行列式計(jì)算方法歸納總結(jié)

1、數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院中期報(bào)告學(xué)院;專業(yè);年級(jí);_題目;學(xué)生姓名;學(xué)號(hào)指導(dǎo)教師姓名職稱;年月日1引言12行列式性質(zhì)23行列式計(jì)算方法63.1 定義法63.2 遞推法93.3 化三角法93.4 拆元法113.5 .4加邊法123.6 數(shù)學(xué)歸結(jié)法133.7 降價(jià)法153.8 利用普拉斯定理163.9 利用范德蒙行列式參考文獻(xiàn)錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。8行列式的概念及應(yīng)用摘要：本文先列舉行列式計(jì)算相關(guān)性質(zhì)，然后歸納總結(jié)出行列式的方法，包括：定義法，化三角法，遞推法，拆元法，加邊法，數(shù)學(xué)歸結(jié)法，降價(jià)法，利用拉普拉斯定理，利用范德蒙行列式。關(guān)鍵詞：行列式；線性方程組；范德蒙行列式Theconceptandapplic

2、ationofdeterminantSummaryThisarticlelistscalculatedpropertiesofdeterminants,andthensumupthedeterminantmethod,including:Definition,triangulation,recursivemethod,removemethod,borderedby,mathematicalresolutionmethod,cutmethod,usingLaplacetheorem,usingthevandermondedeterminant.Keywords:determinant;Linea

3、requations;Vandermondedeterminant1引言行列式的概念最初是伴隨著方程組的求解而發(fā)展起來(lái)的。行列式的提出可以追溯到十七世紀(jì)，最初的雛形由日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和與德國(guó)數(shù)學(xué)家戈特弗里德萊布尼茨各自獨(dú)立得出，時(shí)間大致相同。日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出來(lái)的，他在1683年寫(xiě)了一部名為解伏題之法的著作，意思是“解行列式問(wèn)題的方法”，書(shū)中對(duì)行列式的概念和它的展開(kāi)已經(jīng)有了清楚的敘述。歐洲第一個(gè)提出行列式概念的是德國(guó)數(shù)學(xué)家，微積分學(xué)奠基人之一萊布尼茨。十八世紀(jì)開(kāi)始，行列式開(kāi)始作為獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念被研究。十九世紀(jì)以后，行列式理論進(jìn)一步得到發(fā)展和完善。矩陣概念的引入使得更多有關(guān)行列式的性質(zhì)被發(fā)現(xiàn)，行

4、列式在許多領(lǐng)域都逐漸顯現(xiàn)出重要的意義和作用，出現(xiàn)了線性自同態(tài)和向量組的行列式的定義。1行列式的性質(zhì)8 性質(zhì)1把行列式各行變?yōu)橄鄳?yīng)的列，所得行列式與原行列式相等。a11a12anana21an1即：a21*a229a2na=a12*a229an2an1an2annana2nann其實(shí)，元素aij在(1)的右端位于第j行第i歹U,即此時(shí)i是列指標(biāo)，j為行指標(biāo)。在行列式中，行與列的地位是對(duì)稱的，所以有關(guān)行的性質(zhì)，對(duì)列也成立。8 性質(zhì)2如果行列式中一行為零，那么行列式為零。a11a2a1na鼻鼻因?yàn)閗ai1砥2kain=kanAika2A2+*kanAn=Qn1an2anna11a2a1nmm*k(a

5、i1Ai1+ai2A21'inAin)=k2,12,2Binan1an2ann即當(dāng)k=0時(shí)，就有行列式為零。1.3性質(zhì)3如果行列式的某一行（或一列的元都是二項(xiàng)式，那么這個(gè)行列式等于把這些二項(xiàng)式各取一項(xiàng)作成相應(yīng)行（或列）而其余行（或列定變的兩個(gè)行列式的和ana12aina鼻鼻bl+Clb2+C2bn+Cna鼻鼻anian2ann=biCiAilb2c2Ai2bnCnAin:blAlb2A2bnAnCiAiC2A2CnAinaiiai2ainaaabib2bnmmaanianiannaiiai2ainaaaCiC2Cnmmaanian2ann性質(zhì)4如果行列式中有兩行相同，那么行列式為零，所

6、謂兩行相同就是說(shuō)兩行的對(duì)應(yīng)元素都相等。證明：設(shè)行列式aiiai2ain-m，-aiiai2-akiak2-ain='_ijijijkj,，Jijakn-naijiaijakjkanjanian2ann中第i行與第k行相同，即aj二awj“z為了證明（2）為零，只須證明（2）的右端所出現(xiàn)的項(xiàng)全能兩兩相消就行了。事實(shí)上，與項(xiàng)jijijkjn一1a1jiaijiakjkanjn同時(shí)出現(xiàn)的還有jjjjMJiJiJkJnj.八a)akakjianj”。比較這兩項(xiàng)，由（3）有aiji-akji'aijk-akjk也就是說(shuō)，這兩項(xiàng)有相同的數(shù)值。但是排列jijijkjn與jijkjijnn級(jí)排

7、列可以按上述相差一個(gè)對(duì)換，因而有相反的奇偶性，所以這兩項(xiàng)的符號(hào)相反。易知，全部形式兩兩配對(duì)。因之，在（2）的右端，對(duì)于每一項(xiàng)都有一數(shù)值相同但符號(hào)相反的項(xiàng)與之成對(duì)出現(xiàn),從而行列式為零。性質(zhì)5如果行列式中兩行成比例，那么行列式為零證明anai2aiiai2aakaiik2anian22,第二步根據(jù)性質(zhì)4.ainaainaainann這里第一步根據(jù)性質(zhì)性質(zhì)6把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變aiiaai2a1naaiiaai2aa1ncakicak2caknaiiai2ain9-99+akiaak2aaknaakiaak2aakn*anian2annanian2annaiia12aaaiipa”ai

8、2cak2aaa”a><2aaanian2ain.aiiaa；2An十Cakn.=aiiaaakn.akiaak2annanian2ainainaknann這里，第一步根據(jù)性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)6即得3,第二步根據(jù)性質(zhì)5.i.7證明性質(zhì)對(duì)換行列式中兩行的位置，行列式反號(hào)。.RBahaiia12ainaaiia12ainaaaaiiai2ainaiaki292ain+aknaa鼻=aakiak2aknakiak2aknaa鼻aanian2annanian2annaiiai2ainaaaaii*ai2ainia_+*=aaakiai2ak2aaaaaki*ak2akniaaii-ai2ainmm

9、m一a”_ai2_aanian2annanian2anninaii/anaaaakiak2aknaaa=_a-ai2ainaaaanian2ann這里，第一步是把第k行加到第i行，第二步是把第i行的(-1)倍加到第k行，第三步是把第k行加到第i行，最后再把第k行的公因子(-1齪出。2.行列式的計(jì)算方法定義法在引進(jìn)行列式的定義之前,為了更加容易的理解行列式的定義，首先介紹排列和逆序的概念.n級(jí)排列：由1,2.3,n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n級(jí)排列(2)在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即：前面的數(shù)大于后面的數(shù)那么它們就稱為一個(gè)逆序，一個(gè)排列中逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)(3)

10、逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列.在做好這些工作之后，來(lái)引入行列式的定義：ana12a13a1na21a22a23a2n定義:n階行列式a31*a32*a33*a3naan1an2an3ann等于所后取自小同行小同列的n個(gè)兀素的乘積<I>a1La?j2a3hanjn的代數(shù)和，這里jjjj為1,2,3,n的一個(gè)排列，每一項(xiàng)H,237n都按下列規(guī)則帶有符號(hào)，當(dāng)j1，j2,j3,jn是偶排列時(shí)，口帶有正號(hào)，當(dāng)j1,j2,j3,jn是奇排列時(shí),n帶有負(fù)號(hào).a11a12a13a14a15a21a22a23a24a25例2.1證明D=a31a32000=0.a41a4

11、2000a51a52000分析觀察行列式我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有許多零，故直接用定義法證明由行列式的定義知除去符號(hào)差別外行列式一般項(xiàng)可表示為a1jia2j/-aj則(jlj2j5)Dn=£(-1)4送2上2a*.(3)j1j2-j5其中11；/5為1,2,3,4,5的任意排列，在D中位于后三行后三列的元素為零，而在前兩行前兩列中，取不同行不同列的元素只有四個(gè)，就是說(shuō)(3)式中每一項(xiàng)至少有一個(gè)來(lái)自后三行后三列故D=0.注意此方法適用于階數(shù)較低的行列式或行列式中零的個(gè)數(shù)較多2.2遞推法無(wú)論是初等數(shù)學(xué)，還是高等數(shù)學(xué)，遞推公式都有著非常廣泛的運(yùn)用。適用遞推法計(jì)算行列式的行列式有以下規(guī)律：按照行列式的某一

12、行(列)展開(kāi)，會(huì)產(chǎn)生階數(shù)比原行列式低但卻與原行列式有著相同類型的新的行列式，運(yùn)用遞推法逐層降階，最終將計(jì)算出原行列式的值。運(yùn)用遞推法求解行列式，一般會(huì)用到兩個(gè)公式。n1i若Dn=PDn時(shí)則Dn=PD1n-1n-1右Dn=ADnJAzDn時(shí)，則Dn=At1A2t2(其中A1,4為待定系數(shù))i的計(jì)算過(guò)程顯然易見(jiàn)，而ii中卻出現(xiàn)了兩個(gè)未知數(shù)，t1,t2,這兩個(gè)未知數(shù)可以通過(guò)2-xA1xA2=0的兩根來(lái)確定。例2.2求行列式的值:a+尸1a,a+§00001a+fi.oIlIIIIlA000£2+£(4)斗的構(gòu)造是：主對(duì)角線元全為1+E；主對(duì)角線上方第一條次對(duì)角線的元全為

13、口,下方第條次對(duì)角線的元全為1,其余元全為0;即為三對(duì)角線型。又右下角的（n）表示行列式為n階。另一項(xiàng)是（值+灼-4展開(kāi)，有兩項(xiàng)，一項(xiàng)是0a+邱01d+A矽001a+P0*IlII!lBiftA000a+產(chǎn)解把類似于耳，但為k階的三對(duì)角線型行列式記為瓦。把（4）的行列式按第57上面的行列式再按第一行展開(kāi)，得磔乘一個(gè)n-2階行列式，這個(gè)n-2階行列式和原行列式的構(gòu)造相同，于是有遞推關(guān)系:4二（2+仍。21-哂M移項(xiàng)，提取公因子3：4-=AA-i-喇-2）類似地：At一二產(chǎn)（4廠更如）旦-必口=£（0廠也J1）a-"H一1二6（烏T-也。）二二野"（2-嗎）（遞推計(jì)算

14、）直接計(jì)算£)j=a+fl£t+1初一=夕（值+口一*a（a+同=r口二°，便不二£*；否則，除以q"后移項(xiàng):再一次用遞推計(jì)算:p-a當(dāng)3=%從當(dāng)舁a(6)=1+1+1(«+1項(xiàng))=犀+1從而a=®+i）儀。a由（6）式，若伊1=0且戶Ha則&=J=疔當(dāng)月二a注遞推式（5）通常稱為常系數(shù)齊次二階線性差分方程注1仿照例1的討論，三對(duì)角線型的n階行列式2aa20012a0E*=012a-0f0p電電2aa00a2aa00a2a0:1illrliill'll0002a有相同的遞推關(guān)系式和三對(duì)角線型行列式的起始值片和

15、及，質(zhì)和瑪相同，遞推關(guān)系式（8）和（9）的構(gòu)造也相同，故必有%=，上=12/由（7）式，耳的每一行都能提出一個(gè)因子a,故匕等于儀”乘一個(gè)n階行列式，這一個(gè)行列式D£）w-L1就是例1的心。前面算出,故用嗝二（得+1）小化三角形法運(yùn)用行列式的性質(zhì)是計(jì)算行列式的一個(gè)重要途徑，大多數(shù)行列式的計(jì)算都依賴于行列式的性質(zhì)將行列式化成上三角（下三角或反三角）的形式，再根據(jù)行列式的定義來(lái)計(jì)算行列式.行列式的性質(zhì)告訴了我們?cè)撊绾吻笮辛惺?，而一切的行列式都可以根?jù)以上性質(zhì)來(lái)進(jìn)行初等行變換（列變換）,變成階梯形（上三角）的行列式，再根據(jù)定義計(jì)算即可.其計(jì)算步驟可歸納如下：（i）看行列式的行和（列和），如果

16、行列和相等，則均加到某一列（行）【直觀上加到第一列（行）】.（ii）有公因子的提出公因子.（iii）進(jìn)行初等行變換（列變換）化成上三角（下三角或反三角）的行列式.（iv）由行列式的定義進(jìn)行計(jì)算.由以上四步，計(jì)算一般行列式都簡(jiǎn)潔多了.123n-1n234n1例2.3計(jì)算行列式Dn=34512n12n-2n-1，位于同一行的元素分析直接用化三角形法化簡(jiǎn)很煩，觀察發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意相鄰兩列中的元素中，后面元素與前面元素相差1,因此先從第n-1列乘-1加到第n列，第n-2列乘-1加到第n-1歹U,這樣做下去直到第1列乘-1加到第2歹U,然后再計(jì)算就顯得容易123234解Dn=345999n12n-1n111

17、11n121111一n12=3111一n1-aa-9-一-n2n-1n1-n111111111+2+n00001000-n100011200-n0=200-n0a-an-a-一a-a-n-1-n000n-1-n00001n(n-1)n2000-n00-n000-n0001n(n力n2(n(nN)(-1)(n1)n(n4)n12n(-1)2問(wèn)題推廣在仞2.3中1,2，n,這n個(gè)數(shù)我們可以看成有限個(gè)等差數(shù)列在循環(huán)，那么對(duì)于一般的等差數(shù)列也應(yīng)該適應(yīng)計(jì)算行列式a1a1da12da1(n-1)da1nda1da12da13da1nda1a12da13da14da1a1d如果將例ai(n-1)da1a1d

18、a12da1(n-1)da1d2d(n-1)da1=(a1ai(1-n)d(1-n)dd(1-n)d一nd0d+十+nd(n-1)d2d(n-1)d-nd-nd-ndd(n-1)d)(-nd)n4(-1)nn1n(a1al(n-1)d)2.3中的數(shù)&=1,-nd(n)(nW)2(n4)(n2)(-nd)n4(-1)2,1d=1代入=_(n-ndn(a1a1(n-1)d2(n)(n-)(nd)n(1)2結(jié)論顯然成立.拆元法把n行（或列）的數(shù)拆成兩數(shù)之和，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫(xiě)成易于計(jì)算的2n個(gè)行列式的和，從而求出其值。=/（工+白）超一1+（左一x(x+a)Q+*”(升獷+(7-

19、/)/x(xa)(I-n)A=+(/-0=小.”十心-=】口+定（厘）”（x+a）-（x-a）2.加邊法計(jì)算行列式往往采用降階的辦法，但在一些特殊的行列式的計(jì)算上卻要采用加邊法。行列式的加邊法是為了將行列式降階作準(zhǔn)備的。更有利于將行列式化成上三角的形式，其加邊的元素，也可根據(jù)計(jì)算的難易程度來(lái)確定。具有隨意性。利用行列式按行（列）展開(kāi)的性質(zhì)把n階行列式通過(guò)加行（列）變成與之相等的n+1階行列式,然后計(jì)算.添加行列式的四種方法:設(shè)Dn=a11a21aa12a22-ana2n.(1)首行首列Dn=aiia21an1al1a12a22san2a12an1Oaan21a1n0a2n-:=0mann00a

20、1na11anna1a21an10aa2anai2即a22a2n*man2ann)0112a13a1(2)首行末列Dn=a21an1a11a21a225an2a12a22-a2n=a21-annan1a1a1na2a2na22a23a2mmaan2an3Hna11a2a1na21a22a2n(3)末行首次JDn=an1a11san2隊(duì)-=a3iann1a11a1na21a31a32a3naai000a12"3a1a22a23a2(4)末行末列Dn=a21an1a225an2-a2n=a31aann0a32a33a3aam001例2.5計(jì)算行列式彳+4冬冬文，人工+與%0="

21、于。)VVVVV用電%才+冬分析：這個(gè)行列式的特點(diǎn)是除對(duì)角線外，各列元素分別相同.根據(jù)這一特點(diǎn)，可采用加邊法解111c71+牝+,+&MMW-L/、1+KX+X(a+%)X數(shù)學(xué)歸結(jié)法,通常用不完全歸納法尋找行數(shù)學(xué)歸納法有兩種一種是不完全歸納法，另一種是完全歸納法列式的猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的正確性.基本方法先計(jì)算n=1,2,3時(shí)行列式的值.觀察DiRR的值猜想出Dn的值.用數(shù)學(xué)歸納法證明.例2.6計(jì)算行列式x+y砂000初002二0工+1y0*0000-工十yxy000-1工+r解：0i=工+y口=/+/,+初工+/猜測(cè)：證明+戶+/+J*(1)n5=1,2,3時(shí)，x+y仍1X+

22、J01-0000命題成立。假設(shè)nWk-1時(shí),。0xy00x+j00!«>0x+yxy01x+y190001+y00=任+加卜1一寸AA««*00x+y孫00-1兀+=C；+了）口口了口4，考察n=k的情形:+工修7+產(chǎn)+/y+x產(chǎn)+yiDk=。+）%-，y%=。+用（產(chǎn)+尸y+x產(chǎn)+產(chǎn)f（齊+產(chǎn)y+產(chǎn)3+產(chǎn)）=xkxy-+xy1+yk故命題對(duì)一切自然數(shù)n成立。降階法n階行列式等于它的任意一行（歹U）各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和.即nnD=£aijAj（i=1,2,，n）或D=£a°Aj（j=1,2,，n）.j1i1行列式按

23、一行（列）展開(kāi)將高階轉(zhuǎn)化為若干低階行列式計(jì)算方法稱為降階法.這是一種計(jì)算行列式的常用方法.13013014例2.7計(jì)算D=.1121-9-9注意對(duì)于一般的n階行列式若直接用降階法計(jì)算量會(huì)大大加重.因此必須先利用行列式的性質(zhì)將行列式的某一行（列）化為只含有一個(gè)非零元素，然后再按此行（列）展開(kāi)，如此進(jìn)行下去直到二階.利用拉普拉斯定理在利用行列式的一行（列）展開(kāi)式時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)計(jì)算行列式可以按某一行（歹U）展開(kāi)，進(jìn)行計(jì)算行列式.試想，我們可以根據(jù)行列式的某一個(gè)K級(jí)字式展開(kāi)嗎？拉普拉斯經(jīng)過(guò)對(duì)行列式的研究.終于發(fā)現(xiàn)此種方法可行，并給出了嚴(yán)密的證明，為了使行列式的計(jì)算更為簡(jiǎn)潔，現(xiàn)引入拉普拉斯定理.拉普拉

24、斯定理：設(shè)在行列式D中任意取定了k（1<k<n-1件行，由這k行元素所組成的一切K級(jí)字式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D.拉普拉斯定理的四種特殊情形:3)Ann0CmnBmm0AnnBCmmJmn=AnnBmm=(-武AnnB0mm2)An0CB,nmmmC7nmBmmAnn0=Ain'Bmm=(-1猥”Bmm例2.8計(jì)算n階行列式Dn二b一：b一：aPPaa利用拉普拉斯定理009,pl(n_2)x(n_2)111X1X2X3222X1X2X3n-1n4n-1X1X2X3n-1n-1(an+1)(an+2)(a-n+1)n4(a-n+2)n4例2.9計(jì)算n階行列式Dn=：an+1a-n+2(a-1(a-1尸a-11n-1anlaaa1-(i=2,n_1)baa-PppDn0P-aot00/小十一A-m-m0000支-paaaaXb(n-1)aa+(n-2)PaPapaBC2+Ci00a-P00