電動力學(xué)習(xí)題解答2

1、1,別離變量法的實質(zhì)是A.利用高斯積分面求定解.B,利用電荷分布求定解.C.利用平面鏡像求定解.D,將偏微分方程轉(zhuǎn)換為常微分方程,再利用邊界條件求定解.2*.在均勻外電場Eo中放置半徑為R.的導(dǎo)體球,1導(dǎo)體球上接有電池,與地保持電勢差60;使用別離變量法求空間電勢分布15分.；解：1以球心為坐標(biāo)原點(diǎn),以外電場Eo方向建立球坐標(biāo)系,當(dāng)導(dǎo)體上接有電池,與地保持電勢差.時.以地為電勢零點(diǎn).此題的定解問題；御=0口TrD-EoRcosuIr尺=中0其中既是未置入導(dǎo)體球前,坐標(biāo)原點(diǎn)的電勢.由于此問題具有軸對稱,從綺=0得通解*£aR+黑Pncose,R之Ron=0R根據(jù)邊界條件確定積分常量：先

2、由*rtc-o-EoRcOS日得o-EoRcosf=,anRnFn(cosu)n=0a.=°a-Eoan=0(n=0,1)二中=Q-EoRcos+Z與P,(cosH)(R>Ro)nR再由中R=Ro=R得%氏=打-EoRoCOS8+J*Pn(cos8)=GoR=ro0Dn+1n=0Ro二bn_書口=力00E°R0cosin=0R03二,b0=("J0i0)R0b1-E0R0bn=.(n仁.,1);0.E°Rcos(的Mcos,(RR0)RR2.在均勻外電場Ed中放置半徑為R0的導(dǎo)體球,2導(dǎo)體球上帶總電荷Q使用別離變量法求空間電勢分布.15分解：2建立

3、同樣的坐標(biāo)系；定解問題為：鏟呼=0叫3產(chǎn)%-EoRcosB,喉陞6°qQ!ds=-一LsR；0重復(fù)第一問的過程,得到=%-EoRcos+(：j0-0)R°岑cosiRR2由條件4得到三2R°Rd'1FR一廿;匚門9°Q)oE°R0-re=R0-E0cos12-23-cos1d1J_R2R3O-一中c也一1R2-E0cos-0-°-2E0cosd1R0r2l-3E0cosd1.1-r2(：J°-0)d1.1R0=-4二Rod10-9;0中0=704二；0Ro代入上式代替6.得QER305=%EoRcos9+十2cos日

4、,R>R4二；oRR4、此題10分均勻介質(zhì)球介電常數(shù)為61的中央置一自由偶極矩pt,球外充滿另外一種介質(zhì)介電常數(shù)為S2,求空間各點(diǎn)的電勢.解：問題具有對稱性,泊松方程的特解是:casjJ4方中亮考慮到0.一1有限行：3P.水pcos5I-FipRc05日+-2仃.+2f號/4月門胡2燈四仁十2營|優(yōu)3pJ?4ifli+2對口5、本大題總計10分R和R,球中央置一偶極子p,球殼空間導(dǎo)體球殼的內(nèi)外半徑為R和R,球中央置一偶極子p,球殼上帶電Q求空間各點(diǎn)電勢和電荷分布.空間導(dǎo)體球殼的內(nèi)外半徑為上帶電Q求空間各點(diǎn)電勢和電荷分布.利r：二Ri,三一"r-R2r->0,M有限;rx,

5、做二口用二斗+£/1月(cos654g)三二二."二一二','二r=R21rPrQPr.Q=T-(py=rRRi<rMR'tr.r出;“"dr4成;9*.接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為R/DR2,在球內(nèi)離球心為a(a<R)處置一點(diǎn)電荷Q,用鏡像法求電勢分布,導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷有多少？分布在內(nèi)表面還是外外表？(15分)解：設(shè)B處有電荷Q來代替球殼上感應(yīng)電荷,在球內(nèi)產(chǎn)生的場p_RR1一a所以bRi2b二aQ'=-RlQa.cp二1QQR/a"Va2+R2-2Racos0匚2.R4"R7,R-2-21cosi

6、1aa由于求敲及球外電場為零,感應(yīng)電荷只能分布于內(nèi)外表,由于RaB區(qū)域電場為零故由高斯定理i-TQI+Q=jDds=0所以Qu-Q11*、(此題10分)在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球凸部,半球的球心在導(dǎo)體平面上,點(diǎn)電荷Q位于系統(tǒng)的對稱軸上,并與平面相距為b(b>a),用電像法求空間電勢.11、解：如圖,利用鏡像法,根據(jù)一點(diǎn)電荷附近置一無限大接地導(dǎo)體平面板和一點(diǎn)電荷附近置一接地導(dǎo)體球兩個模型,可確定三個鏡像電荷的電量和位置.Q1二Q,r1二b2(6分)2Q114二oR2b2-2Rbcos-R2b22Rbcos-aa4242b,R2»22Rcos-bR22r2Rcos-b2b

7、b2bji(0£"：3,Ra)4分、本大題總計10分真空中有一半徑為R的導(dǎo)體球,導(dǎo)體球不接地而帶電荷Q,距球心為aa>R處有一點(diǎn)電荷Q求球外電勢.解：利用電像法求解.在球內(nèi)有一個像電荷,b=R2/aQ=-R0Q/a在球心放置一個假想電荷Q-Q,導(dǎo)體球帶總電荷為Q,球面為等勢面,12瑞.*0+/、3=-+J球外電勢為一,-四9、12分一個內(nèi)外半徑分別為R和R的接地空心導(dǎo)體球,在球內(nèi)離球心為aa<R處置一點(diǎn)電荷Q用鏡象法求電勢分布.四9、12分解：假設(shè)可以用球外一個假想電荷Q'代替球內(nèi)外表上感應(yīng)電荷對空間電場的作用,空心導(dǎo)體球接地,球外外表電量為零,由對稱性

8、,Q應(yīng)在球心與Q的連線上2分分考慮球內(nèi)外表上任一點(diǎn)P,邊界條件要求：Q/R+Q'/R'=01分式R為Q到P的距離,R'為Q'到P的距離,因此,對球面上任一點(diǎn),應(yīng)有R'/R=Q'/Q=常數(shù)1分只要選擇Q'的位置,使AOQ'P-AOPQ,那么R'/R=R/a=常數(shù)設(shè)Q'距球心為b,那么b/R=R/a,gpb=F12/a由23兩式得：Q'=RQ/a21QRQ/a4叫Jr2+a2-2Racos8?R2+R4/a2-2R2RcosB/a分導(dǎo)體球殼接地,電勢為02分從球殼外外表到無窮遠(yuǎn)都沒有電荷,所以球殼外電勢為002

9、分五、12分如下圖,電容率為w的介質(zhì)球置于均勻外電場E0中,設(shè)球半徑為R,球外為真空,試用別離變量法求介質(zhì)球內(nèi)外電勢.解：設(shè)球半徑為R.以球心為原點(diǎn),以Eo方向為極軸建立球坐標(biāo)系.以中i代表球外區(qū)域的電勢,中2代表球內(nèi)區(qū)域的電勢,中1、中2均滿足拉普拉斯方程,通解為：中1=£；anRnpncose1分中2=£；CnRn+Rnn¥PnCOSB1分由邊界條件：EIf=E0,中1|-c=EoRcosH=EoRPcosH1分得：a1=Eo,an=0,n*11分由邊界條件：平2|為有限,1分得dn=01分在R=R0處,平1=中2,IcR=2/cR2分將12代入,并比擬Pn的系數(shù),得：；033；0.=E0R0,C1=_E0,bn=Cn=0,n#12分；,2；0；,2；0由止匕,*=-EoRcos"1°巳/產(chǎn)"1分；20R23；0；,2；oE0Rcosi(1分)五、本大題總計10分請推導(dǎo)真空中電磁場波動方程.Vx5=-7x7/=工d2Edtdt7/)=07-5=0-3fVx(Vx£)=Vx£=