《維分布與獨(dú)立性》PPT課件

1、 本次課講授：第二章的本次課講授：第二章的2.52.7； 下次課講第二章的下次課講第二章的2.8-2.9。 下次上課時(shí)交作業(yè)下次上課時(shí)交作業(yè)P23P26 重點(diǎn)：二維隨機(jī)變量分布和邊緣密度重點(diǎn)：二維隨機(jī)變量分布和邊緣密度 難點(diǎn)：二維隨機(jī)變量分布的邊緣密度。難點(diǎn)：二維隨機(jī)變量分布的邊緣密度。第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布已知變量在中間。連續(xù)首先定平面，離散對(duì)應(yīng)和計(jì)算；變量函數(shù)求分布，回顧：2.二維離散隨機(jī)變量（二維離散隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率定義：）的聯(lián)合概率定義：隨隨機(jī)機(jī)變變量量維維離離散散上上的的一一個(gè)個(gè)）是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量，則則稱(chēng)稱(chēng)（個(gè)個(gè)

2、離離散散型型，上上的的是是定定義義在在樣樣本本空空間間設(shè)設(shè)nXXXnXXXnn,2121量量稱(chēng)稱(chēng)為為二二維維離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變），上上，（定定義義在在），上上，則則（定定義義在在、二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量：YXYXYXYXYXYXxy,/ ),( 一、二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合概率分布一、二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合概率分布1.N維離散隨機(jī)變量定義：維離散隨機(jī)變量定義：第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布分布的聯(lián)合概率，又稱(chēng)聯(lián)合、為（則稱(chēng)所有可能值為，它的是二維離散型隨機(jī)變量、二維聯(lián)合分布：設(shè)（),(),(:., 2 , 1,),()YXpyxPy

3、YxXPjiyxYXijjijijiijjijipyYxXPyYxXP ）（）(),(。即：量所有取值的積的概率且：聯(lián)合概率為對(duì)應(yīng)變3.二維離散隨機(jī)變量聯(lián)合概率的性質(zhì)：二維離散隨機(jī)變量聯(lián)合概率的性質(zhì)：, 2 , 1,01jipij，）非負(fù)性：（12ijijp）規(guī)范性：（)()(),()(. 411jYiijjiXjijiyPpyYPxPpxXP邊緣概率的單變量概率函數(shù)稱(chēng)為邊緣概率：二維狀態(tài)下第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布)()(),()(11jYiijjiXjijiyPpyYPxPpxXP )()(),()()( )()()()(1211jjin

4、iiijjiYiiyYxXPyYxXyYxXyYxXPyYxXPxXPxXP 1111),()()()()()(jijjjijjijjiipyYxXPyYxXPyYxXPxXP和。即：，和的概率等于概率的由于離散點(diǎn)互斥，所以窮求和。概率對(duì)另一個(gè)變量的無(wú)概括：邊緣概率是聯(lián)合第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布., 2 , 1|, 0,),(的的條條件件分分布布律律條條件件下下隨隨機(jī)機(jī)變變量量為為在在，）（）（則則稱(chēng)稱(chēng)若若對(duì)對(duì)于于固固定定的的是是二二維維離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)向向量量設(shè)設(shè)XyYiyYPyYxXPyYPyYxXPyYxXPyYPjYXjjiij

5、iijij 5.二維離散型隨機(jī)變量的條件分布（律）二維離散型隨機(jī)變量的條件分布（律）., 2 , 1,|, 0,的的條條件件分分布布（律律）條條件件下下為為在在則則稱(chēng)稱(chēng)若若對(duì)對(duì)于于固固定定的的同同樣樣YxXjxXPyYxXPxXyYPxXPiiijiiji 第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布則有聯(lián)合概率函數(shù)：則有聯(lián)合概率函數(shù)： CCCCjijijYiXP4104253, 設(shè)設(shè) X 及及Y 分別是取出的分別是取出的4件產(chǎn)品中一等品及二等品的件數(shù)，件產(chǎn)品中一等品及二等品的件數(shù)，解解: 10件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有3件一等品，件一等品， 5件二等品，件二等品，

6、2件三等品。從件三等品。從例例6-1-1：中任取中任取4件，求其中一等品、二等品件數(shù)的二維概率分布。件，求其中一等品、二等品件數(shù)的二維概率分布。2 i+j 4. 其中其中i= 0、1、2、3； j= 0、1、2、3、4；由此得由此得(X,Y)的二維聯(lián)合概率分布如下：的二維聯(lián)合概率分布如下：)()()()(,4jYiXPjYiXjYiXYXYX 的的概概率率）即即義義，題題目目要要求求的的是是（件件，而而由由聯(lián)聯(lián)合合概概率率的的定定的的件件數(shù)數(shù)，則則三三等等品品為為分分別別為為一一等等品品和和二二等等品品、分分析析：第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布2

7、 i+j 4. 其中其中i= 0、1、2、3； j= 0、1、2、3、4；由此得由此得(X,Y)的二維聯(lián)合概率分布如下：的二維聯(lián)合概率分布如下：00030200100043210XY210102102021052101521060210302103210302103021022105第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布例例6-1-2(2001)服從參數(shù)為服從參數(shù)為設(shè)某班車(chē)起點(diǎn)站上車(chē)乘客人數(shù)設(shè)某班車(chē)起點(diǎn)站上車(chē)乘客人數(shù) X 的泊松分布，的泊松分布，每位乘客在中途下車(chē)的概率為每位乘客在中途下車(chē)的概率為 p ( 0 p .()(1)mmn-mnP Y = m

8、X = nCp- p解解:(1)0 1 2 m =, , ,n.)/()()()(),(2)/(1nXmYPnXPmYnXPmYnXPmnnXmYPYX 法公式法公式）由聯(lián)合概率定義和乘）由聯(lián)合概率定義和乘次的概率；（次的概率；（試驗(yàn)中中途下車(chē)恰發(fā)生試驗(yàn)中中途下車(chē)恰發(fā)生次次即即）求）求是中途下車(chē)人數(shù)，（是中途下車(chē)人數(shù)，（是上車(chē)人數(shù)，是上車(chē)人數(shù)，分析：分析：第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布) = P(=)(=) (=) ()(1)!n-mmn-mnP(X = n,Y = mXnYm= P Xn P Y = m X = neCp- pn.(1)!()!

9、n-mn-me p- pm n - m0 1 2 m =, , ,n.0 1 2 n =, , ,.,()!n-P X = nen0 1 2 n =, , ,.(2)因因 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布,(0) 第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布例題例題6-1-3(04,6-1-3(04,數(shù)學(xué)一，兩問(wèn)數(shù)學(xué)一，兩問(wèn)9 9分）分）的概率分布。的概率分布。求二維隨機(jī)變量求二維隨機(jī)變量不發(fā)生不發(fā)生，發(fā)生發(fā)生，不發(fā)生不發(fā)生，發(fā)生發(fā)生令令為隨機(jī)事件，且為隨機(jī)事件，且、設(shè)設(shè)),(,0, 10, 1,21)/(,31)/(,41)(YXBBYAAXB

10、APABPAPBA 和條件概率公式應(yīng)用和條件概率公式應(yīng)用聯(lián)合概率等于積的概率聯(lián)合概率等于積的概率各個(gè)點(diǎn)的概率，注意：各個(gè)點(diǎn)的概率，注意：量所有點(diǎn)，然后再求量所有點(diǎn)，然后再求率分布定義，先列出變率分布定義，先列出變分析：根據(jù)離散變量概分析：根據(jù)離散變量概121)/()()()1, 1()1 , 1();1 , 1(),1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(),( ABPAPABPYXPPYX相相應(yīng)應(yīng)概概率率為為：的的所所有有取取值值解解：由由已已知知，易易得得6112141)()()()0, 1()0 , 1( ABPAPBAPYXPP第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量

11、的概率分布與邊緣概率分布)()()()1, 0()1 , 0(ABPBPBAPYXPP 12112161)1 , 0(:6121121)/()()(),/()()( PBAPABPBPBAPBPABP，代入，代入列表如下：列表如下：.32121611211)0, 0()0 , 0( YXPPXY10121321216110第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布例例6-1-4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X在在1，2，3，4四個(gè)整數(shù)中等可能地取四個(gè)整數(shù)中等可能地取值，另一個(gè)隨機(jī)變量值，另一個(gè)隨機(jī)變量Y在在1X中等可能地取一整數(shù)值，試求中等可能地取一整數(shù)值，試求（X

12、，Y）的分布律）的分布律. 解解 由乘法公式容易求得（由乘法公式容易求得（X，Y）的分布律，易知）的分布律，易知X=i，Y=j的取值情況是：的取值情況是：i=1，2，3，4，j取不大于取不大于i的正整數(shù)，且的正整數(shù)，且于是（于是（X，Y）的）的分布律如下表分布律如下表XY 1 2 3 412341/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 1/16 0 0 0 1/16)(),(),()()(,jYBiXAABPjYiXPjYiXP .4 , 3 , 2 , 1,141)/()()(,ijiiABPAPABPjYiXP ，第六講第六講 二維變量的概率分布

13、與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)與密度函數(shù)二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)與密度函數(shù)（一）聯(lián)合分布函數(shù)：（一）聯(lián)合分布函數(shù)：),(),(,yYxXPyxFYX ）的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布為為：顯顯然然，二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量（2.二維聯(lián)合分布的幾何解釋二維聯(lián)合分布的幾何解釋的幾何解釋?zhuān)旱膸缀谓忉專(zhuān)?,()(yxF1)(),(yYxXPyYxXP 實(shí)際上實(shí)際上即可以用兩個(gè)事件的交分析聯(lián)合分布即可以用兩個(gè)事件的交分析聯(lián)合分布積積求求聯(lián)聯(lián)合合分分布布，因因此此：況況，且且用用單單變變量量區(qū)區(qū)間間之之函函數(shù)數(shù)表表示示其其概概率率分分布布情情分分布布函

14、函數(shù)數(shù)和和密密度度上上連連續(xù)續(xù)隨隨機(jī)機(jī)變變量量也也使使用用和和一一維維一一樣樣，二二維維及及以以合合分分布布簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱(chēng)稱(chēng)聯(lián)聯(lián)合合分分布布函函數(shù)數(shù)或或聯(lián)聯(lián)的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布概概率率函函數(shù)數(shù)，維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量為為稱(chēng)稱(chēng)),()()()(),(),(:212211221121nnnnnnXXXnxXxXxXPxXxXxXPxxxF 第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布陰陰影影中中的的概概率率落落在在圖圖表表示示點(diǎn)點(diǎn)的的取取值值，就就是是表表示示平平面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)，那那么么若若1),(),(),(),(),(),(YXyYxXPyxFYXyxYX XY0),

15、(yx1-5圖圖),(11yx),(21yx),(12yx),(22yx2-5圖圖的幾何解釋?zhuān)旱膸缀谓忉專(zhuān)?,()(21212yYyxXxP .),(,),(,),(,),(),(SSyxFSSyxFSSyxFSSyxFyxF41142124321432122 的幾何意義知：的幾何意義知：由由第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布0),(),(),(),(11122122 yxFyxFyxFyxF SSyYyxXxP12121 ,性質(zhì)：性質(zhì)：（1）F( (x, ,y) )是變量是變量 x (或或 y) 的單調(diào)非減函數(shù)，的單調(diào)非減函數(shù)，3.二維聯(lián)合分布的性

16、質(zhì)二維聯(lián)合分布的性質(zhì));,(),(,2121yxFyxFxx 則則若若).,(),(,2121yxFyxFyy 則則若若同樣對(duì)任意固定的同樣對(duì)任意固定的x,即對(duì)任意固定的即對(duì)任意固定的y,由二維聯(lián)合分布的幾何解釋?zhuān)覀內(nèi)菀椎氐贸鱿铝薪Y(jié)論：由二維聯(lián)合分布的幾何解釋?zhuān)覀內(nèi)菀椎氐贸鱿铝薪Y(jié)論：且且：,),(10 yxF . 1),( F,0),(lim),( yxFxFy,0),( yF,0),( F1),(02 F，只只有有的的分分布布即即為為時(shí)時(shí)，有有）非非負(fù)負(fù)規(guī)規(guī)范范：極極限限狀狀態(tài)態(tài)（第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布 ),(lim),(),(),

17、()(yxFxFxFYxXPYxXPxXPxFyYX 其其中中： 4.二維分布下的邊緣分布二維分布下的邊緣分布。顯顯然然：分分布布，記記作作：的的邊邊際際分分布布，又又稱(chēng)稱(chēng)邊邊緣緣的的分分布布稱(chēng)稱(chēng)為為分分量量的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布，則則每每一一個(gè)個(gè)是是）設(shè)設(shè)（)(),(),(,),(),(yFxFyxFyxYXyxFYX1 ),(lim),(),(yxFyFyYXPyFxY 同同理理：來(lái)來(lái)確確定定其其分分段段取取值值要要根根據(jù)據(jù)此此時(shí)時(shí)上上，則則定定義義在在特特殊殊地地，若若PyxFGYXPGYXPGYX),(, 0),(, 1),(),( 窮窮極極限限。分分布布對(duì)對(duì)另另一一個(gè)個(gè)變變量量的的無(wú)無(wú)

18、顯顯然然，邊邊緣緣分分布布是是聯(lián)聯(lián)合合第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布5.離散變量（離散變量（X,Y）的分布函數(shù)）的分布函數(shù) xxyyijxxyyjiijijpyYxXPyYxXPyYxXPyxF),()()(),(),(根據(jù)分布函數(shù)定義：根據(jù)分布函數(shù)定義：則則為二維離散隨機(jī)變量，為二維離散隨機(jī)變量，到二維離散變量。設(shè)到二維離散變量。設(shè)這一點(diǎn)，同樣可以推廣這一點(diǎn)，同樣可以推廣，變量，還包括離散變量變量，還包括離散變量的定義對(duì)象不只是連續(xù)的定義對(duì)象不只是連續(xù)數(shù)數(shù)，我們就知道，分布函，我們就知道，分布函在學(xué)習(xí)一維隨機(jī)變量時(shí)在學(xué)習(xí)一維隨機(jī)變量時(shí)),()(

19、YXxF第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布（二）二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)（二）二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)yxyyYyxxXxPDDYXPyxfYXDDD ),(lim),(lim),(),(00的的聯(lián)聯(lián)合合概概率率密密度度，即即的的區(qū)區(qū)域域概概率率的的極極限限為為單單位位面面積積聯(lián)合密度定義：聯(lián)合密度定義：. 1(1): 由分布導(dǎo)數(shù)求密度：根據(jù)二階混合導(dǎo)數(shù)定義：由分布導(dǎo)數(shù)求密度：根據(jù)二階混合導(dǎo)數(shù)定義：2.密度與分布函數(shù)和區(qū)域概率的關(guān)系密度與分布函數(shù)和區(qū)域概率的關(guān)系yxyxFyxyxFyyxFyxxFyyxxFyxyyYyxxXxPyxfyxyx

20、 ),(),(),(),(),(lim),(lim),(20000. yxD 視為矩形視為矩形很小時(shí)，可很小時(shí)，可第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布),(),(yxFyxfxy 所以：所以：由密度二重積分求分布由密度二重積分求分布)2( xyxyxyxyxyxydudvvufyxFFFyxFdudvvuFdudvvufvuFvufyxFyxf),(),(, 0),(),(),(),(),(),(),(),(),(重積分原函數(shù)概念：重積分原函數(shù)概念：兩邊求無(wú)窮積分：由二兩邊求無(wú)窮積分：由二dxdyyxfDYXPDD),(),()3( 上上的的概概率率：

21、由由聯(lián)聯(lián)合合密密度度求求區(qū)區(qū)域域無(wú)無(wú)限限求求和和：小小區(qū)區(qū)域域兩兩邊邊乘乘以以區(qū)區(qū)域域面面積積并并對(duì)對(duì)將將由由聯(lián)聯(lián)合合密密度度概概念念：iiiDDDDDDYXPyxf 1),(lim),(第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布dxdyyxfDYXPDYXPDDDYXPDyxfDDiDDDDijiiiii),(),(),(lim),(lim),(0 義義：面面積積乘乘高高、無(wú)無(wú)窮窮求求和和定定根根據(jù)據(jù)重重積積分分的的分分割割、底底4.用聯(lián)合密度求邊緣密度用聯(lián)合密度求邊緣密度 的的邊邊緣緣密密度度又又稱(chēng)稱(chēng)為為的的分分布布密密度度，分分別別為為單單變變量量，則

22、則：聯(lián)聯(lián)合合分分布布邊邊緣緣密密度度定定義義：若若已已知知),(,),()(),()(),()(yxFyxyFyyFyfxFxxFxfyxFYYXX 1第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布duugdudyyufdudyyufxFxFxxxX )(),(),(),()(布布密密度度）用用聯(lián)聯(lián)合合密密度度求求邊邊緣緣分分（2.),()()()()()(),()( dyyxfxggxgugduugxFxfxxxx又又 dyyufug),()(其中：其中：的的無(wú)無(wú)窮窮積積分分。是是聯(lián)聯(lián)合合密密度度對(duì)對(duì)另另一一變變量量即即邊邊緣緣密密度度yxfdyyxfxxFx

23、fXX)(,),(),()( ,),(),()( dxyxfyyFyfY同同理理：第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布)(),()(yfyxfyxfYYX 4.二維聯(lián)合密度的性質(zhì)二維聯(lián)合密度的性質(zhì)(1)：非負(fù)性非負(fù)性 yxyxf,0),(由定義，顯然由定義，顯然(2)：積分：積分規(guī)范性規(guī)范性 1),(dxdyyxf dxdyyxfF),(),(1由由分分布布和和密密度度的的關(guān)關(guān)系系：, 1),(),(1),(),( GdxdyyxfGYXPGYXPGYX：系系由由區(qū)區(qū)域域概概率率和和密密度度的的關(guān)關(guān)上上，即即定定義義在在區(qū)區(qū)域域經(jīng)經(jīng)常常地地，)()()

24、,(),()(yxfxXyYyfyxfyyxfyfYXYY記記作作發(fā)發(fā)生生的的條條件件概概率率密密度度，條條件件下下的的發(fā)發(fā)生生為為的的邊邊緣緣密密度度則則稱(chēng)稱(chēng)的的關(guān)關(guān)于于為為設(shè)設(shè) 5.條件概率密度條件概率密度第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布類(lèi)似地在相應(yīng)條件下可得在類(lèi)似地在相應(yīng)條件下可得在X=x條件下條件下Y的條件概率密度為的條件概率密度為 )(),()(xfyxfxyfXXY )(),()(),()(yfduyufduyfyufyxFxxXyYYxxYYX 的的積積分分，即即：數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)條條件件分分布布為為條條件件密密度度函函發(fā)發(fā)生生的的條條件件下

25、下關(guān)關(guān)系系，根根據(jù)據(jù)密密度度與與分分布布的的積積分分)(),()(),()(xfdvvxfdvxfvxfxyFXyyXXY 為為：以以及及條條件件概概率率分分布布函函數(shù)數(shù)度度定定義義的的。而而條條件件分分布布是是用用條條件件密密條條件件概概率率的的定定義義一一樣樣，應(yīng)應(yīng)事事件件的的與與連連續(xù)續(xù)的的條條件件密密度度與與對(duì)對(duì)提提示示：離離散散的的條條件件概概率率第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布設(shè)設(shè)(X,Y)在區(qū)域在區(qū)域G上服從均勻分布上服從均勻分布,D為為G內(nèi)的一區(qū)域內(nèi)的一區(qū)域,即即D G,且且D的面積為的面積為S(D),那么那么SDSdxdySdxd

26、yyxfDYXPDD)(1),(),( 設(shè)設(shè)G是平面上的有界區(qū)域是平面上的有界區(qū)域,其面積為其面積為S,若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量(X.,Y)的概率密度為的概率密度為其它0),(1),(GyxSyxf則稱(chēng)則稱(chēng)(X,Y)在區(qū)域在區(qū)域G上服從均勻分布上服從均勻分布.6.二維均勻分布二維均勻分布第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布圖示直角三角形內(nèi)得解：由, 1, 10:, 10yxxGyx圖中陰影部分。內(nèi)的得即：再由xyxxDGXYYX1,210:, 1, 1OYX121xy xy 1 1),()1(yxdxdyyxfYXP.41)21(662102101

27、 dxxxxdydxxxDGGyxf中中確確定定再再在在區(qū)區(qū)域域的的先先確確定定度度關(guān)關(guān)系系求求概概率率，為為此此，分分析析：由由區(qū)區(qū)域域概概率率與與密密,),(例題例題6-2-16-2-1（0303數(shù)學(xué)一，數(shù)學(xué)一，4 4分）分）)1(, 010,6),( YXPyxxyxf求求其其它它密密度度為為設(shè)設(shè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的概概率率第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布例6-2-2（95，四）的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布函函數(shù)數(shù)求求其其它它的的聯(lián)聯(lián)合合密密度度為為已已知知),(,),(),(YXyxxyyxfYX 0101040),(0, 0),(), 0

28、(),(, 0),(0 yxFyGYXPyYxXPyxFyxfx時(shí)時(shí)，同同理理，時(shí)時(shí)，）（1 GxydxdyyxfdudvvufyxF),(),(),(解：解：10 , 10: yxGG110 x0 y110 yx10, 1 yx1, 1 yx且且第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布201001024),(),(1, 10)3(xvdvvdvudududvvufyxFyxxoxx 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)，101)4( yx21021020000002)21( 444),(),(yduuyduvuvdvuduuvdudvdudvvufyxFoyyyy 11

29、12202020000002)21( 444),(),(10 , 102yxduuyduvuvdvuduuvdudvdudvvufyxFyxxxoyxyxyxy 時(shí)，時(shí)，）（第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布 11, 110, 1,1, 10,10, 10,00, 0),(2222yxyxyyxxyxyxyxyxF且且或或布布函函數(shù)數(shù)為為：綜綜合合以以上上情情況況，得得到到分分124),(),(11511010010 ovdvvdvudududvvufyxFyx1時(shí)，時(shí)，且且）（第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概

30、率分布221,4,( , )40,.xyf x y其他解解 （1） 圓域圓域x2+y24的面積的面積A=4，故（，故（X，Y）的概率密度為）的概率密度為 （2） G為不等式為不等式0 x1，0y1所確定的區(qū)域，所以所確定的區(qū)域，所以110001,01( , )d d11dd.44GPXYf x yx yxy例例6-2-3 設(shè)（設(shè)（X，Y）在圓域）在圓域x2+y24上服從均勻分布，求上服從均勻分布，求（1） （X，Y）的概率密度；）的概率密度；（2） P0X1，0Y1.第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布 dyyxfdxxdFxfXX),()()(解：解

31、：和和其其它它兩兩部部分分分分為為時(shí)時(shí)，的的上上下下限限：求求變變量量由由xyyxyG2010 為為零零時(shí)時(shí)，或或范范圍圍時(shí)時(shí)，即即且且超超出出)(102),()(20 xfxxGxdydyyxfxfXxX )()(, 020 , 10, 1)(yfxfxyxyxfYX和和求求邊邊緣緣分分布布其其他他，已已知知： 例6-2-4（05，數(shù)一）xy2 120的積分限的積分限的分段區(qū)間考慮的分段區(qū)間考慮求邊緣密度要根據(jù)求邊緣密度要根據(jù)yx第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布 其他其他：,)(0102xxxfX dxyxfdyydFxfYY),()()(同理：

32、同理：和和其其它它兩兩部部分分分分為為時(shí)時(shí)，的的上上下下限限：求求變變量量由由12120 xxyxG為為零零時(shí)時(shí)，或或范范圍圍時(shí)時(shí)，即即且且超超出出)(),()(yfyyGydxdxyxfyfYyY20211121 其他其他：,)(02021yyyfY第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布概括：二維事件積來(lái)算，這個(gè)邊緣那必然；二維事件積來(lái)算，這個(gè)邊緣那必然；分布函數(shù)四等式，單調(diào)非負(fù)還規(guī)范；分布函數(shù)四等式，單調(diào)非負(fù)還規(guī)范；二階偏導(dǎo)密度函，區(qū)域概率積分辦；二階偏導(dǎo)密度函，區(qū)域概率積分辦；樣本里面上下限，一個(gè)定來(lái)一個(gè)變；樣本里面上下限，一個(gè)定來(lái)一個(gè)變；定定義義

33、分分布布函函數(shù)數(shù)概概率率函函數(shù)數(shù)適適合合于于個(gè)公式個(gè)公式邊緣密度邊緣密度邊緣分布邊緣分布邊緣概率邊緣概率6的兩個(gè)關(guān)系式的兩個(gè)關(guān)系式密度與分布密度與分布的公式的公式區(qū)域概率區(qū)域概率用密度求用密度求為零。面討論，樣本以外密度密度積分，都在樣本里不論什么公式，只要是等等1),(0),( FF第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布三、隨機(jī)變量的獨(dú)立性1. 1. 離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性 設(shè)設(shè) X 及及 Y 為離散隨機(jī)變量為離散隨機(jī)變量, , jiyx 及及若對(duì)于它們的任一對(duì)可能的取值若對(duì)于它們的任一對(duì)可能的取值 是是及及事事件件jiyYxX

34、獨(dú)立的獨(dú)立的, 則稱(chēng)則稱(chēng) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 及及 Y 是是 獨(dú)立的獨(dú)立的. 即：即：由獨(dú)立的乘法公式：由獨(dú)立的乘法公式：獨(dú)立，獨(dú)立，與與獨(dú)立，則事件獨(dú)立，則事件與與由定義，由定義，),()()()()()()()()(),(:jYiXjijijijiyPxPyYPxXPBPAPABPyYxXPyYxXPyYBxXAYX jYiXjiyPxPyxP , ,2, 1,2, 1njmi 率率等等于于邊邊緣緣概概率率之之積積。簡(jiǎn)簡(jiǎn)言言之之：獨(dú)獨(dú)立立即即聯(lián)聯(lián)合合概概也視為獨(dú)立定義。也視為獨(dú)立定義。即。即或或是是們知道獨(dú)立的等價(jià)定義們知道獨(dú)立的等價(jià)定義在學(xué)習(xí)條件概率時(shí)，我在學(xué)習(xí)條件概率時(shí)，我)()/(

35、)()/()()/(ijixXPyYxXPBPABPAPBAP 第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布X ixXP 013 . 07 . 0Y jyYP 024 . 01 . 01 5 . 0例例6-3-1 變量變量 X 與與 Y 獨(dú)立，獨(dú)立， (X,Y)的邊緣分布如下：的邊緣分布如下：求求(X,Y)的概率分布。的概率分布。12. 003. 015. 035. 007. 028. 0 ，即即：獨(dú)獨(dú)立立，解解：jYiXjiyPxPyxPYX ,XY021 013 . 07 . 0)(iXxP4 . 01 . 05 . 0)(jYyP第六講第六講 二維變量的

36、概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布 101, 0 YXPXPYXXP解：由已知獨(dú)立：解：由已知獨(dú)立：設(shè)二維隨機(jī)變量（設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率分布為：）的概率分布為： 已知事件已知事件X=0與與X+Y=1相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則( ) . 4 . 0, 1 . 0 ; 2 . 0, 3 . 0; 1 . 0, 4 . 0 ; 3 . 0, 2 . 0 baDbaCbaBbaA 例例6-3-2 (2005)X0140.10.abY01aYXPYXXP )1()0()1()0(aXPXPX 4000.)()(第六講第六講 二維變量的概率分布與邊緣概率分布二維變量的概率分布與邊緣概率分布 baaa 4 . 011 . 04 . 0 baBba故選故選.,.10 40 baYXPYXPYXYXPYXP ),(),(),(),()(0110011012.2.連續(xù)隨機(jī)變量的獨(dú)立性連續(xù)