通信原理教案嚴(yán)紅麗滁州學(xué)院電子與電氣工程學(xué)院隨機(jī)過程

1、?通信原理?教案嚴(yán)紅麗滁州學(xué)院電子與電氣工程學(xué)院第3章隨機(jī)過程本章重點(diǎn)1、平穩(wěn)隨機(jī)過程；2、高斯隨機(jī)過程；3、窄帶隨機(jī)過程和高斯噪聲、正弦波加窄帶高斯噪聲。本章難點(diǎn)1、高斯隨機(jī)過程；2、窄帶隨機(jī)過程和高斯噪聲、正弦波加窄帶高斯噪聲。教學(xué)方法本章是全書的根底，采用多媒體和板書相結(jié)合的手段，詳細(xì)的講解隨機(jī)過程 的根本概念，隨機(jī)過程的數(shù)字特征均值、方差、相關(guān)函數(shù)和功率譜密度，高 斯過程、隨機(jī)過程、窄帶隨機(jī)過程，以及正弦波加窄帶高斯過程、高斯白噪聲及 其通過理想低通信道和理想帶通信道濾波器。公式以及所代表的含義要講解透 徹，課堂習(xí)題講解與課后作業(yè)相結(jié)合，力求學(xué)生掌握根本概念、根本方法。本章 主要采用課

2、堂講授的教學(xué)方法，共用 4課時(shí)。授課內(nèi)容3.1隨機(jī)過程的根本概念通信過程是有用信號(hào)通過通信系統(tǒng)的過程，且在通信系統(tǒng)各點(diǎn)常伴隨有噪聲的參加及此參加噪聲在系統(tǒng)中傳輸。由此看來(lái)，分析與研究通信系統(tǒng)，總離不開對(duì)信號(hào)和噪聲的分析。通信系統(tǒng)中遇到的信號(hào)， 通常總帶有某種隨機(jī)性， 即它們的某個(gè)或幾個(gè)參數(shù)不能預(yù)知或不能 完全預(yù)知。一、隨機(jī)過程的概念及定義通信過程中的隨機(jī)信號(hào)和噪聲均可歸納為依賴于時(shí)間參數(shù)t的隨機(jī)過程。從一實(shí)例講起，設(shè)有 n部性能完全相同的通信機(jī)，工作條件相同。n部通信機(jī)，n臺(tái)記錄儀同時(shí)記錄通信機(jī)輸出熱噪聲電壓波形，一次記錄的一個(gè)波形，就是一個(gè)實(shí)現(xiàn)抽樣函數(shù)。無(wú)數(shù)個(gè)記錄構(gòu)成的 總體 集合就是隨機(jī)過

3、程。上述這一類隨機(jī)過程(隨機(jī)信號(hào))有如下特征： 信號(hào)變化不可預(yù)測(cè)；如氣溫信號(hào)，知道今中午的溫度，但不能確切知道明天中午的 溫度。 事物的變化過程不能用一個(gè)(或幾個(gè))時(shí)間t確實(shí)定函數(shù)來(lái)加以描述。如通信機(jī)的輸出熱噪聲電壓，在相同條件下每次測(cè)量都將產(chǎn)生不同的熱噪電壓時(shí)間函數(shù)，要用一簇函數(shù)來(lái)描述。n部通信機(jī)輸出的熱噪電壓波形見下列圖：ViIsqm 1II總體：概率tlt 20值附近概率值大，離0V值遠(yuǎn)，概率平滑減少高斯分布 v噪聲值t1此噪聲電壓值岀現(xiàn)的概率在上圖中， 迤八(t2廠是隨機(jī)變量，亂t ) 在任一時(shí)刻的值是不確定的。在縱向：t1 = V = V1 N2, V是隨機(jī)變量，Vi ,；2是樣本。

4、在橫向：時(shí)間序列： t , t = 1,2, ?，僅是一個(gè)實(shí)現(xiàn)(樣本函數(shù))隨機(jī)過程兩個(gè)屬性(1) t是一個(gè)時(shí)間函數(shù)。(2) 給定任一時(shí)刻t1 ,t1是不含t變化的隨機(jī)變量。、分布函數(shù)及概率密度一維分布函數(shù)：隨機(jī)變量t1 小于或等于某一數(shù)值 X的概率f( x, tj= p( mx那么稱F (x,t1)為 t的一維概率密度。一維概率密度:如果存在:F x, t1-xf x, t1那么稱f x,t1 為 t的一維概率密度。熱噪聲電壓的一維分布函數(shù)曲線如下：顯然隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)和概率密度僅僅描述了隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻的統(tǒng)計(jì) 特性，沒有反映隨機(jī)過程在各個(gè)時(shí)刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系，還需在足夠多的時(shí)刻

5、上考慮隨機(jī)過程的多維分布函數(shù)。多維分布函數(shù)：Fn Xi, X2,Xn ； ti,t2 ,=p匕x1, t2 豈 x2， tn 豈 Xn 1多維概率密度函數(shù)：r a xv x2 xn汕 Fn Xi, X2 , Xn ；ti, t2 / tn顯然，n越大，對(duì)隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的描述越充分。三、隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)特征上述隨機(jī)過程的概率分布函數(shù)和密度函數(shù)能完整的描述其統(tǒng)計(jì)特性，然而在一般情況, 多采用數(shù)學(xué)特征來(lái)描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性。t的數(shù)學(xué)期望均值E t 丨= xf x,t dx= a t-Ot所有樣本函數(shù)在時(shí)刻 t的函數(shù)值的平均，也稱集平均，以區(qū)別時(shí)間平均的概念。n階矩定義：E，n t丄x2方差定義二

6、t :偏離均值的程度D lh(t 9= Eqt )E 底(t 護(hù) -E 2 t 一2 t E t 丨 E t f 二 E2 t L2Et t Et 2 二 Et 2 一 tJ.x2 f x,t dx 一 a t衡量隨機(jī)過程任意兩個(gè)時(shí)刻上獲得的隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)相關(guān)特性時(shí)，定義: 協(xié)方差函數(shù)：QO CO 二Xi _a tiBti,t2 二 El ti -atjl t2 -at2 flx2 - a t2 1 f2 x,x2;虬t2 dx1dx2自相關(guān)函數(shù)：二維概率密度Rti,t2)=Elqti 覽花)】二 _ ： _：XlX2f2 Xi, X2； ti ,t2 dXidX2顯然有：B ti,t2 二

7、Rti,t2 - E ti I E t2 1互相關(guān)函數(shù)：Rti,t2 二 E tit2 1二;xy f x, ti; y, t2 dxdy- 兩個(gè)隨機(jī)過程二維概率密度小結(jié)：隨機(jī)過程的根本概念定義：假設(shè)干“實(shí)現(xiàn)(樣本函數(shù))構(gòu)成的總體是隨機(jī)過程。從縱向上來(lái)看，如果我們?cè)?ti時(shí)刻對(duì)n條樣本函數(shù)同時(shí)取樣，得隨機(jī)變量(ti):(ti )= i (t), 2 (t ), 3 (t)n (t)或者說，全體樣本在t時(shí)刻的取值就構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)變量。從橫向上來(lái)看(沿時(shí)間軸上觀察)，時(shí)間序列： i (t), 2 (t )廠 n (t )是一個(gè)實(shí) 現(xiàn)(樣本函數(shù))，全體實(shí)現(xiàn)才構(gòu)成隨機(jī)過程。隨過程機(jī)看上去波形千變?nèi)f化，各

8、不相同，似乎很難定量描述樣本函數(shù)及隨機(jī)變量，應(yīng)該用統(tǒng)計(jì)的方法加以描述。在靜態(tài)上：對(duì)于隨機(jī)變量(ti )，我們考察概率密度、分布函數(shù)等。在動(dòng)態(tài)上：對(duì)于樣本函數(shù)i (t)，我們考察其數(shù)字特征，有：均值 隨機(jī)過程圍繞什么均值起伏變化？方差對(duì)均值的偏離程度？自相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程在不同時(shí)刻的取值它們之間的關(guān)聯(lián)程度。下面圖示兩個(gè)隨機(jī)過程 (t)、 (t):過程 (t) 是慢變化，過程(t)是快變化，它們大致有相同的 均值、方差，但是在不同時(shí)刻的取值， 對(duì)于 (t) 來(lái)說，相關(guān)性強(qiáng)；對(duì)于(t) 來(lái)說，相關(guān)性強(qiáng)弱。3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程、平穩(wěn)隨機(jī)過程一種特殊類型的隨機(jī)過程 平穩(wěn)隨機(jī)過程，對(duì)任意n和，滿足(n維概率密

9、度函數(shù))：Tn Xi , X2 ,二 fn Xi ,對(duì)于一維的情況來(lái)說,Xn； ti ,t2 , tnXn ；t ,t2廠 tn -一維概率密度函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)。即f X二維概率密度函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，即f X1X2,平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性：(1)均值(數(shù)學(xué)期望)E t 丄 xf x dx = a-(如果巴(t)為電壓電流信號(hào)，方差那么a表示直流分量)D t I - E t -：匕2(如果E (t )為電壓電流信號(hào)，那么二 LJx-a) f(xdx22自相關(guān)函數(shù)二表示交流分量的平均功率。)平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔-有關(guān)：R t1t= R當(dāng) t為電壓電流信號(hào)時(shí)，那么-=0時(shí)的自相關(guān)二

10、 t1t1 - 1函數(shù)RO表示總平均功率。x1x2 f x1, x2; dx1dx2在通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲，大多數(shù)均可視為平穩(wěn)隨機(jī)過程，因此研究平穩(wěn)過程有很大實(shí)際意義。二、各態(tài)歷經(jīng)過程大量的實(shí)際觀測(cè)和理論分析說明，許多平穩(wěn)隨機(jī)過程具有所謂“各態(tài)歷經(jīng)性。許多平穩(wěn)過程的數(shù)學(xué)特征(均值、方差、自相關(guān)函數(shù))，完全可由過程中的任一實(shí)現(xiàn)(任 一樣本函數(shù))的數(shù)學(xué)特征來(lái)決定。假設(shè)一隨機(jī)過程是各態(tài)歷經(jīng)過程，那么必滿足:x a1f x dx = limT2 x t dt = aT- : T: 2J (x-a) f (x )dx = Tim -1 T) = lim T? k(t X(t 十 )dt = R(

11、i)、TyT 一 2各態(tài)歷經(jīng)過程的任一實(shí)現(xiàn)都好象經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)似的。 任一實(shí)現(xiàn)都能代表整個(gè)隨機(jī)過程。T匚訃-肌各態(tài)歷經(jīng)過程必須首先是平穩(wěn)過程，但平穩(wěn)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)過程。 各態(tài)歷經(jīng)過程的平均值，時(shí)間平均和對(duì)應(yīng)的集合平均相等。3.3平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度一、相關(guān)函數(shù)在平穩(wěn)過程中，均值、方差、自相關(guān)、互相關(guān)函數(shù)這四個(gè)數(shù)學(xué)特征中，自相關(guān)函數(shù)是最 重要的一個(gè)。R 二 E t t 丨 一XX2 f XX2, dXdx2根本性質(zhì)：R 0 i； = E2 t丄S , s(t)的平均功率，電壓t信號(hào)在T電阻上所消耗的平均功率。盡管平穩(wěn)隨機(jī)過程的總能量是無(wú)窮的，但平均功率為有限值。 R

12、仁)=R(-C平穩(wěn)過程只與時(shí)間間隔有關(guān)，卜間隔。值小于R 0 。說明：1 - E： 2 tEti ：t . F _0： 2 t _2 t t 亠亠：2 t . 1-0 E ： 2 t L 2E t t .R 0 -2R廣 R0 _0R 0 _ R R ：二 E2t 1lim R = lim EI t t 二 Et 11 t . 1=a a注：一 - , t , t統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，平穩(wěn)過程的均值與時(shí)間無(wú)關(guān)，為常數(shù)。 R 0 - R ； 2DEl t -a2：?二 E2 t -2a t a2九 E 2 d-2a d a2二 R 0 ?-2a a a2二 R0 -a2 二 R0 - R、頻譜特性先看確定性

13、信號(hào)：設(shè)確定性功率信號(hào) f t，有功率譜密度 Ps，自相關(guān)函數(shù) R t ， f t的平均功率為:1 OQ平均功率押m=fT2t dti=limodilim二:t：: TqQPs- id- 式中，ft是ft的截短函數(shù)fT t的頻譜，確定性信號(hào)f t的功率譜密度:Ps=Tli m F；RPs平穩(wěn)隨機(jī)過程有否上述關(guān)系？2隨機(jī)過程的能量往往不是有限值，也就是說不滿足t d :，因此隨機(jī)過程不存在信號(hào)能量頻譜。然而如果是平穩(wěn)隨機(jī)過程，那么其平均功率可能是有限值。我們定義，平穩(wěn)隨機(jī)過程t的平均功率:平均功率先對(duì)21求時(shí)間平均功率 仍是一個(gè)隨機(jī)量， 然而再作統(tǒng)計(jì)平均對(duì)于功率型的平穩(wěn)隨機(jī)過程而言，它的每一實(shí)現(xiàn)

14、也將是功率信號(hào)，因而可以借用上述確定性信號(hào)的功率譜公式來(lái)表示每一“實(shí)現(xiàn)的功率譜。但是，隨機(jī)過程的每一實(shí)現(xiàn)不可預(yù)測(cè)，因此，僅僅用某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度不能作為 過程的功率譜密度。隨機(jī)過程的功率譜應(yīng)看作是每一實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均。仿照確定性信號(hào)的分析推導(dǎo)過程見徐佩霞書P42，設(shè)過程t的截短函數(shù)T t 截短的隨機(jī)過程，截短函數(shù) T t的傅立葉變換：t；I(t)ejtdtT / 2=-T / 2T t r td平穩(wěn)隨機(jī)過程t的平均功率，有:1 CO 2=E* lim f J(t) dt T tT 辺 Jim E，T42.T d1t T1 :Py- i d T. t TT2 T t e jtdt T2

15、T t e-j dt-/2- 2川疋更(tF(t$ e規(guī)dtdtiT1T令：t - t ，eRt)2、那么得:1 0R eT 一AR e= .；(T x)R . e t d1 T-0 仃 _ )R e-1 d 二.；(I、)Rej d.Tj T dt d .2_-T TjT2_ dt d./2注：平穩(wěn)過程只與時(shí)間間隔.有關(guān)，II; 自相關(guān)函數(shù)：re= EqtYt +艸|IRt*-t 二 E t t t-1Ei tt 1i= Rt-1 !R =R_于是，p種吧：=limT：El -21TL(1-)R(eT%it的功率譜密度為P :過程的平均功率 S 等于各個(gè)頻率分量統(tǒng)計(jì)值單獨(dú)奉獻(xiàn)出的功率之連續(xù)和

16、。是在頻率域上描述隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的最主要數(shù)字特征。下面考察頻譜PJl與自相關(guān)函數(shù)R t之間的關(guān)系。注釋：偶函數(shù)：F國(guó)F-國(guó)=|F 1=E.TTT2- 2=2存 I2 R(t t )e dtdt_ 2 _ 2=R 計(jì)d故得，二Pej dPW R j dR 2兀平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù) R .與功率頻譜 Ps心之間也有確定的傅立葉變換關(guān)系：記作：P J.十R .3.4高斯隨機(jī)過程是一種普遍存在又十分重要的隨機(jī)過程。通信信道中的噪高斯過程又稱正態(tài)隨機(jī)過程, 聲，通常是一種高斯過程。先看一維分布的情況。高斯過程在給定任一時(shí)刻上，那么是一高斯隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為:(X - a )21a 均值2-

17、方差吊量exp以e為底的指數(shù)函數(shù)那么稱服從高斯分布也稱正態(tài)分布的隨機(jī)變量。由高斯概率密度函數(shù)和圖可知，有以下特征：f x對(duì)稱于x = a這條直線，在a處為最大，等于12二廠0 :Jf(X dx =1，且.f (xdx= 0 f (x)dxa 分布函數(shù)，二一集中程度 ，見圖示。右 a = 0, ；丁 -1,1 _f xexp-v2nx212 一高斯正態(tài)分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分。根據(jù)定義，顯然可表示為z-aflexp dz 二：-2存標(biāo)準(zhǔn)高斯密度函數(shù)稱，x 概率積分函數(shù)對(duì)于不同的a、二的 f x 曲線見下列圖:不同的a、匚的概率密度函數(shù)曲3.5窄帶隨機(jī)過程、定義及表達(dá)式窄帶隨機(jī)過程是指其頻帶寬

18、度:f遠(yuǎn)小于中心頻率 fc的隨機(jī)過程。窄帶過程表達(dá)式t 二 a t coS ct 丨丨 a t - 0a t 隨機(jī)包絡(luò):t 隨機(jī)相位均是隨機(jī)過程上式利用三角函數(shù)和角公式，可寫成t 二 a t cos t cos ct - sin t sin ct二 a t cos t cos ct - a t sin t sin ct=c t cos ct - s t sin ctc t t的同相分量s t t的正交分量相對(duì)于載波osct的變化緩慢的多如果 t的概率密度函數(shù)為高斯分布，那么稱窄帶高斯過程。物理上，是高斯噪聲通過以 c為中心的窄帶系統(tǒng)。、窄帶高斯過程的統(tǒng)計(jì)特性t的統(tǒng)計(jì)特性可由a t，- t或c

19、t， s t確定。結(jié)論1、2一個(gè)均值為零、方差為 a 2的窄帶高斯過程(t )，假定它是平穩(wěn)的，那么它的 c(t )、S t也平穩(wěn)，而且均值均為零，方差也相同。2t平穩(wěn)窄帶 a = 0，方差,s t , c t 平穩(wěn)且有：t 丄 Ec t 丄 Es t 丄02 2 2R 0 = R 0 = 0c ssc結(jié)論2、一個(gè)均值為零，方差為 -2的窄帶平穩(wěn)高斯過程t , 其包絡(luò)a t的一維分布為瑞統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。隨機(jī)包絡(luò)的概率密度函數(shù)服從瑞利函數(shù)分布- a2T f a=exp y 空2空隨機(jī)相位的概率密度函數(shù)服從均勻函數(shù)分布,aOf 二丄，0 22：at與 t是-I利分布，相位 t的一維分布是均勻分布。并且

20、就一維分布而言,既然有窄帶隨機(jī)過程，必然也存在寬帶隨機(jī)過程。一個(gè)理想的寬帶過程例子 白噪聲、白噪聲通信系統(tǒng)中常用到白噪聲，所謂白噪聲是指它的平均功率譜密度函數(shù)在整個(gè)頻率域：內(nèi)是常數(shù)，服從均勻分布。其功率譜：卩心=匹w，Hz稱作白噪聲是因?yàn)樗愃朴诠鈱W(xué)中包括全部可見光頻率在內(nèi)的白光。 有色光一一只包括可見光的局部頻率有色噪聲一一只包括局部頻率1313實(shí)際中，熱噪聲頻率范圍0 10 Hz,功率譜密度在Hz內(nèi)根本均勻分布近似為白噪聲。9Hz= G2J.Pejd：1 ejdJ=n-12白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)圖:0白噪聲的功率譜圖于0R白噪聲的自相關(guān)函數(shù)四、帶限白噪聲任何通信系統(tǒng)帶寬總是有限的，當(dāng)理

21、想白噪聲經(jīng)實(shí)際系統(tǒng)時(shí)，其頻帶必然受到系統(tǒng)帶 寬限制。我們把在一定頻帶內(nèi)功率譜密度為常數(shù), 帶限白噪聲。而在此頻帶之外功率譜密度為零的噪聲稱作P 帶限白噪聲：其功率譜密度：nf fT h 三ThP )= 2P “I. ej d = 1-: 2 -0其它上sigH T二 fH no H T帶限白噪聲在二k 2 fH處，R k 2 f H = 0，自相關(guān)函數(shù)=o，那么在這些時(shí)刻點(diǎn)上的抽樣值都是互不相關(guān)的隨機(jī)變量。3.6正弦波加窄帶高斯過程信號(hào)經(jīng)過信道傳輸總會(huì)受到加性噪聲的影響。本節(jié)討論正弦信號(hào)與窄帶高斯噪聲之根本特性。設(shè)正弦信號(hào)f t = A cos ct =窄帶高斯噪聲 n t 二 nc t co

22、s ct ns t sin ct正弦波加窄帶高斯過程：r t 二 f t nt=A cos，ct J he t cos，ct 一 ns t sin ct 】-A cos nc t 】cos ct - A sin ns t 】sin ct=Zc t cos ct 一 Zs t sin ct=Z t cosset 亠t 1式中:2 2Z t = Zc t Zs tz 一 0t arctan0 - 2Zc(t)可以證明：正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)的概率密度函數(shù)為：21 a2-PLpX e-XJrz(z-IWJO2A該函數(shù)也稱Rice (萊斯)密度函數(shù)。式中10 x為零階修正貝塞爾函數(shù)。x隨機(jī)包絡(luò)的概

23、率密度和相位概率密度f(wàn) :見下列圖:相位概率密度 f -:不再像窄帶高斯噪聲那樣是均勻分布。3.7隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)所謂線性系統(tǒng)，是用迭加原理表征的，這意味著:J律)鼓勵(lì)函數(shù)Jf2(t)鼓勵(lì)、r1 (t )響應(yīng)函數(shù)r2 (t響應(yīng)那么：r1 tr2 t， f1 t f2 t: t a t ：fi t 七 t線性系統(tǒng)的時(shí)域法 ：同前，線性系統(tǒng)的響應(yīng)V0 t等于輸入V. t 與沖激響應(yīng)h t的卷積：V0 t 二：v.h t - d t h t - h t V. t(卷積滿足交換律對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)V0 t = 0 h V. t - d線性系統(tǒng)的頻域法：V。二 HV.隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確定信號(hào)通過線性系統(tǒng)的分析根底之上 的。是對(duì)確定信號(hào)分析的推廣。設(shè)線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h t，輸入隨機(jī)過程為.t，那么輸出為 0 t。0 t 二ht . t=_