矩陣與行列式

1、第一章矩陣與行列式釋疑解惑1. 關(guān)于矩陣的概念：最難理解的是：矩陣它是一個“數(shù)表”，應(yīng)當(dāng)整體地去看它，不要與行列式實際上僅是一個用特殊形式定義的數(shù)的概念相混淆；只有這樣，才不會c'ac把用中括號或小括號所表示的矩陣如dJ寫成兩邊各劃一豎線的行列式如bd,或把行列式寫成矩陣等。還要注意，矩陣可有m（21）行和n（21）歹U,不一定m=n；但行列式2只有n行n歹U。n階行列式是n個數(shù)（兀素）按特定法則對應(yīng)的一個值，它可看成n階方陣ana12a"a21a22a2nA=1>>>an1an2ann的所有元素保持原位置而將兩邊的括號換成兩豎線時由行列式定義確定的一個新的

2、對象：特定的一個數(shù)值，detA、岡或Dn,即ndetA=A=a.=£a1kA1kkWad=ac-bdbc）。也正,ad'A=（如二階方陣爐c）所對應(yīng)的行列式是這樣一個新的對象:因為于此，必須注意二者的本質(zhì)區(qū)別，如當(dāng)A為n階方陣時，不可把，A與九A等同起來，而是入A=九A,等等。2. 關(guān)于矩陣的運算：矩陣的加（減）法只對同形矩陣有意義；數(shù)九乘矩陣Am浦是用數(shù)人乘矩陣Am而中每一個元素得到的新的mMn矩陣；二矩陣相乘與前述這兩種線性運算有著實質(zhì)上的不同，它不僅要求左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)，而且積的元素有其特定的算法（即所謂行乘列），乘法的性質(zhì)與前者的性質(zhì)更有質(zhì)的不同（如交換律

3、與消去律不成立），對此要特別加以注意，也不要與數(shù)的乘法的性質(zhì)相混淆。3. 關(guān)于逆陣：逆陣是由線性變換引入的，它可只由AB=E來定義（A與B互為逆陣），這是應(yīng)用的基礎(chǔ)。要記住方陣可逆的充要條件為A。0以及關(guān)系式AA4AE二者有著重要與廣泛的應(yīng)用。要弄清A的伴隨方陣是矩陣A=（詼）的各元素代數(shù)余子式為元素的矩陣的轉(zhuǎn)置，否則會出錯。要會用兩種方法求逆陣，從而會用逆陣求解線性方程組及各種矩陣方程。4. 關(guān)于矩陣的初等變換：首先要懂得矩陣的三種初等變換的算法，明白一個矩陣經(jīng)過一次初等變換并非完全不變，變換前后的矩陣間只是一種特殊的所謂等價關(guān)系（如E（i,j）AA,而不是E（i,j）A=A，等等）。還要能

4、將行列式性質(zhì)中提公因子、交換兩行（列）與用常數(shù)乘某行（列）加到另一行（列）上去后的結(jié)果弄清楚，并可與相應(yīng)方陣的初等變換進行對比。重要的是知道初等變換不改變矩陣的秩。5. 關(guān)于矩陣的秩：矩陣的秩是由解線性方程組引入的一個新概念，對它要逐步加深理解。為此，首先應(yīng)弄清什么是矩陣的行階梯形：其一個“臺階”（非零行）只有一行，即任一行的首非零元素下面（同列）的元素全為零，不能把兩行的首非零元素位于同一列視為一個“臺階”，而全為零的一行也是一個臺階，且要位于非零行下方。這里，要求會用矩陣的行初等變換法和計算子式法兩種方法求可逆方陣的逆陣。6. 關(guān)于矩陣分塊法：對此不作過高要求。但對于特殊形式的矩陣的乘法、

5、求逆等運算（當(dāng)可能時）會用分塊法計算將給我們帶來許多方便。7. 關(guān)于行列式：行列式的定義可由一階開始記，即a=a,從而可按行或列展開求得二階及任意的n階行列式的值。教材上附注中給出的另一種定義即（j1,j2;，jn）Dn=，（-1）-aijia2j2"-anjn（二"，。）難于理解，可參考其它線性代數(shù)教材；但對于許多特殊行列式的某些項及值的確定用此定義會非常方便（可見下面的“例題解析”部分）。由定義與性質(zhì)可得到化簡與計算n階行列式值的常用的幾種方法（可見下面的“例題解析”部分之例4）。這里，重要的是會正確地理解和使用性質(zhì)及展開法計算一般的行列式，特別要注意在使用它們時有一些

6、通常的技巧，自己應(yīng)當(dāng)通過作題加以領(lǐng)會與總結(jié)。但對于元素為數(shù)字的行列式，總可以由“交換兩行（列）”與“把某行（列）的若干倍加到另一行（列）上去"二變換化為上（下）三角行列式而求得其值。對元素為字母的行列式，要多觀察各行、列元素的特點，靈活應(yīng)用性質(zhì)，如當(dāng)列（行）元素之和相等時往往各行（列）相加；裂項，提公因子，逐行（列）相減化為三角形行列式等。為便于計算，還要記住一些特殊形式的行列式（如三角行列式、范得蒙行列式等）的計算公式及某些例、習(xí)題中有一定特點的行列式的值。8.關(guān)于克萊姆法則：首先要明白克萊姆法則僅對方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等的線性方程組（其系數(shù)行列式不為零）適用；特別要記準(zhǔn)公式中各

7、行列式的構(gòu)成規(guī)律，而且套公式之前一定要檢查方程組是否為“標(biāo)準(zhǔn)形”-常數(shù)項全在等號右端；要注意克萊姆法則推論的實質(zhì)，即n個方程n個未知數(shù)的齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式為零。第二章向量組和向量空間釋疑解惑1.關(guān)于向量的概念：應(yīng)該從多個角度理解n維向量的概念。首先，向量是一種特殊的矩陣，所以對向量可以使用矩陣的加法、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置和乘法等運算。1乂n矩陣3"a23（ai，a2，an）叫行向量,行向量與列向量是不相等的。若In父1矩陣1第1叫列向量。從矩陣的角度看，除了1維向量,A為n階方陣，那么n維行向量可左乘A,其結(jié)果a2（a1,a2,，an）A仍是n維行向量；n維列向

8、量可右乘A,其結(jié)果lan）仍為n維列向量。其次，向量與矩陣比較又有自己的特殊性，某些概念或運算在通常的矩陣間是沒有的，如內(nèi)積、夾角等。向量還可看成平面或空間解析幾何中對應(yīng)概念的推廣，但代數(shù)中向量概念更抽象?？臻g解析幾何中，向量與3維有序?qū)崝?shù)組（即向量的坐標(biāo)）間有一一對應(yīng)關(guān)系，所以這里把n維有序?qū)崝?shù)組定義為n維向量。解析幾何中一些與向量有關(guān)的概念、運算和性質(zhì)也可進行對應(yīng)推廣。在沒有特別聲明的情況下，本書所指的向量都是實向量，即分量都是實數(shù)的向量。2.關(guān)于向量的內(nèi)積、長度、夾角和正交：向量的內(nèi)積、長度、夾角和正交等概念都是解析幾何中對應(yīng)概念的推廣。向量的內(nèi)積對應(yīng)于解析幾何中兩向量的數(shù)量積（點積）。

9、注意內(nèi)積不滿足消去律，即：若3、6Y都是n維向量，且2-4=氏"，那么a不一定等于P。例如a=（1,2,1）,P=（2,1,0）,¥=（1,0,1）,那么a,¥=民力=2,且a。向量的長度又叫向量的?；蚍稊?shù)。三角形不等式怙+P|E國+網(wǎng)相當(dāng)于幾何中的“三角形的兩邊之和大于第三邊”，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a與P同向（或口=kP,k為實數(shù)，且k>0）。3,關(guān)于線性表出：如果存在實數(shù)k1,k2：km使得P=（q1+k2<X2+Gt,成立，則稱向量P可以由向量組1,（/2,，Um線性表出（或線性表示）。應(yīng)該注意到這個定義中沒有要求k1,k2,，km不全為零，因此零向

10、量可由任意一個向量組線性表出，只要k1,k2,，口全取零即可。還可以從線性方程組的角度理解線性表出：n維向量P可由n維向量組口1,62,，Gm線性表出，相當(dāng)于線性方程組X1«1+X2«2+"L+XmC（m=P有解。4 .關(guān)于向量組的線性相關(guān)性：向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念在本章中極其重要，是進一步學(xué)習(xí)向量組的極大無關(guān)組、秩以及向量空間的基與維數(shù)等一系列概念的基礎(chǔ)。理解這一抽象的概念應(yīng)該從多角度思考。首先應(yīng)該正確理解定義及其性質(zhì)：教材中給出了兩個等價的定義，第一個定義給出了線性相關(guān)性與線性表出之間的關(guān)系，它表明，向量組向量組,。2,，Um線性相關(guān)是指存在不全為零

11、的實數(shù)k1,k2,，km使%,二2，,m線性相關(guān)相當(dāng)于向量儀1,a2,口m之間存在某種線性關(guān)系；第二個定義指出kR+k2a2fm%=°,這一定義在證明（或研究）向量組的線性相關(guān)性時比較常用，必須注意這里的“不全為零”不是“全不為零”；對于一些有關(guān)的性質(zhì)和結(jié)論，不要完全死記硬背，要知其然并知其所以然?？山Y(jié)合齊次線性方程組理解：n維向量組口一口？，支m線性相（無）關(guān)，相當(dāng)于齊次線性方程組XR1+X2C（2+XmSm=。有（沒有）非零解。還可從矩陣或行列式的角度理解：矩陣貫穿于線性代數(shù)課程的始終，線性代數(shù)中的多數(shù)概念都能在矩陣中體現(xiàn)，線性相關(guān)性也不例外。n維向量組0（1,°（2,

12、-1,«m線性相口1A'="（無）關(guān)的充要條件是矩陣A=（a1,a2,",«m）（或矩陣Fnj的秩為m.特別地,如果m=n,則A為方陣，色，"2,，然線性相（無）關(guān)的充要條件是行列式1A|=0（|A|#0）.第五，從維數(shù)的角度理解：若m>n,則n維向量組口1,1a2,，汽m一定線性相關(guān)。5 .關(guān)于向量組的等價和向量組的極大無關(guān)組：理解向量組的等價概念時應(yīng)注意：兩等價的向量組不一定有相同個數(shù)的向量，也不一定有相同的線性相關(guān)性，但等價的向量組的極大無關(guān)組有相同個數(shù)的向量，特別地，兩等價的線性無關(guān)的向量組一定含有相同個數(shù)的向量。按照定義

13、如果小0、的部分組P1,P2,，h是口1,口2，口r的極大無關(guān)組必須滿足P1,£,，以線性無關(guān)和豆1,汽2，4可由P1,P2,，以線性表出兩個條件，缺一不可。理解這兩個概念還應(yīng)注意下面的一些結(jié)論：一般情況下，若a1,a2,，ar存在極大無關(guān)組，則極大無關(guān)組不一定唯一；向量組與它的極大無關(guān)組間以及兩個極大無關(guān)組間一定等價；線性無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組唯一，且就是該向量組本身。利用向量組的等價還可判定某些向量組的線性相關(guān)性：若兩個含有相同數(shù)量向量的向量組等價，并已知其中一個是線性相（無）關(guān)的，則可推知另一個向量組也線性相（無）關(guān)。6 .關(guān)于向量組的秩：向量組的秩的概念與極大無關(guān)組、向量組

14、的等價、矩陣的秩（行秩、列秩）等概念是密切相關(guān)的，不能割裂地理解。正是因為“向量組的兩個極大無關(guān)組一定含有相同數(shù)量的向量”這一結(jié)論，才產(chǎn)生了向量組的秩這一概念；矩陣A的所有行（列）向量組成的向量組的秩與矩陣的秩相等，常利用矩陣的秩求向量組的秩。單一零向量構(gòu)成的向量組沒有極大無關(guān)組且秩為零。7 .關(guān)于實數(shù)域上的線性空間：V是一個集合，R為實數(shù)域，定義了V中的加法，和實數(shù)與V中元素之間的純量乘法，若V對這兩種運算封閉，且滿足給出的8條運算規(guī)律，則稱V是實數(shù)域上的線性空間。8 .關(guān)于子空間：如果線性空間V的子集WxV上原有的加法和純量乘法封閉，則W是V的子空間。子空間也是線性空間。9 .關(guān)于基、維數(shù)

15、：應(yīng)該知道線性空間的維數(shù)可以是有限的，也可以是無限的?；怯邢蘧S線性空間的極大無關(guān)組，線性空間V的基未必唯一，V中的每個向量都可由基唯一地線性表出；基的概念也可看成空間解析幾何中基本單位向量i，j，k的推廣，R3中任一向量a都可唯一地表示成i,j,k的線性組合，若a=axi+ayj+azk,則（ax，ay，az）為ot的坐標(biāo)。在R3中基也不唯一，基中的向量未必像i，j，k那樣兩兩正交，R3中任一含有3個向量的線性無關(guān)的向量組都是基。10 .關(guān)于過渡矩陣：基氏，。2，口n到基Pl,%,，Pn的過渡矩陣T,滿足矩陣等式（H，葭，）=（%02，Qn）T,注意，應(yīng)是從左“過渡至右，且T是右乘矩陣（%,

16、儀2,，儀n）.由基向量組的線性無關(guān)性知（儀1，儀2,，口n）可逆，故T=（：1；2：-n,1）1（"2,）11 .關(guān)于坐標(biāo)：實數(shù)域上的n維線性空間V中，向量的坐標(biāo)可看成Rn中的向量，V中的每個向量在給定的基下的坐標(biāo)是唯一的，在不同的基下可能有不同的坐標(biāo)，于是在給定基的情況下，通過坐標(biāo)建立了V與Rn間同構(gòu)的關(guān)系，這也是在本章開始時，先研究Rn中的向量的一個理由，Rn中的向量的一些概念和性質(zhì)可對應(yīng)推廣到一般的線性空間中去。借助坐標(biāo)，以及Rn中的向量與矩陣的關(guān)系，可把對一般的線性空間中的向量及其性質(zhì)（如向量組的線性相關(guān)性）的研究轉(zhuǎn)化為對矩陣的研究。還應(yīng)該注意向量和向量的坐標(biāo)的區(qū)別，同一向

17、量在不同基下的坐標(biāo)可能不同。12.關(guān)于線性變換：在給定基的情況下，可用矩陣表示線性變換。線性變換T在基豆1,豆2,，”下的矩陣A的列向量L為T（%）在基豆1,1a2,，豆n下的坐標(biāo)，求A時不要把行和列寫顛倒。線性變換在不同的基下的矩陣可能不同。第三章線性方程組釋疑解惑1、用線性方程組的初等變換把線性方程組變成與它同解的方程組。注：這一結(jié)論是消元法的基礎(chǔ)。2、解線性方程組常有下面兩種方法：克萊姆法則.用克萊姆法則求解方程組Ax=b有兩個前提，一是方程的個數(shù)要等于未知量的個數(shù)，二是系數(shù)矩陣的行列式要不等于零。用克萊姆法則求解方程組實際上相當(dāng)于用逆矩陣的方法求解線性方程組，即x=A'b,它建

18、立線性方程組的解與其系數(shù)和常數(shù)間的關(guān)系，但由于求解時要計算n+1個n階行列式，其工作量常常很大，所以克萊姆法則常用于理論證明，很少用于具體求解。矩陣消元法.將線性方程組Ax=b的增廣矩陣A通過行的初等變換化為行簡化階梯形矩陣B,則以B為增廣矩陣的線性方程組與原方程組同解。當(dāng)方程組有解時，將其中單位列向量對應(yīng)的未知量取為非自由未知量，其余的未知量取為自由未知量，即可找出線性方程組的解。3、齊次線性方程組的解向量集合構(gòu)成的向量空間稱為解空間，解空間的基稱為基礎(chǔ)解系。4、當(dāng)R（A）n（未知量的個數(shù)）時，Ax=。存在基礎(chǔ)解系，基礎(chǔ)解系不是唯一的，但基礎(chǔ)解系中所含解向量的個數(shù)是唯一的（=n-R（A）；A

19、x=。的任何n-R（A）個線性無關(guān)的解向量組成的向量組都是基礎(chǔ)解系；同一齊次線性方程組的不同基礎(chǔ)解系等價。5、當(dāng)非齊次線性方程組有解時，解唯一的充要條件是對應(yīng)的齊次線性方程組只有零解；解無窮多的充要條件是對應(yīng)齊次線性方程組有非零解。但反之當(dāng)非齊次線性方程組的導(dǎo)出組僅有零解和有非零解時，不一定原方程組有唯一解或無窮解，事實上，此時方程組不一定有R（A）=R（A）,即不一定有解。6、齊次與非齊次線性方程組的有關(guān)結(jié)果設(shè)A=（aij）m沏，R（A）=r（0）,X=（%,X2，Xn）',b=（b-b2,，bn）'"。，又設(shè)A=（%,%外）,其中四0=1,2,，n）是a的第i個列

20、向量，A=（A，b）為增廣矩陣。齊次線性方程組AX=。非齊次線性方程組Ax=b解有恒后解（至少后零解）的解1、充要條件：（）'）；b情況可由吃,，n線性表出；C（1,C（2,，CCn與儀1,口2,，"n,b等價2、R（A）=m；3、當(dāng)m=n時，A,°無不存在解、HA,_R（A）R（A）允要條件：、''b不能由%,氣，4線性表出。解唯的一充要條件：R（A）n；、HiR(A戶R(A)=n允要條件：''''當(dāng)個解數(shù)門1,門2,En線性無關(guān)；m=n時，lA產(chǎn)0；向量組A¥0(m=n時）。注：此處缶，32，CCn線住無

21、關(guān)，且品標(biāo)僅倡零解Mi口2,，C（n，b線性相關(guān)。無窮充要條件：R(A)”4加/小RfA'=RfA<n小允要條件：''1廣；多解11口2，口n，線性相關(guān)；A=0(m=n)時，且R(A尸R(Z；A=0,(m=n）時。注：此處常向量組0n線性相關(guān)，且才爾有非零解R（O（1，0（2,，£n）=R（四，"2,，0（n，b）解的性質(zhì)解的線性組合仍為解，即解關(guān)于線性運算封閉，從而構(gòu)成向量空間，解集對加法，數(shù)乘不封閉，但Ax=b的隹數(shù)為n-r數(shù),即基礎(chǔ)解系的向量任意兩解之差為Ax=o的解Ax=b的任一解與Ax=o的任一解之和仍是Ax=b的解解的結(jié)構(gòu)設(shè)/E-1-2,，-n是Ax=0的基設(shè)聲產(chǎn)一產(chǎn)n-1，-2，-n是Ax=0的基礎(chǔ)解系，礎(chǔ)解系，則Ax=o的通解為為Ax=b的特解，則Ax=b的通解為x=ki-i+k2匕十十kn/n上x十ki。十k2匕十一(kl，k2，為任:tW）(L，心，kn為任意常數(shù)）第四章二次型釋疑解惑：1 .關(guān)于二次型的概念：二次型實際上是n元二次齊次多項式。由于應(yīng)用上