向量知識(shí)點(diǎn)歸納與常見(jiàn)總結(jié)

1、向量知識(shí)點(diǎn)歸納與常見(jiàn)題型總結(jié)、向量知識(shí)點(diǎn)歸納1. 與向量概念有關(guān)的問(wèn)題向量不同于數(shù)量，數(shù)量是只有大小的量（稱標(biāo)量），而向量既有大小又有方向；數(shù)量可以比較大小，而向量不能比較大小，只有它的模才能比較大小.記號(hào)“a>b”錯(cuò)了，而|a|>|b|才有意義.有些向量與起點(diǎn)有關(guān)，有些向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān).由于一切向量有其共性（大小和方向），故我們只研究與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量（既自由向量）.當(dāng)遇到與起點(diǎn)有關(guān)向量時(shí)，可平移向量.平行向量（既共線向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量單位向量是模為1的向量，其坐標(biāo)表示為（x,y），其中x、y滿足x2+y2=1f（可用（cos0,sin0）（02兀）表示）.特

2、別：-AB表示與扁同向的單位向量。例如：向量（Um-豐0）所在直線過(guò)MBC的內(nèi)心（是匕BAC的角平分線所在|AB|AC|直線）；T例1、O是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A、8C不共線，P滿足OP=OA+以AB+ACiEw0,E）.|AB|AC則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)三角形的內(nèi)心。AC1尋,則ABC為()|AC|2D.等邊三角形（06陜西）>.>ABAC>AB（變式）已知非零向量AB與AC滿足（=+匚于）-BC=0且BA.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形0的長(zhǎng)度為0,是有方向的，并且方向是任意的，實(shí)數(shù)0僅僅是一個(gè)無(wú)方向的實(shí)數(shù).有向線段是向量的一種表示方法，并不是說(shuō)向量就是

3、有向線段（7）相反向量（長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a°）與向量運(yùn)算有關(guān)的問(wèn)題向量與向量相加，其和仍是一個(gè)向量.（三角形法則和平行四邊形法則）當(dāng)兩個(gè)向量a和b不共線時(shí)，a+b的方向與a、b都不相同，且|a+b|v|a|+|b|；當(dāng)兩個(gè)向量a和b共線且同向時(shí)，a+b、a、b的方向都相同，且|a+b|=|a|+|b|；當(dāng)向量a和b反向時(shí)，若|/>|b|,a+b與4方向相同，且|a+b|=|a|-|b|；，¥>若|a|v|b|時(shí)，a+b與b方向相同，且|a+b|=|b|-|a|.向量與向量相減，其差仍是一個(gè)向量.向量減法的實(shí)質(zhì)是加法的逆運(yùn)算三角

4、形法則適用于首尾相接的向量求和；平行四邊形法則適用于共起點(diǎn)的向量求和。ABBC=AC;AB-AC=CBTTT例2:P是三角形ABC內(nèi)任一點(diǎn)，若CB=?PA+PB,九在R，貝UP一定在（）A、AABC內(nèi)部B、AC邊所在的直線上C、AB邊上D、BC邊上2例3、若ABBC+AB=0,貝ABC是：A.RtB.銳角C.鈍角D.等腰RtA例4、已知向量a=（cose,sin）,6=（J3,1），求|2aB|的最大值。分析：通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為函數(shù)（這里是三角）的最值問(wèn)題，是通法。解：原式=|（2cos.3,2sin1）|=E（2cos，3）2（2siH1）25二=*8+8sin（6§）。當(dāng)

5、且僅當(dāng)6=2（Z）時(shí)，|2ab|有最大值4.評(píng)析：其實(shí)此類問(wèn)題運(yùn)用一個(gè)重要的向量不等式“|囪-|b|<|a±b|<|a|+|b|”就顯得簡(jiǎn)潔明快。原式<|24|+|6|=2|弓|+|6|=2><1+2=4,但要注意等號(hào)成立的條件（向量同向）。圍成一周（首尾相接）的向量（有向線段表示）的和為零向量如，AB+BC+CA=0,（在abc中）雨+BC+CD+DA=0.（口abcw）判定兩向量共線的注意事項(xiàng)：共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b（b豐0）,a/b=存在實(shí)數(shù)入使2=入b.如果兩個(gè)非零向量a,b,使3=入b（入£R）,那么a/b；反之，如a/

6、b,且b乒0,那么a=入b. 這里在“反之”中，沒(méi)有指出a是非零向量，其原因?yàn)閍=0時(shí)，與入b的方向規(guī)定為平行.數(shù)量積的8個(gè)重要性質(zhì)兩向量的夾角為0V0V兀.由于向量數(shù)量積的幾何意義是一個(gè)向量的長(zhǎng)度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可負(fù)、可以為零，故向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)設(shè)a、b都是非零向量，e是單位向量，e是a與b的夾角，則b-F-，+， ea=ae=|a|cos=（|e|=1）a_Lbuab=0（8=90,cosH=0）在實(shí)數(shù)運(yùn)算中ab=0ua=0或b=0.而在向量運(yùn)算中ab=0ua=0或b=0是錯(cuò)誤的，故a=0或b=0是ab=0的充分而不必要條件. 當(dāng)a與b同向時(shí)ab=|a|b|

7、（日=0,cose=1）;當(dāng)a與b反向時(shí)，ab=-|a|b|（日=兀，cos。=-1），即a/b的另一個(gè)充要條件是|ab|=|a|b|.當(dāng)e為銳角時(shí)，ab>0號(hào).a、b不同ab>0是8為銳角的必要非充分條件；當(dāng)B為鈍角時(shí)，a，bV0,且ab不反向，ab<0是°為鈍角的必要非充分條件；例5.如已知a=（九,2對(duì)，b=（3"2），如果a與b的夾角為銳角，貝u島的取值范圍是（答：九<或九A0且九學(xué)'）;33例6、已知i,j為相互垂直的單位向量，a=i2j,b=i+九j。且a與b的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)九的取值范圍。分析：由數(shù)量積的定義易得“a,ba60

8、”，但要注意問(wèn)題的等價(jià)性。1解：由a與b的夾角為銳角，得ab=12舄0.有兀-.2而當(dāng)a=tb(t0),即兩向量同向共線時(shí)，有=1得乳=-2.此時(shí)其夾角不為銳角。似=-2“一.一，1故提*,222,i.2'評(píng)析：特別提醒的是：a,b：是銳角與ab。不等價(jià)；同樣a,b是鈍角與ab。不等價(jià)。極易疏忽特例“共線”。.一_22-222特殊情況有aa=a=|a|?；騶a|=aa=a=.xy. 如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則|a|=.(Xi-X2)2(yi-y2)2|ab|M|a|b|。(因cos8|1)數(shù)量積不適合乘法結(jié)合律. 如(ab)c#a

9、(bc).(因?yàn)?ab)c與c共線，而a(bc)與a共線)數(shù)量積的消去律不成立.若a、b、c是非零向量且ac=bc并不能得到a=b這是因?yàn)橄蛄坎荒茏鞒龜?shù)，1即1是無(wú)意義的.c向量b在a方向上的投影IbIcose=寸(7)；和e2是平面一組基底，則該平面任一向量；=印*+2言("校唯一)特別：.OP=O+qB則=1是三點(diǎn)P、A、B共線的充要條件.注意：起點(diǎn)相同，系數(shù)和是1?；滓欢ú还簿€1IT例7、已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若一B0=a10A+a200OC,且A、B、C2三點(diǎn)共線(該直線不過(guò)點(diǎn)0)，則S2oo=()A.50B.51C.100D.101例8、平面直角坐標(biāo)系中，。為

10、坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1),B(-1,3)，若點(diǎn)C滿足%0C=0A+兀20B,其中、舄2肴R且+赤2=1,則點(diǎn)C的軌跡是(直線AB)例9、已知點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別是(3,1),(5,2),(2,2力.若存在實(shí)數(shù)舄，使0C=7,0A+(1舄)0B,則t的值是:A.0B.1C.0或1D.不確定例10下列條件中，能確定三點(diǎn)A,B,P不共線的是：AMP=sin220'MA+cos220NBB.MP=sec220°MAtan220'MBC.MP=sin220，MA+cos270詭D.MP=csc231MAcot231標(biāo)分析：本題應(yīng)知：“A,B,P共線，等價(jià)于存在兀,PwR

11、,使MP=A.MA+PMB且赤+P=1”。小工TFT-一(8)在AABC中，PG=3(PA+PB+PC)uG為AABC的重心，特別地PA十PB+PC=0up為aabc的重心；AB+1BC=AD則AD過(guò)三角形的重心；2例11、設(shè)平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0。如果向量b1、b2、b3,滿足t=2ai,且aj順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30o后與。同向，其中i=1,2,3，貝U(D)(06河南高考)a.bb2b3=03Mb0_ttDPAPB=pBPC=PCPA向量U-A+-A)(%#0)所在直線過(guò)AABC的內(nèi)心(NBAC的角分線所在直線)；T±AB|g|AB|PC十|BC|PA十|CA|

12、PB=0=PMBC的內(nèi)心；(選)塞婦AO嚀xaYbxbYaI；例12、若O是UABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足的形狀為(答：直角三角形)；例13、若D為AABC當(dāng)邊BC的中點(diǎn)，AABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足TTT4呼|PA+BP+CP0,設(shè)=，貝U九的值為(答：2)；|PD|一心.一-一TT例14、若點(diǎn)O是ABC的外心，且OA+OB+CO=0，則內(nèi)角C為、P分PP2的比為舄，則PP=舄PP2,九0內(nèi)分；赤V0且*-1外分.OP=OP1*,°巳；若入=1則OP=2(OP；+OP；)；設(shè)P(x,y),P1(x1,y1),為x2x2"1y2y2C.n-b2b3=0.nb2b3=0P

13、A=P為AABC的垂心；OBOC=OB+OC-2OA,則UABC(答:120)；1-fx1+女2x=1+丸;中占;V"y.說(shuō)明：特別注意各點(diǎn)的順序，子分母的位置。Pz(x2,y2)則x1x2x3x=；,重心3y+y2+y3y=.J3分子是起點(diǎn)至分點(diǎn)，分母是分點(diǎn)至終點(diǎn)，不能改變順序和分例15、已知A(4,-3),B(-2,6),點(diǎn)P在直線AB上，且|AB|=3|AP|,則P點(diǎn)的坐標(biāo)是()(2,0),(6,-6)-一.-卜x'=x+h.、(10)、點(diǎn)P(x,y)按a=(h,k)平移得P(x,y)，則PP=a或，函數(shù)y=f(x)按、y=y+ka=(h,k)平移得函數(shù)方程為：yk=f

14、(xh)說(shuō)明：(1)向量按向量平移，前后不變；(2)曲線按向量平移，分兩步：i確定平移方向-與坐標(biāo)軸的方向一致；ii按左加右減，上加下減(上減下加)I，一，一一，一一、,，_2'一一例16、把函數(shù)y=2x的圖象按向量a=(2,2)平移后得到的解析式是。2y=2x-8x6例17、函數(shù)y=sin2x的圖象按向量；平移后，所得函數(shù)的解析式是y=cos2x+1，則anr=(答：(_一,1)4結(jié)論：已知A(x，y1),B(x2,y2),l：Ax+By+C=0,過(guò)A,B的直線與l交于點(diǎn)PMP分Ax1By1Cf,”AB所成的比是A=-1y1，若用此結(jié)論，以下兩題將變得很簡(jiǎn)單.Ax2By2C例18、已知有向線段PQ的起點(diǎn)P