相似三角形講義及練習(xí)

1、似三角形講義及練習(xí)文檔編制序號(hào)：KK8UY-LL9IO69-TT。6M3-MTOL89-FTT688相似三角形一、比例線段1、定義：對(duì)于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的長度的比與另外兩條線段長度的比，即,那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。2、比例線段的基本性質(zhì)：工4二ad=bcbdca-b»b2=ac其中b為比例中項(xiàng)bc合比性質(zhì)：.=£.生=9bdbd等比性質(zhì)：wwqwa+c+e+m_a+c_ab+d+f+nb+db3、黃金分割：一條線段AB,點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)點(diǎn)，如果滿足：型=叱,APAB那么稱線段AB被P點(diǎn)黃金分割，點(diǎn)P為線段AB的黃金分割點(diǎn)，A

2、P與AB的比值約為，這個(gè)比值稱為黃金比。例1、判斷下列線段是否是成比例線段:(1) a=2cm,b=12cm,c=8cm,d=3cm;(2) a=7,b=3,c=21,d=9.例2、若a:3=b:7,貝I(a+3b):2b=例3、已知三條線段alcm,b=2cm,c=3cm,若線段d與a、b、c成比例,請(qǐng)求出線段d的長度。例4、已知A；4T且I-求金卻勺值。例5、等腰三角形AA8C中，AB=AC,ZABC=72°,ZA8C的角平分線BD交AC于D,且D是線段AC的黃金分割點(diǎn)，若AB=8cm,求AD的長。二、相似圖形的性質(zhì)1、定義：我們把具有的圖形稱為相似圖形。2、相似多邊形的性質(zhì)：對(duì)

3、應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等。3、判定兩個(gè)多邊形是否相似：對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等。三、相似三角形1、定義：對(duì)應(yīng)相等，且對(duì)應(yīng)成比例的三角形，叫做相似三角形。2、表示方法：用符號(hào)s表示，讀作相似于。3、相似三角形的相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。4、定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所截成的三角形與原三，角形相似。5、判定三角形相似的思路：、有平行截線用判定定理中的基本定理、有一對(duì)等角，找a、另一對(duì)等角，b、夾邊成比例、有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，找a、夾角相等，b、第三邊也對(duì)應(yīng)成比例，c、有一對(duì)直角。、直角三角形，找a、一對(duì)銳角相等，b、斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例、等腰三角形，

4、找a、頂角相等，b、一對(duì)底角相等，c、底和腰成比例。6、相似三角形的判定定理：(1)SAS：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且兩對(duì)應(yīng)邊的夾角相等。(3) SSS：三條邊對(duì)應(yīng)成比例。(4) ASA：兩角對(duì)應(yīng)相等。7、對(duì)于直角三角形相似的判定法則：一條直角邊與對(duì)應(yīng)斜邊成比例。(8) 對(duì)于全等三角形的判定法則：對(duì)應(yīng)邊相等。9、直角三角形相似定理：(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和,一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。10、相似三角形性質(zhì)定理：(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例。(3)相

5、似三角形的對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。(4)相似三角形的周長比等于相似比。(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方。(6)相似三角形內(nèi)切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內(nèi)切圓、外接圓面積比是相似比的平方(7)若a/b=b/c,即b2二ac,b叫做a,c的比例中項(xiàng)(8)c/d=a/b等同于ad二be.定理推論：推論一：頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形相似。推論二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。推論三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。推論五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另

6、一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。推論六：如果一個(gè)三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。11、中位線：(1)定義：我們把連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。(2)定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半。(3)重心定理：三角形三條邊上的中線交與一點(diǎn)，這個(gè)角就是三角形的重心，重心與一邊中點(diǎn)的連線長是對(duì)應(yīng)中線的（4）梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于兩底邊，并且等于兩底和的一半。例1、已知：如圖，E是BA的延長線上的一點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，連接EF交ACtp._p.、丁A。EA±Do求證：=一DCEB例2、如

7、圖所示，在aABC中，BA=BC=20CM,AC=30CM,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB以每秒4cM的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cM的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為X。（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ/BC（2）當(dāng)2=1,求2的值；S»i8C3SABC（3）能否與aCQB相似若能，求出AP的長；若不能，請(qǐng)說明理由。B例3、如圖，某同學(xué)想測(cè)旗桿高度AB,他在某一時(shí)刻得1米的竹竿直立時(shí)影長為米，在同一時(shí)刻，測(cè)得旗桿影長時(shí)，影子不全落在地面上，有一部分落在墻上，他測(cè)得落在地面上的影長AC為21米，留在墻上的影高CD為2米，求旗桿AB的高例4、如圖，在AABC中，AD是NBAC的平

8、分線，求證：AB:AC=BD:DC。A例5、如圖所示，在ABC中，AM是BC邊上的中線，AE平分NBAC,BDLAE的延長線于D,且交AM延長線于F,求證：EF/ABo練習(xí)：1、若x+3y-5z=0,x-2y+3z=0,且A”工0,求x:y:z的值。心已知臺(tái)臺(tái)尹。，求黃基的值。3、已知a、bc為ABC的二邊，且a+c=60c?，a:：c=3:4:5,求aABC的面積。4、已知：z=2:3:4,x+y+z=50,y=ax-5,求a的值。5、己知士=竺£=如=?，求m的值，并判斷直線），=7X+/經(jīng)過哪些象限abc6、若a、b、c是非零實(shí)數(shù)，并滿足"/=紇"£

9、;=一+"且cba=求X的值。abc7、設(shè)P、Q是線段AB上的黃金分割點(diǎn)，且PQ=a,求AB的長。8、如圖，線段AB=2,點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)D在AB上，且求矍的值。B9、如圖，ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，E在AD上，AE=-AD,求"的6FB值。10、如圖，在ABC中，AF:FC=1:2,G是BF的中點(diǎn)，AG的延長線交BC于E,BEiECo11、如圖，DE/BC,=4：9,求AD:BD。12、在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們到操場(chǎng)上測(cè)量旗桿的高度，然后回來交流各H的測(cè)量方法.小芳的測(cè)量方法是：拿一根高米的竹竿直立在離旗桿27米的C處（如圖），然后沿BC方向走到D處

10、，這時(shí)目測(cè)旗桿頂部A與竹竿頂部E恰好在同一直線上，又測(cè)得C、D兩點(diǎn)的距離為3米，小芳的目高為米，這樣便可知道旗桿的高.你認(rèn)為這種測(cè)量方法是否可行請(qǐng)說明理由.XICD相似三角形鞏固練習(xí)題一、填空題1-在AABC中，NB=25°,AD是BC邊上的高，并且ADJBDDC,則NBCA的度數(shù)為2.已知：如圖，在aABC中，AB=15m,AC=12m,AD是NBAC的外角平分線，DE/AB交AC的延長線于點(diǎn)E,那么CE二m.（2題）（3題）（4題）3.如圖,已知RtZSABC中，AC=3,BO4,過直角頂點(diǎn)C作Ca_LAB,垂足為再過由作ACLBC,垂足為過0作GAAB,垂足為生，再過生作ACB

11、C,垂足為G,，這樣一直做下去，得到了一組線段CA1，AC,CA,，則CA產(chǎn)A5c54 .如圖，在梯形ABCD中，ADBC,AC,BD交于點(diǎn)0,Saaod：Sacob=I：9,貝ijSoc：SufiOC二5 .如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊BC上的點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F,如果典那BC36.如圖，在4ABD中，NADB=90°,C是BD上一點(diǎn)，若E、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，ZDEF的面積為，則ABC的面積為7 .在矩形ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、H在DC邊上，且GH=1DC.若AB=10,BC=12,則圖中陰影部分的面積為28 .如圖，在ABCD中，E為CD

12、中點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)0,S&D0E=12cnT,則SziAOB等于_cm.9 .如圖，在AABC中，EFBC,AE=2BE,則4AEF與梯形BCFE的面積比10 .如圖，在aABC中，ZC=90°,AO8,CB=6,在斜邊AB上取一點(diǎn)M,使MBXB,過M作MN1AB交AC于N,則MN二11 .如圖，在RtZXABC中,ZACB=90°，CD，如于D,若AD=1,BD=4,則CD二12 .如圖，在ABC中，M、N是AB、BC的中點(diǎn)，AN、CM交于點(diǎn)0,那么MON與AOC面積的比是13 .如圖，AD=DF=FB,DEFGBC,則Si：Su：Sm=14 .如圖，已知點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AFBC,CG：GA=3：1,BC=8,則AF二二、解答題15 .已知：如圖，在直角梯形COAB中，OCAB,以0為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(8,0),B(8,10),C(0,4),點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿折線OABD的路線移動(dòng)，移動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)求直線BC的解析式;(2)若動(dòng)點(diǎn)P在線段0A上移動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形0PDC的面積是梯形C0AB面積的27(3)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā)，沿折線0ABD的路線移動(dòng)過程中，設(shè)aOPD的面積為S,請(qǐng)直接寫出S與t