 (14分 ) 解析 ：如圖建立坐標(biāo)系，以l1為 x 軸， MN的垂直平分線為y 軸，點 O為坐標(biāo)原點由題意可知：曲線C 是以點 N 為焦點，以 l2為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A、B 分別為 C的端點設(shè)曲線段 C的方程為 y22 px ( p0), (xA xxB , y0)，其中 x