數(shù)列通項公式求法大全

1、數(shù)列通項公式的十種求法一、公式法2n1,a1an23n2(n1)5nan,a13,求數(shù)列an的通項公式。二、累加法an1anf(n)例1已知數(shù)列an滿足an1an例2已知數(shù)列an滿足an1(an3nn1.)三、累乘法an1f(n)an例3已知數(shù)列an滿足an1n(n1)(an32n15n!.)1,求數(shù)列an的通項公式。ann21,a13,求數(shù)列an的通項公式。評注:本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系an12(n_nan1)5an轉(zhuǎn)化為2(n1)5,進而求an出包包_工L%a2&,即得數(shù)列烝的通項公式。an1an2a2a1例4已知數(shù)列an滿足a11,anai2a23a3L(n1)an(n2),求an的通

2、項/一/n!、公式。(an.)2評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an1(n1)an(n2)轉(zhuǎn)化為n1(n2),an進而求出-a-al生a2,從而可得當n2時，an的表達式，最后再求出數(shù)列an的an1an2a2通項公式。四、待定系數(shù)法an1panqan1panfnan2pan1qan(其中p,q均為常數(shù))。例5已知數(shù)列an滿足an12n12an35n,ai6,求數(shù)列為的通項公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式45n的通項公式，最后再求出數(shù)列an12an35n轉(zhuǎn)化為加i5n12(加5n),從而可知數(shù)列an5n是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列an的通項公式。例6已知數(shù)列an滿足an13an52n4,a

3、11,求數(shù)列an的通項公式。(an133n152n2)評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an13an52n4轉(zhuǎn)化為an152n123(an52n2),從而可知數(shù)列an52n2是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列an52n2的通項公式，最后再求數(shù)列an的通項公式。例7已知數(shù)列an滿足an12an3n24n5,a11,求數(shù)列an的通項公式。_n42(an2n43n210n18)評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an12an3n24n5轉(zhuǎn)化為,、2,、一22一an13(n1)10(n1)182(an3n10n18),從而可知數(shù)列22an3n10n18是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列an3n10n18的通項公式，最后再求

4、出數(shù)列an的通項公式。五、遞推公式為Sn與an的關(guān)系式(或Snf(an)S1解法：這種類型一般利用an1SnSn1(n(n1)2)例8已知數(shù)列an前n項和Sn4.(1)求an1與an的關(guān)系；(2)求通項公例9已知數(shù)列an滿足an13an3,求數(shù)列an的通項公式。解：an123n1兩邊除以0n17日an13，仔力3an3n則上3n1an23n3上,故3n1因此新3n2(n1)蔣(13n1)32n33n3n評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an3an23n1轉(zhuǎn)化為an1an23n13n3a進而求出（3nan1an1an2x3n13n13n2(亙3n2a_2)L3n3(曳3231an3n的通項公式，

5、最后再求數(shù)列an的通項公式。七、對數(shù)變換法（當通項公式中含哥指數(shù)時適用）n5例10已知數(shù)列an滿足an123an,7,求數(shù)列an的通項公式。解：因為an123na；,0,an1n500在an123an式兩邊取常用對數(shù)得lgan15lgannlg3lg2設(shè)lgan1x(n1)y5(lganxny)11將式代入5lgannlg3lg2x(n1)y5(lganxny),兩邊消去5lgan并整理,得(lg3x)nxlg25xnlg3x5x4y,故xylg25ylg34lg3lg2164蛆n魴_監(jiān)1gan4n1645,代入舊式，得lga峋(n1)里史5(lgan嗎幽暨IIIn416441641g31蛆跖

6、/1/跖。及416441641g3n1g31g2信1gan彳1而彳,1gan11g2所以數(shù)列1gan由3n1g303是以1g7監(jiān)幽旦2為首項，以5為公比的等416441641g31g31g21g31g31g2n1,tt比數(shù)列，則1gann士一(1g73)5,因此n416441641g31g31g2xrn11g31g31g21gan(1g7)5n-4164464111n11(1g71g341g361g24)5n11g3%1g3行1g2，111n111g(7343石24)5n11g(373語2b111n111g(733行24)5n11g(33行2”)5n1n5n115n11以75n13-3元2丁)

7、5n4n15n111g(75n13162丁)5n4n15n11則an75n13162k評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式an123nan轉(zhuǎn)化為1gam(n1)蛇庭5(1gan蛇n蛇監(jiān))，從而可知數(shù)列41644164.1g31g31g2.1g31g31g2、1ga-n是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列1gan-n士一的通項41644164公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。八、迭代法3(n1)2n3n2n13(n1)2n23n2n1解：因為an1摩)，所以anan1an2又a15,所以數(shù)列an的通項公式為an5n(n1)3n1n!2-2)。評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公

8、式。即先將等式an1an(n1)2n兩邊取常用對數(shù)得lgan13(n1)2nlgan,即1gan1lgan3(n1)2n,再由累乘法可推知,lganlgan1.lganLlgan1lgan2lga3lga2|ga2igaIgain(n1)3n1n!2-2-ig5n1n(n1)3n1n!2：_一,從而an52。九、數(shù)學歸納法例12已知數(shù)列an滿足an1an8(n1)(2n1)2(2n3)-,求數(shù)列an的通項公式。9解：由an1an8(n1)(2n1)2(2n3)2由此可猜測an(2n1)212(2n1)2,往下用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論。(1)當n1時,(211)21現(xiàn)-(211)28,所以等式成

9、立。9(2)假設(shè)當nk時等式成立，即akk1時,由此可知，當nk1時等式也成立。根據(jù)(1),(2)可知，等式對任何nN都成立。n項，進而猜出數(shù)列的通項評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前公式，最后再用數(shù)學歸納法加以證明。十、換元法例13已知數(shù)列an滿足an1(14anM24an),&16一/-：12解：令*J2倏，則品不1)一121.故an1-(bn11),代入an1(14anJ124an)得2416即4b：1(03)2因為bn/24an0,故bn1*24%0i13則2bn1bn3,即bn1必一,22一，、，1可化為bn13(b3),2所以bn3是以43J124al3W24132為首項，以g為公比的等比數(shù)列，因此