最新小學(xué)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)便運(yùn)算和巧算

1、小學(xué)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)便運(yùn)算和巧算一、數(shù)的加減乘除有時(shí)可以運(yùn)用運(yùn)算定律、性質(zhì)、或數(shù)量間的特殊關(guān)系進(jìn)性較快的運(yùn)算這就是簡(jiǎn)便運(yùn)算.(一)其方法有：一：利用運(yùn)算定律、性質(zhì)或法那么.(1)加法：交換律,a+b=b+a,結(jié)合律,(a+b)+c=a+(b+c).(2)減法運(yùn)算性質(zhì)：a-(b+c)=a-b-c,a-(b-c)=a-b+c,a-b-c=a-c-b,(a+b)-c=a-c+b=b-c+a.(3):乘法：利用運(yùn)算定律、性質(zhì)或法那么.交換律,axb=bxa,結(jié)合律,(axb)Xc=aX(bXc),分配率,(a+b)xc=axc+bxc,(a-b)xc=axc-bxc.(4)除法運(yùn)算性質(zhì)：a+(bxc)=a+b+

2、c,a+(b+c)=a+bxc,a+b+c=a+c+b,(a+b)+c=a+c+b+c,(a-b)+c=a+c-b+c.前邊的運(yùn)算定律、性質(zhì)公式很多是由于去掉或加上括號(hào)而發(fā)生變化的.具規(guī)律是同級(jí)運(yùn)算中,加號(hào)或乘號(hào)后面加上或去掉括號(hào),.后面數(shù)值的運(yùn)算符號(hào)不變.例1:283+52+117+148=(283+117)+(52+48)=400+200=600(運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律).減號(hào)或除號(hào)后面加上或去掉括號(hào),后面數(shù)值的運(yùn)算符號(hào)要改變.例2:657-263-257=657-257-263=400-263=147.(運(yùn)用減法性質(zhì),相當(dāng)力口法交換律.)例3:195-(95+24)=195-95-24=

3、100-24=76(運(yùn)用減法性質(zhì))例4;150-(100-42)=150-100+42=50+42=92.(同上)例5:(0.75+125)X8=0.75X8+125X8=6+1000=1006.(運(yùn)用乘法分配律)例6:(125-0.25)X8=125X8-0.25X8=1000-2=998.(同上)例7:(1.125-0.75)+0.25=1.125+0.25-0.75+0.25=4.5-3=1.5.(運(yùn)用除法性質(zhì))例8:(450+81)+9=450+9+81+9=50+9=59.(同上,相當(dāng)乘法分配律)例9:375+(125+0.5)=375+125*0.5=3*0.5=1.5.(運(yùn)用除法

4、性質(zhì))例10:4.2+(006X0.35)=4.2+0.6+0.35=7+0.35=20.(同上)例11:12X125X0.25X8=(125X8)X(12X0.25)=1000X3=3000(運(yùn)用乘法交換律和結(jié)合律)例12:(175+45+55+27)-75=175-75+(45+55)+27=100+100+27=227(運(yùn)用加法性質(zhì)和結(jié)合律)例13:(48X25X3)+8=48+8X25X3=6X25X3=450.(運(yùn)用除法性質(zhì),相當(dāng)加法性質(zhì))(5)和、差、積、商不變的規(guī)律.1：和不變：如果a+b=c,那么,(a+d)+(b-d)=c,2:差不變：如果a-b=c,那么,(a+d)-(b+

5、d)=c,(a-d)-(b-d)=c3:積不變：如果a*b=c,那么,(a*d)*(b+d)=c,4:商不變：如果a+b=c,那么,(a*d)+(b*d)=c,(a+d)+(b+d)=c.例14:3.48+0.98=(3.48-0.02)+(0.98+0.02)=3.46+1=4.46(和不變)例15:3576-2997=(3576+3)-(2997+3)=3579-3000=579(差不變)例16:74.6X6.4+7.46X36=7.46X64+7.46X36=7.46X(64+36)=7.46義100=746.(積不變和分配律)例17:12.25+0.25=(12.25*4)+(0.25

6、*4)=49+1=49.(商不變).二：拆數(shù)法：(1)湊整法,19999+1999+198+6=(19999+1)+(1999+1)+(198+2)+2=22202(2)利用規(guī)律,7.5X2.3+1.9X2.5-2.5X0.4=7.5X(0.4+1.9)+1.9X2.5-2.5X0.4=7.50.4+7.51.9+1.92.5-2.50.4=0.4(7.5-2.5)+1.9(7.5+2.5)=2+19=21.2.199220052005-200519921992=19922005(10000+1)-20051992(10000+1)=0三：禾I用基準(zhǔn)數(shù)：2072+2052+2062+2042+

7、2083=(2062x5)+10-10-20+21=10311四：改變順序,重新組合.(1) :(215+357+429+581-(205+347+419+571=215+357+429+581-205-347-419-571=(215-205)+(429-419)+(357-347)+(581-571)=40(2) :(378X5X25)X(4X0.8+3.78)=378X5X25X4X0.8+3.78=(378+3.78)X(25X4)x(5X0.8)=100x100x4=40000五：1:求等差連續(xù)自然數(shù)的和.當(dāng)加數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí),有：和=中間數(shù)x個(gè)數(shù).當(dāng)加數(shù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí),有：和=(首+尾

8、)x個(gè)數(shù)的一半.(1):3+6+9+12+15=9*5=45,(2):1+2+3+4+10=(1+10)*10+2=55.2:求分?jǐn)?shù)用的和.由于1/n-1/n+1=1/n(n+1),1/n+1/n+1=n+(n+1)/n(n+1).所以：(1):1/42+1/56+1/72+1/90+1/110=1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11=1/6-1/11=5/66(2) :5/6-7/12+9/20-11/30+13/42-15/56+.+41/400-43/460=(1/2+1/3)-(1/3+1/4)+(1/4+1/5)-(1/5+1/6)+(1

9、/6+1/7)-(1/7+1/8)oooooo+(1/20+1/21)-(1/21+1/22)=1/2-1/22=5/113:變形約分法.求：(1.2+2.3+3.4+4.5)+(12+23+34+49的值.由于分母各項(xiàng)是分子各項(xiàng)的10倍.所以有：原式=0.1六：設(shè)數(shù)法：求(1+0.23+0.34)*(0.23+0.34+0.65)-(1+0.23+0.34+0.65)*(0.23+0.34)的值.設(shè)a=0.23+0.34.b=0.23+0.34+0.65.原式=(1+a)*b-(1+b)*a=b+ab-a-ab=b-a=(0.23+0.34+0.65)-(0.23+0.34)=0.65.(二

10、)：巧算的方法：除運(yùn)用上面所說(shuō)的簡(jiǎn)便方法外,最重要的是抓住題目(特別是應(yīng)用題)中的數(shù)量關(guān)系,充分利用邏輯推理,變解法不明為解法明確,把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題,以小見(jiàn)大,以少見(jiàn)多,以簡(jiǎn)馭繁.從而到達(dá)巧算的目的.一：利用數(shù)的整除特征和某些特殊規(guī)律.特殊問(wèn)題來(lái)求解.重在一個(gè)“巧.(1):一個(gè)三位數(shù)連續(xù)寫兩次得到的六位數(shù)一定能被7、11、13整除.為什麼解；六位數(shù)abcabc=abcx1000+abc=abcX1001.1001=7x13X11.六位數(shù)abcabc必能被7、11、13整除.(2):六位數(shù)865abe能被3、4、5整除,當(dāng)這個(gè)數(shù)最小時(shí),a,b,c各是數(shù)字幾解：由于該數(shù)能被4,5整除,b,

11、c必都是零,要使該數(shù)能被3整除,它各位數(shù)字和應(yīng)能被3整除,a只能是2.所以a,b,c分別是2,0,0.(3):化簡(jiǎn)：(1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1+(888888X888888)=8X8+(888888乂888888)=1+(111111X111111)=1/12345654321.(由于：11*11=121,111*111=12321,1111*1111=1234321,所以.)二：估算法：求：a=1+(1/1992+1/1993+1/1994+1/2003)的整數(shù)局部.解：用一般通分求他得值太繁瑣,可巧用“放縮法估算.假定除數(shù)局部各加數(shù)都是1/1992,那么a

12、=1+(12/1992)=166.假設(shè)除數(shù)局部各加數(shù)都是1/2003,貝Ua=1+(12/2003)=166+11/12所以它的整數(shù)局部是166.三：正難那么反法.直接求解困難時(shí),換個(gè)角度從反面求解.(1):除了本身,合數(shù)7854321的最大因數(shù)是多少一般想法是將其分解質(zhì)因數(shù)求之,但這個(gè)數(shù)很大,做起來(lái)很繁瑣.巧解：先求它的最小因數(shù),再通過(guò)“除求它的最大因數(shù).由于該數(shù)各位數(shù)字和能被3整除,所以這個(gè)數(shù)的最小因數(shù)是3,最大因數(shù)是：7854321+3=261807.(2):某廠人數(shù)在90-110之間,做工間操排隊(duì)時(shí),站3列正好；站5列少2人；站7列少4人,這廠有多少人解：按所給數(shù)值正面求解很難,假設(shè)換

13、個(gè)角度從反面做,把它轉(zhuǎn)化為：該廠工人站3列多3人；站5列多3人；站7列多3人求這廠人數(shù)的問(wèn)題.即求比3,5,7的最小公倍數(shù)多3的數(shù)是多少.3,5,7=105,105+3=108人.這廠有108人.四：慎密的邏輯推理：(1):幼兒園的小朋友分餅干,每人分5塊,那么差27塊.每人分4塊,正好分完.這個(gè)幼兒園有多少小朋友分了多少餅干解：一般用方程法：設(shè)有x個(gè)小朋友.5x-4x=27,x=27.餅干為：27X4=108塊.巧解：每人分4塊,正好分完,每人多分一塊(5塊)差27塊,說(shuō)明小朋友為：27+1=27個(gè),餅干為：27X4=108塊(2):某商店有兩個(gè)柜臺(tái),甲臺(tái)比乙臺(tái)的磁帶少120盒,各賣出164

14、盒后,乙剩下的是甲剩下的3倍,求原來(lái)兩臺(tái)各有多少盒磁帶一般用方程法：設(shè)甲剩x臺(tái),乙剩3x臺(tái).(3x+164)-(x+164)=120,x=60,3x=180.甲原有：60+164=224盒,乙原有180+164=344盒.推理巧解：由于賣出的數(shù)量相等,所以賣出后甲仍比乙少120盒,乙是甲的3倍,這就轉(zhuǎn)化為差倍問(wèn)題了.120+(3-1)=60.60X3=180.甲原有：60+164=224盒,乙原有：180+164=344盒(3):甲乙兩人進(jìn)行騎車比賽,當(dāng)甲騎到全程的7/8時(shí),乙騎到全案程6/7,這時(shí)兩人相距140米.如果兩人的速度不變,當(dāng)甲騎到終點(diǎn)時(shí),兩人相距多少解：一般方法：7/8:6/7=

15、49:48.140+(7/8-6/7)=7840,7840:x=49:48,x=76807840-7680=160米推理巧解思路：直接求甲到終點(diǎn)時(shí)比乙多走多少米.甲走7/8時(shí)比乙多走140米甲走1/8時(shí)比乙多走140/7=20米.所以甲走8/8(全程)時(shí),比乙多走140+20=160米(4):求分母為40以內(nèi)所有自然數(shù)的真分?jǐn)?shù)的和.1/2+(1/3+2/3)+(1/4+2/4+3/4)+(1/5+2/5+3/5+4/5)+.+39/40解：用通分法求和很繁瑣.通過(guò)分析數(shù)量關(guān)系可知,每個(gè)加數(shù)乘以2,可順次得到1、2、3、4/.39.所以,(20X39)+2=390即為所求.(5):一正方形,當(dāng)豎

16、邊減少20%橫邊增加2米時(shí),得到的長(zhǎng)方形面積與原正方形面積相等,求原正方形面積.解：一般思路：由于正方形面積=邊長(zhǎng)X邊長(zhǎng).所以應(yīng)先求邊長(zhǎng).用方程解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)度,那么面積為一個(gè)單位面積.長(zhǎng)方形的寬為：1X(1-20%)=80%t單位長(zhǎng)度,長(zhǎng)為：一個(gè)單位面積+80%"單位長(zhǎng)度=1.25個(gè)單位長(zhǎng)度,與2米對(duì)應(yīng)的單位長(zhǎng)度為：1.25-1=0.25個(gè)單位長(zhǎng)度.所以正方形邊長(zhǎng)(一個(gè)單位長(zhǎng)度)=2+0.25=8米,正方形面積=8x8=64平方米.很繁瑣.巧解思路：因豎邊減少20%在原圖形上減少的面積與后來(lái)因橫邊增加2米,增加的面積相等.所以設(shè)原正方形邊長(zhǎng)為x米,那么:20%xXx=

17、80%xX2x=8米.正方形面積=8X8=64平方米.(6):某班有40名學(xué)生,考數(shù)學(xué)時(shí)有2人缺考,這38人平均分?jǐn)?shù)是89,這2名學(xué)生補(bǔ)考后,兩人的平均成績(jī)比全班40人的平均成績(jī)多9.5分,這兩人的平均成績(jī)是多少解：一般從求平均數(shù)的共識(shí)考慮,用方程解：設(shè)這兩人的平均成績(jī)?yōu)閤,那么：x-(89*38+2x)+40=9.5,x=99.推理巧解(抓住平均就是移多補(bǔ)少的實(shí)質(zhì)).這兩人的平均分?jǐn)?shù)比全班平均分?jǐn)?shù)多9.5分,把9.5X2=19補(bǔ)給38名學(xué)生,每人增加0.5分,所以這兩人平均分?jǐn)?shù)為：89+0.5+9.5=99.五：注意一般解法的特殊形式：(1):求平均數(shù)的一般方法：公式法,平均數(shù)=總數(shù)量+總份

18、數(shù).但當(dāng)份數(shù)相等時(shí),巧解法：平均數(shù)=(第一份數(shù)量+第二份數(shù)量+000000+第n份數(shù)量)+份數(shù).如：某人晨練,第一個(gè)5分鐘的速度是100米/分,第二個(gè)5分鐘的速度是110米/分,求他這10分鐘內(nèi)的平均速度一般解法：平均數(shù)=(100X5+110X5)+(5+5)=105米/分由于“份數(shù)相同,可巧解：平均數(shù)=(100+110)+2=105米/分.(2):甲(帶著一條狗)乙兩人同時(shí)從相距100千米的兩地出發(fā)相向而行,甲速度為6千米/小時(shí),乙速為4千米/小時(shí),狗速為10千米/小時(shí),狗碰到乙時(shí)就掉頭朝甲走來(lái),碰到甲時(shí)又朝乙跑去.直到甲乙兩人相遇.這狗走了多少米解：假設(shè)分段求出狗與甲、與乙、與甲、與乙.相

19、遇時(shí)走的路程,再加起來(lái)是很困難的.一般巧解方法是：從整體考慮,狗走的時(shí)間就是甲乙相遇用的時(shí)間,所以狗走的時(shí)間=100+(4+6)=10小時(shí),狗走的路程=10X10=100千米.這還不算巧,更巧的方法是：從題意可知：甲乙速度和二狗速,并且走的時(shí)間相同,所以,甲乙共走的路程就=狗走的路程=100千米.總的來(lái)看,“巧解就是在一題多解情況下的最正確選擇.(三)總練習(xí)題(用簡(jiǎn)便方法計(jì)算1-16題,用多種方法計(jì)算17-30題,并指出最巧方法.1730題只給出巧解答案.)(1)925-28-72+75(2)(64X125)+(16X28)(3)12.348+25(4)55X55/56(5)3.8+3.75+

20、3.85+3.75(6)123454321+(55555X55555)(11X11=121,111X111=12321,1111X1111=1234321.)(7)18X5/7-5X4/7(8)999X222+333X334(9)(4.8X7.5X8.1)+(2.4X2.7+4)(10)8.3X64+1.7X65(11)12.5*(36-7.2)+3.6(12)43*11.8+860*0.91(13)(9+2/7+7+2/9)+(5/7+5/9)(14)1/2+1/6+1/12+1/20+1/30(15)(1+1/2+1/3+.+1/1999)X(1/2+1/3+1/4+000000+1/20

21、00)-(1+1/2+1/3+.+1/2000)乂(1/2+1/3+1/4.+1/1999)(15)4327-98(16)求：5+10+15+20+.+200的和(17)比擬9/10和11/12的大小.(提示：有比擬分子、比擬分母、比擬與1的差、比擬它們的倒數(shù)、變成整數(shù)比擬和用真分?jǐn)?shù)特點(diǎn)比擬等方法.但最巧的比擬方法是用“規(guī)律比擬：分子分母都相差1時(shí),分母大的分?jǐn)?shù)大.)(18)比擬：2222221/2222223和3333331/3333334的大小.(提示：巧法是先比擬他們與1的差.)(19)某廠工人植樹(shù),假設(shè)每人植5棵,剩50棵,假設(shè)每人植6棵,差40棵.這廠有多少工人他們共植多少棵樹(shù)巧解：

22、由題意可知,每人多種1棵,就多種50+40=90棵,所以這場(chǎng)工人有90+1=90人,共植5*90+50=500棵.(20)張老師用216元買鋼筆獎(jiǎng)勵(lì)學(xué)生,假設(shè)每支廉價(jià)1元,可多買3支,鋼筆原價(jià)是多少巧解：由于總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量,所以把216分解成兩個(gè)數(shù)相乘有2和108、3和72、4和54、6和36、8和27、9和24.根據(jù)題意,從后兩組數(shù)可知每支筆原價(jià)是9元.(21)王華和李明在銀行都有存款,原來(lái)王比李少1/6,每人捐出20元后,李比王多25%兩人原來(lái)存款各是多少巧解：由王比李少1/6可知；李存款是他兩存款差的6倍,由李比王多25那么知,捐出20元后李存款是他兩存款差的5倍,捐款前后“差不變,李

23、捐出20元后,自己的錢變成“差的5倍,所以“差是20元.李原有錢為20*6=120元.王原有錢120-20=100元.(22)甲乙兩消防隊(duì)共有338人,從甲隊(duì)調(diào)出1/3,從乙隊(duì)調(diào)出1/7的和是78人,甲乙兩隊(duì)各有多少人巧解：假設(shè)甲乙調(diào)出的人數(shù)都擴(kuò)大到3倍,那么共調(diào)出78X3=234,原消防隊(duì)只剩乙隊(duì)的4/7,所以原乙消防隊(duì)有：(338-234)+4/7=182人,原甲隊(duì)有338-182=156人.(23)猴吃桃,第一天吃了全部的1/9,第二天吃余下的1/8,第三天吃又余下的1/7.第八天吃余下的1/2,第九天吃了一個(gè)正好吃完,原有桃多少個(gè)巧解：從題意可知：每天都吃了總數(shù)的1/9,(第二天吃8/

24、9X1/8=1/9,第三天吃7/9*1/7=1/9.),所以桃子總數(shù)為：1+1/9=9個(gè).(24)媽媽給上衣縫紐扣,假設(shè)每天縫15件,比規(guī)定日期晚2天,每天縫18件,就可提前3天,這批上衣是多少件巧解：按工程問(wèn)題做：(2+3)+(1/15-1/18)=450件.(25):一架飛機(jī)的燃料最多可用6小時(shí),飛機(jī)去時(shí)順風(fēng),速度為1500千米/小時(shí),返回時(shí)逆風(fēng),速度為1200千米/小時(shí),飛機(jī)最多飛出多遠(yuǎn)就要往回飛巧解：按工程問(wèn)題(相遇問(wèn)題)思路來(lái)解答.按題意轉(zhuǎn)化為往返多少千米用6小時(shí).6+(1/1500+1/1200)=4000千米.(26):某人賣商品,第一天按11元/個(gè)的利潤(rùn)賣出10個(gè),第二天是五一

25、,按5元/個(gè)的利潤(rùn)賣出11個(gè),兩天賣出的總價(jià)(營(yíng)業(yè)總額)相同,求該商品的進(jìn)價(jià)巧解：由于總價(jià)=(利J潤(rùn)+進(jìn)價(jià))x個(gè)數(shù).第一天利潤(rùn)為11X10=110元,第二天假設(shè)賣10個(gè),利潤(rùn)為5X10=50元,總額少60元,多賣出一個(gè),利潤(rùn)僅為5X11=55元,第二天少得利潤(rùn)60-5=55元,所以,一件商品的進(jìn)價(jià)為55元.(27) 一農(nóng)民死前立遺囑：要把17頭牛分給三個(gè)兒子,大兒子得1/2,二兒子得1/3,三兒子得1/9,(不得殺或賣)三個(gè)兒子不會(huì)分,你應(yīng)如何分巧解：17不是2、3、9的倍數(shù),不能安分率分配,應(yīng)把三個(gè)分率看成分牛時(shí)每人得的份數(shù).1/2:1/3:1/9=9:6:2,所以：17+(9+6+2)=1

26、頭,三個(gè)兒子分別應(yīng)分：9頭,6頭,2頭.另一巧解方法是：三個(gè)分率的分母最小公倍數(shù)是18,可以18頭牛為單位“1,進(jìn)行分配.18X1/2=9,18X1/3=6,18乂1/9=2(28) 學(xué)校買進(jìn)一批白色、彩色粉筆,白色是彩色的3倍,開(kāi)學(xué)后平均每周用36盒白色的、8盒彩色的.幾周后,白色的用完,彩色的還剩36盒,原來(lái)購(gòu)進(jìn)白、彩粉筆各多少盒巧解：由于白是彩的3倍,假設(shè)每周按比例白36盒,彩12盒使用,刖同時(shí)用完,現(xiàn)在每周少用彩筆12-8=4盒,可見(jiàn)用了36+4=9周,所以白色粉筆為：36X9=324盒,彩色粉筆為：8X9+36=108盒.(29)前六(2),假設(shè)甲、乙速度不變,狗速變?yōu)?5千米/小時(shí)

27、,甲乙兩人相遇時(shí),狗跑了多少千米巧解：由于狗與兩人運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同,所以,路程和時(shí)間成正比.x/100=15/10,x=150千米.(30)某蓄水池長(zhǎng)、寬、深分別為10米、8米、3米.一進(jìn)水管以0.6小時(shí)使水深達(dá)0.3米的速度往池內(nèi)放水,多少時(shí)間可放滿水池巧解：思路：水深到達(dá)3米,就滿池了.由于放水速度不變,所以水深與時(shí)間成正比,3/0.3=x/0.6x=6小時(shí).或3+(0.3+0.6)=6小時(shí).同學(xué)們：快來(lái)看博客上的文章吧,它有助于你分析問(wèn)題和解決問(wèn)題水平的提升,大大提升你學(xué)習(xí)新知識(shí)、復(fù)習(xí)舊知識(shí)的效率.老師們：快來(lái)看吧,看后會(huì)使你增加一些引導(dǎo)學(xué)生“復(fù)習(xí)知識(shí)的方法,從而提升復(fù)習(xí)效率.文中不妥之處,

28、誠(chéng)請(qǐng)指正.謝謝.加法類似)：交換律,a*b=b*a,結(jié)合律,(a*b)*c=a*(b*c),分酉己率,(a+b)xc=ac+bc,(a-b)Xc=ac-bc.(4)除法運(yùn)算性質(zhì)：(與減法類似),a+(bXc)=a+b+c,a+(b+c)=a+bxc,a+b+c=a+c+b,(a+b)c=ac+bc,(a-b)c=ac-bc.前邊的運(yùn)算定律、性質(zhì)公式很多是由于去掉或加上括號(hào)而發(fā)生變化的.其規(guī)律是同級(jí)運(yùn)算中,加號(hào)或乘號(hào)后面加上或去掉括號(hào),.后面數(shù)值的運(yùn)算符號(hào)不變.例1:283+52+117+148=283+117+52+48=400+200=60.運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律.減號(hào)或除號(hào)后面加上或去掉括

29、號(hào),后面數(shù)值的運(yùn)算符號(hào)要改變.運(yùn)用減法性質(zhì),相當(dāng)加法交運(yùn)用減法性質(zhì)例2:657-263-257=657-257-263=400-263=147.換律.)例3:195-(95+24)=195-95-24=100-24=76例4;150-(100-42)=150-100+42=50+42=92.(同上)例5:(0.75+125)X8=0.75X8+125X8=6+1000=1006.(運(yùn)用乘法分配律)例6:(125-0.25)X8=125X8-0.25X8=1000-2=998.(同上)例7:(1.125-0.75)+0.25=1.125+0.25-0.75+0.25=4.5-3=1.5.(運(yùn)用除

30、法性質(zhì))例8:(450+81)+9=450+9+81+9=50+9=59.(同上,相當(dāng)乘法分配律)例9:375+(125+0.5)=375+125*0.5=3*0.5=1.5.(運(yùn)用除法性質(zhì))例10:4.2+(006X0.35)=4.2+0.6+0.35=7+0.35=20.(同上)例11:12X125X0.25X8=(125X8)X(12X0.25)=1000X3=3000.(運(yùn)用乘法交換律和結(jié)合律)例12:(175+45+55+27)-75=175-75+(45+55)+27=100+100+27=227.(運(yùn)用加法性質(zhì)和結(jié)合律)例13:(48X25X3)+8=48+8X25X3=6X25

31、X3=450.(運(yùn)用除法性質(zhì),相當(dāng)加法性質(zhì))(5)和、差、積、商不變的規(guī)律.1：和不變：如果a+b=c,那么,(a+d)+(b-d)=c,2:差不變：如果a-b=c,那么,(a+d)-(b+d)=c,(a-d)-(b-d)=c3:積不變：如果a*b=c,那么,(a*d)*(b+d)=c,4:商不變：如果a+b=c,那么,(a*d)+(b*d)=c,(a+d)+(b+d)=c.例14:3.48+0.98=(3.48-0.02)+(0.98+0.02)=3.46+1=4.46,.(和不變)例15:3576-2997=(3576+3)-(2997+3)=3579-3000=579.(差不變)例16:

32、74.6X6.4+7.46X36=7.46X64+7.46X36=7.46X(64+36)=7.46義100=746.(積不變和分配律)例17:12.25+0.25=(12.25*4)+(0.25*4)=49+1=49.(商不變).二：拆數(shù)法：(1)湊整法,19999+1999+198+6=(19999+1)+(1999+1)+(198+2)+2=22202(2)利用規(guī)律,7.5X2.3+1.9X2.5-2.5X0.4=7.5X(0.4+1.9)+1.9X2.5-2.5義0.4=7.5X0.4+7.5X1.9+1.9X2.5-2.5X0.4=0.4X(7.5-2.5)+1.9X(7.5+2.5

33、)=2+19=21.2. 1992X20052005-2005X19921992=1992X2005X(10000+1)-2005X1992X(10000+1)=0三：禾I用基準(zhǔn)數(shù)：2072+2052+2062+2042+2083=(2062x5)+10-10-20+21=10311四：改變順序,重新組合.(1) :(215+357+429+581-(205+347+419+571=215+357+429+581-205-347-419-571=(215-205)+(429-419)+(357-347)+(581-571)=40(2) :(378X5X25)X(4X0.8+3.78)=378X

34、5X25X4X0.8+3.78=(378+3.78)X(25X4)x(5乂0.8)=100x100x4=40000五：1:求等差連續(xù)自然數(shù)的和.當(dāng)加數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí),有：和=中間數(shù)x個(gè)數(shù).當(dāng)加數(shù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí),有：和=(首+尾)x個(gè)數(shù)的一半.(1):3+6+9+12+15=9*5=45,(2):1+2+3+4+10=(1+10)*10+2=55.2:求分?jǐn)?shù)用的和.由于1/n-1/n+1=1/n(n+1),1/n+1/n+1=n+(n+1)/n(n+1).所以：(1):1/42+1/56+1/72+1/90+1/110=1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/

35、11=1/6-1/11=5/66(2):5/6-7/12+9/20-11/30+13/42-15/56+.0+41/400-43/460=(1/2+1/3)-(1/3+1/4)+(1/4+1/5)-(1/5+1/6)+(1/6+1/7)-(1/7+1/8)oooooo+(1/20+1/21)-(1/21+1/22)=1/2-1/22=5/113:變形約分法.求：(1.2+2.3+3.4+4.5)+(12+23+34+45的值.由于分母各項(xiàng)是分子各項(xiàng)的10倍.所以有：原式=0.1六：設(shè)數(shù)法：求(1+0.23+0.34)*(0.23+0.34+0.65)-(1+0.23+0.34+0.65)*(0

36、.23+0.34)的值.設(shè)a=0.23+0.34.b=0.23+0.34+0.65.原式=(1+a)*b-(1+b)*a=b+ab-a-ab=b-a=(0.23+0.34+0.65)-(0.23+0.34)=0.65.(二)：巧算的方法：除運(yùn)用上面所說(shuō)的簡(jiǎn)便方法外,最重要的是抓住題目(特別是應(yīng)用題)中的數(shù)量關(guān)系,充分利用邏輯推理,變解法不明為解法明確,把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題,以小見(jiàn)大,以少見(jiàn)多,以簡(jiǎn)馭繁.從而到達(dá)巧算的目的.一：利用數(shù)的整除特征和某些特殊規(guī)律.特殊問(wèn)題來(lái)求解.重在一個(gè)“巧.(1):一個(gè)三位數(shù)連續(xù)寫兩次得到的六位數(shù)一定能被7、11、13整除.為什麼解;六位數(shù)abcabc=abc

37、x1000+abc=abcX1001.1001=7X13X11.六位數(shù)abcabc必能被7、11、13整除.(2):六位數(shù)865abe能被3、4、5整除,當(dāng)這個(gè)數(shù)最小時(shí),a,b,c各是數(shù)字幾解：由于該數(shù)能被4,5整除,b,c必都是零,要使該數(shù)能被3整除,它各位數(shù)字和應(yīng)能被3整除,a只能是2.所以a,b,c分別是2,0,0.(3):化簡(jiǎn)：(1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1+(888888X888888)=8X8+(888888乂888888)=1+(111111X111111)=1/12345654321.(由于：11*11=121,111*111=12321,1111

38、*1111=1234321,所以.)二：估算法：求：a=1+(1/1992+1/1993+1/1994+1/2003)的整數(shù)局部.解：用一般通分求他得值太繁瑣,可巧用“放縮法估算.假定除數(shù)局部各加數(shù)都是1/1992,那么a=1+(12/1992)=166.假設(shè)除數(shù)局部各加數(shù)都是1/2003,那么a=1+(12/2003)=166+11/12所以它的整數(shù)局部是166.三：正難那么反法.直接求解困難時(shí),換個(gè)角度從反面求解.(1):除了本身,合數(shù)7854321的最大因數(shù)是多少一般想法是將其分解質(zhì)因數(shù)求之,但這個(gè)數(shù)很大,做起來(lái)很繁瑣.巧解：先求它的最小因數(shù),再通過(guò)“除求它的最大因數(shù).由于該數(shù)各位數(shù)字和

39、能被3整除,所以這個(gè)數(shù)的最小因數(shù)是3,最大因數(shù)是：7854321+3=261807.(2):某廠人數(shù)在90-110之間,做工間操排隊(duì)時(shí),站3列正好；站5列少2人；站7列少4人,這廠有多少人解：按所給數(shù)值正面求解很難,假設(shè)換個(gè)角度從反面做,把它轉(zhuǎn)化為：該廠工人站3列多3人；站5列多3人；站7列多3人求這廠人數(shù)的問(wèn)題.即求比3,5,7的最小公倍數(shù)多3的數(shù)是多少.3,5,7=105,105+3=108人.這廠有108人.四：慎密的邏輯推理：(1):幼兒園的小朋友分餅干,每人分5塊,那么差27塊.每人分4塊,正好分完.這個(gè)幼兒園有多少小朋友分了多少餅干解：一般用方程法：設(shè)有x個(gè)小朋友.5x-4x=27

40、,x=27.餅干為：27X4=108塊.巧解：每人分4塊,正好分完,每人多分一塊(5塊)差27塊,說(shuō)明小朋友為：27+1=27個(gè),餅干為：27X4=108塊(2):某商店有兩個(gè)柜臺(tái),甲臺(tái)比乙臺(tái)的磁帶少120盒,各賣出164盒后,乙剩下的是甲剩下的3倍,求原來(lái)兩臺(tái)各有多少盒磁帶一般用方程法：設(shè)甲剩x臺(tái),乙剩3x臺(tái).(3x+164)-(x+164)=120,x=60,3x=180.甲原有：60+164=224盒,乙原有180+164=344盒.推理巧解：由于賣出的數(shù)量相等,所以賣出后甲仍比乙少120盒,乙是甲的3倍,這就轉(zhuǎn)化為差倍問(wèn)題了.120+(3-1)=60.60X3=180.甲原有：60+1

41、64=224盒,乙原有：180+164=344盒(3):甲乙兩人進(jìn)行騎車比賽,當(dāng)甲騎到全程的7/8時(shí),乙騎到全案程6/7,這時(shí)兩人相距140米.如果兩人的速度不變,當(dāng)甲騎到終點(diǎn)時(shí),兩人相距多少解：一般方法：7/8:6/7=49:48.140+(7/8-6/7)=7840,7840:x=49:48,x=76807840-7680=160米推理巧解思路：直接求甲到終點(diǎn)時(shí)比乙多走多少米.甲走7/8時(shí)比乙多走140米甲走1/8時(shí)比乙多走140/7=20米.所以甲走8/8(全程)時(shí),比乙多走140+20=160米(4):求分母為40以內(nèi)所有自然數(shù)的真分?jǐn)?shù)的和.1/2+(1/3+2/3)+(1/4+2/4

42、+3/4)+(1/5+2/5+3/5+4/5)+.+39/40解：用通分法求和很繁瑣.通過(guò)分析數(shù)量關(guān)系可知,每個(gè)加數(shù)乘以2,可順次得到1、2、3、4/.39.所以,(20X39)+2=390即為所求.(5):一正方形,當(dāng)豎邊減少20%橫邊增加2米時(shí),得到的長(zhǎng)方形面積與原正方形面積相等,求原正方形面積.解：一般思路：由于正方形面積=邊長(zhǎng)X邊長(zhǎng).所以應(yīng)先求邊長(zhǎng).用方程解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)度,那么面積為一個(gè)單位面積.長(zhǎng)方形的寬為：1X(1-20%)=80%f單位長(zhǎng)度,長(zhǎng)為：一個(gè)單位面積+80%"單位長(zhǎng)度=1.25個(gè)單位長(zhǎng)度,與2米對(duì)應(yīng)的單位長(zhǎng)度為：1.25-1=0.25個(gè)單位長(zhǎng)度.

43、所以正方形邊長(zhǎng)(一個(gè)單位長(zhǎng)度)=2+0.25=8米,正方形面積=8x8=64平方米.很繁瑣.巧解思路：因豎邊減少20%在原圖形上減少的面積與后來(lái)因橫邊增加2米,增加的面積相等.所以設(shè)原正方形邊長(zhǎng)為x米,那么：20%xXx=80%xX2x=8米.正方形面積=8X8=64平方米.(6):某班有40名學(xué)生,考數(shù)學(xué)時(shí)有2人缺考,這38人平均分?jǐn)?shù)是89,這2名學(xué)生補(bǔ)考后,兩人的平均成績(jī)比全班40人的平均成績(jī)多9.5分,這兩人的平均成績(jī)是多少解：一般從求平均數(shù)的共識(shí)考慮,用方程解：設(shè)這兩人的平均成績(jī)?yōu)閤,那么：x-(89*38+2x戶40=9.5,x=99.推理巧解(抓住平均就是移多補(bǔ)少的實(shí)質(zhì)).這兩人的

44、平均分?jǐn)?shù)比全班平均分?jǐn)?shù)多9.5分,把9.5X2=19補(bǔ)給38名學(xué)生,每人增加0.5分,所以這兩人平均分?jǐn)?shù)為：89+0.5+9.5=99五：注意一般解法的特殊形式：(1):求平均數(shù)的一般方法：公式法,平均數(shù)=總數(shù)量+總份數(shù).但當(dāng)份數(shù)相等時(shí),巧解法：平均數(shù)=(第一份數(shù)量+第二份數(shù)量+000000+第n份數(shù)量)+份數(shù).如：某人晨練,第一個(gè)5分鐘的速度是100米/分,第二個(gè)5分鐘的速度是110米/分,求他這10分鐘內(nèi)的平均速度一般解法：平均數(shù)=(100X5+110X5)+(5+5)=105米/分由于“份數(shù)相同,可巧解：平均數(shù)=(100+110)+2=105米/分.(2):甲(帶著一條狗)乙兩人同時(shí)從相

45、距100千米的兩地出發(fā)相向而行,甲速度為6千米/小時(shí),乙速為4千米/小時(shí),狗速為10千米/小時(shí),狗碰到乙時(shí)就掉頭朝甲走來(lái),碰到甲時(shí)又朝乙跑去.直到甲乙兩人相遇.這狗走了多少米解：假設(shè)分段求出狗與甲、與乙、與甲、與乙.相遇時(shí)走的路程,再加起來(lái)是很困難的.一般巧解方法是：從整體考慮,狗走的時(shí)間就是甲乙相遇用的時(shí)間,所以狗走的時(shí)間=100(4+6)=10小時(shí),狗走的路程=10X10=100千米.這還不算巧,更巧的方法是：從題意可知：甲乙速度和二狗速,并且走的時(shí)間相同,所以,甲乙共走的路程就=狗走的路程=100千米.總的來(lái)看,“巧解就是在一題多解情況下的最正確選擇.(三)總練習(xí)題(用簡(jiǎn)便方法計(jì)算1-1

46、6題,用多種方法計(jì)算17-30題,并指出最巧方法.1730題只給出巧解答案.)(1)925-28-72+75(2)(64X125)-(16X28)(3)12.348+25(4)55X55/56(5)3.8+3.75+3.85+3.75(6)123454321+(55555X55555)(11X11=121,111X111=12321,1111X1111=1234321.)(7)18X5/7-5X4/7(8)999X222+333X334(9)(4.8X7.5X8.1)+(2.4X2.7+4)(10)8.3X64+1.7X65(11)12.5*(36-7.2)+3.6(12)43*11.8+86

47、0*0.91(13)(9+2/7+7+2/9)+(5/7+5/9)(14)1/2+1/6+1/12+1/20+1/30(15)(1+1/2+1/3+.+1/1999)乂(1/2+1/3+1/4+.00000+1/2000-(1+1/2+1/3+.+1/2000)X(1/2+1/3+1/4.+1/1999)(15)4327-98(16)求：5+10+15+20+.+200的和(17)比擬9/10和11/12的大小.(提示：有比擬分子、比擬分母、比擬與1的差、比擬它們的倒數(shù)、變成整數(shù)比擬和用真分?jǐn)?shù)特點(diǎn)比擬等方法.但最巧的比擬方法是用“規(guī)律比擬：分子分母都相差1時(shí),分母大的分?jǐn)?shù)大.)(18)比擬：2

48、222221/2222223和3333331/3333334的大小.(提示：巧法是先比擬他們與1的差.)(19)某廠工人植樹(shù),假設(shè)每人植5棵,剩50棵,假設(shè)每人植6棵,差40棵.這廠有多少工人他們共植多少棵樹(shù)巧解：由題意可知,每人多種1棵,就多種50+40=90棵,所以這場(chǎng)工人有90+1=90人,共植5*90+50=500棵.(20)張老師用216元買鋼筆獎(jiǎng)勵(lì)學(xué)生,假設(shè)每支廉價(jià)1元,可多買3支,鋼筆原價(jià)是多少巧解：由于總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量,所以把216分解成兩個(gè)數(shù)相乘有2和108、3和72、4和54、6和36、8和27、9和24.根據(jù)題意,從后兩組數(shù)可知每支筆原價(jià)是9元.(21)王華和李明在銀行都有存款,原來(lái)王比李少