整理勾股定理知識點(diǎn)及習(xí)題

1、新人教版八年級下冊勾股定理全章知識點(diǎn)和典型例習(xí)題一、基礎(chǔ)知識點(diǎn)：1 .勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c22 .勾股定理的證明3 .勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對象是直角三角形4 .勾股定理的應(yīng)用已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在AABC中，/C=90白,則c=（a2+b2,b=c2-a2,a=.c2-b2知道直角三角形一邊,可另外兩邊之間的數(shù)

2、量關(guān)系可運(yùn)用勾股定理解決一些問題5 .勾股定理的逆定理2.22如果二角形二邊長a,b,c滿足a+b=c，那這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和a2+b2與較長邊的平方c2作比較，若它們相等時(shí)，以a,b,c為三邊的三角形是直角三角形；若a2+b2<c2,時(shí)，以a,b,c為三邊的三角形是鈍角三角形；若a2+b2>c2,時(shí)，以a,b,c為三邊的三角形是銳角三角形；定理中a,b,c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長

3、a,b,c滿足22一2.a+c=b,那么以a,b,c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形7.勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題.8.勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得錯(cuò)誤的結(jié)論.9.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或

4、具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體.通常既要通過逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決.常見圖形：已知AB=17,AC=15,求BC的長分析：直接應(yīng)用勾股定理a2+b2=c2題型二：利用勾股定理測量長度例1如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？例題2如圖（8）,水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.融的工題型三：勾股定理和逆定理并用一一1A例題3如圖3,正萬形ABC由,E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一

5、點(diǎn)，且FB=-AB那么DE*直角三角形嗎？4題型四：利用勾股定理求線段長度一一例題4如圖4,已知長方形ABC麗AB=8cm,BC=10c3邊CD上取一點(diǎn)E,將AD斯疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F,求CE的長.圖4題型七：關(guān)于翻折問題例1、如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm,BC=6cm,E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長.題型八：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向

6、行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？PN10、互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。二、經(jīng)典例題精講題型一：直接考查勾股定理例1.在MBC中，CC=90t已知AC=6,BC=8.求AB的長d（已知題型九：關(guān)于最短性問題例5、如右圖119,壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著

7、油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進(jìn)行突然襲擊.結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐.請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲？（無取3.14,結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計(jì)算器計(jì)算）變式：如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個(gè)小正方形，其邊長都是1cm,假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm,則它從下地面A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的B點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？三、課后訓(xùn)練：一、填空題1.如圖（1）,在高2米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長至少需o5 .如圖是一個(gè)三級臺(tái)階，它的每一級的長寬和高分別為20dm、3dm、2dm,A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的

8、食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是一7 .已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,將此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF,則ABE的面積為（）A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm28 .在ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,則ABC的周長為A.42B.32C.42或32D.37或339 .如圖，正方形網(wǎng)格中的ABC,若小方格邊長為1,則ABC是（）（A）直角三角形（B）銳角三角形（C）鈍角三角形（D）以上答案都不對三、計(jì)算1、如圖，A、B是筆直公路l同側(cè)的兩個(gè)村莊，且兩個(gè)村莊到直路的距離分別是300m和500m,兩村莊之間的距離為d2=40

9、0000m2）,現(xiàn)要在公路上建一汽車?？空?，使兩村到?？空镜木嚯x之和最小。問最小是多少？A20B第7題圖例1.正方形的面積是2,它的對角線長為（）A、1B、2C、J2D、2考點(diǎn)二：求第三條邊的長例1.若Rt_|ABC中，/C=90且c=37,a=12,則b=（）A、50B、35C、34D、26例2.已知兩線段的長為6cm和8cm,當(dāng)?shù)谌龡l線段取時(shí)，這三條線段能組成一個(gè)直角三角形。（提示：所給的兩條變長不一定都為直角邊。）例3.若一個(gè)直角三角形的三邊分別為a、b、c,a2=144,b2=25，則c2=（）A、169B、119C、169或119D、13或25二、選擇題1.已知一個(gè)Rt的兩邊長分別為

10、3和4,則第三邊長的平方是（）A、25B、14C、7D、7或252 .Rt一直角邊的長為11,另兩邊為自然數(shù)，則Rt的周長為（）A、121B、120C、132D、不能確定3 .如果Rt兩直角邊的比為5：12,則斜邊上的高與斜邊的比為（）A、60：13B、5：12C、12：13D、60：1694 .已知RtAABC中，/C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,則RtAABC的面積是（）A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm25 .等腰三角形底邊上的高為8,周長為32,則三角形的面積為（）A、56B、48C、40D、326 .某市在舊城改造中，計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示

11、的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購買這種草皮至少需要（）A、450a元B、225a元C、150a元D、300a元【勾股定理】勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。即：a2+b2=c2o常見勾股數(shù)：3、4、5;6、8、10;5、12、13;8、15、17;7、24、25。這個(gè)一定要牢記于心?？键c(diǎn)一：勾股定理的直接應(yīng)用考點(diǎn)三：與高、面積有關(guān)米.cm.cm2.（填D例1.兩個(gè)直角邊分別是3和4的直角三角形斜邊上的高是例2.等腰三角形的底邊為10cm,周長為36cm,則它的面積是cm2勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2,

12、那么這個(gè)三角形是直角三角形。判斷步驟：（1）比較a、b、c大小，找最長邊；（2）計(jì)算兩條短邊的平方和，看是否與最長邊的平方相等。例1.木工師傅要做一個(gè)長方形桌面，做好后量得長為80cm,寬為60cm,對角線為100cm,則這個(gè)桌面“合格”或“不合格”）例2.試判斷：三邊長分別是a2-b2,a2+b2,2ab（aab）的三角形是不是直角三角形？【勾股定理習(xí)題】一、選擇題1、把直角三角形的兩直角邊均擴(kuò)大到原來的2倍，則斜邊擴(kuò)大到原來的幾倍？（）A、2B、4C、3D、52、等腰ABC的底邊BC為16,底邊上的高AD為6,則腰長AB的長為（）A.10B.12C.15D.20二、填空題1、如果梯子底端離

13、建筑物5m,那么13m長的梯子可達(dá)到建筑物的高度是m,2、如圖，一圓柱高8cm,底面半徑2cm,一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程是cm廠1f>B則小船實(shí)際行駛了4 .若三角形中相等的兩邊長為10cm,第三邊長為16cm,則第三邊上的高為5 .如圖8-41，矩形ABCD,AB=5cm,AC=13cm,則這個(gè)矩形的面積為6 .等邊三角形的邊長為4,則其面積為.7 .如圖8-42，在高3米，坡面線段距離AB為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯長度至少需米.8 .若Jc13+|a-12|+（b-5）2=0，則以a、b、c為三邊的三角形是三角形.二、選擇題9 .下列是勾股數(shù)的一組是A.4,

14、5,6B.5,7,12C.12,13,15D.21,28,3510 .下列說法不正確的是A.三個(gè)角的度數(shù)之比為1：3：4的三角形是直角三角形B.三個(gè)角的度數(shù)之比為3：4：5的三角形是直角三角形C.三邊長度之比為3：4：5的三角形是直角三角形D.三邊長度之比為5：12：13的三角形是直角三角形11 .一個(gè)圓桶底面直徑為24cm,高32cm,則桶內(nèi)所能容下的最長木棒為A.20cmB.50cmC.40cmD.45cm12 .一職工下班后以50米/分的速度騎自行車沿著東西馬路向東走了5.6分，又沿南北馬路向南走了19.2分到家，則他的家離公司距離為米.A.100B.500C.1240D.1000三13

15、.如圖8-43,在四邊形ABCD中,AB=12cm,BC=3cm,CD=4cm,/C=90°.（1）求BD的長；（2）當(dāng)AD為多少時(shí)，/ABD=90°4.一個(gè)零件的形狀如圖，按規(guī)定這個(gè)零件的/A與NBDC都要是直角，工人師傅量得零件各邊尺寸：AD=4,AB=3,DC=12,BC=13,BD=5。這個(gè)零件符合要求嗎?圖8-4414.有一塊土地形狀如圖8-44所示，/B=/D=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米，請計(jì)算這塊地的面積教材過關(guān)十八勾股定理一、填空題15.甲、乙兩船上午11時(shí)同時(shí)從港口A出發(fā)，甲船以每小時(shí)20海里的速度向東北方向航行，乙船以每小時(shí)

16、15海里的速度向東南方向航行，求下午1時(shí)兩船之間的距離.1 .一個(gè)直角三角形的三邊長是不大于10的三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則它的周長是.2 .在AABC中,若AB=17,AC=8,BC=15,貝U根據(jù)可知/ACB=.3 .一座垂直于兩岸的橋長15米，一艘小船自橋北頭出發(fā)，向正南方向駛?cè)?，因水流原因，到達(dá)南岸后，發(fā)現(xiàn)已偏離橋南頭9米,2011年各地中考數(shù)學(xué)試題匯編一一直角三角形與勾股定理、選擇題1.（2011山東濱州，9,3分）在ABC中，/C=90°,/C=72°,AB=10，則邊AC的長約為（精確到0.1）（）A.9.1B.9.5C.3.1D.3.54.如圖，ABC中，/C=90&

17、#176;,AC=3,/B=30°,點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則AP長不可能是(A)3.5(B)4.2(C)5.8(D)76.（2011河北，9,3分）如圖3,在4ABC中,/C=90°,BC=6,D,E分別在AB,AC上，將ABC沿DE折疊，使點(diǎn)7.A落在點(diǎn)A'處，若A'為CE的中點(diǎn)，則折痕DE的長為（A.1一B.22二、填空題1.（2011山東德州13,4分）下列命題中，其逆命題成立的是.（只填寫序號）同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行；如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等;如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等;4.把命題"如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b,

18、斜邊長為c,那么a2+b2=c2”的逆命題改寫成“如果那么”的形式:5.（2011江蘇無錫，16,2分）如圖，在©ABC中，/ACB=90°,DE、F分別是ARBCCA的中點(diǎn)，若CD=5cm,6.（第5題）第7題圖8題圖（2011廣東肇慶,13,3分）在直角三角形ABC中，/C=90°,BC=12,AC=9,貝UAB=7. （2011貴州安順，16,4分）如圖，在RtAABC,/C=90°,BC=6cmAC=8cm按圖中所示方法將BCD&B斯疊，使點(diǎn)C落在ABi的C'點(diǎn)，那么ADC的面積是.8. （2011山東棗莊，15,4分）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若AB=14cm,則陰影部分的面積是cni.三、解答題1. （2011四川廣安，28,10分）某園藝公司對一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造.測得兩直角邊長為6m8m.現(xiàn)要將其擴(kuò)建成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形.求擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的周長.2. （2011四川綿陽23,12）王偉準(zhǔn)備用一段長30米的籬笆圍成一個(gè)三角形形狀的小圈，用于飼養(yǎng)家兔.已知第一條邊長為a米，由于受地勢限制，第二條邊長只能是第一條邊長的2