導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)各種題型歸納方法總結(jié)

1、一.導(dǎo)數(shù)的定義：2.利用定義求導(dǎo)數(shù)的步驟:求函數(shù)的增量：yf(xox)f(X0);求平均變化率:f(X0x)f(x°).x取極限得導(dǎo)數(shù)：f'(x0)l|m旦(下面內(nèi)容必記)二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算：(1)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及常用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式:nxn1；(亳xsinx(ex)'1(a0,且aC'0(C為常數(shù))；(xn)'(xn)'nxex(ax)'axmm-1xnlna(a0,且a1);m(x7)'(sinx)'cosx；(cosx)'1_;(logax)-xlnaf'(x)g'(x)；(口訣：和與差的導(dǎo)

2、數(shù)等丁導(dǎo)數(shù)的和與差).f'(x)g(x)f(x)g'(x)(口訣:前導(dǎo)后不導(dǎo)相乘,后導(dǎo)前不導(dǎo)相乘,(lnx)'xf(x)g(x)'f(x)g(x)'1)法則1:法則2:中間是正號)法則3:冬'f'(x)g(x),fWg'(x)(g(x)0)g(x)g(x)2(口訣：分母平方要記牢，上導(dǎo)下不導(dǎo)相乘，下導(dǎo)上不導(dǎo)相乘，中間是負(fù)號)(2)復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)求法：換元，題型一、題型二：1、已知令ug(x),則導(dǎo)數(shù)定義的理解導(dǎo)數(shù)運(yùn)算fxx22xsinf(u)分別求導(dǎo)再相乘y'g(x)'f(u)'回代ug(x)

3、，則f03. 2、若ff(x)=ax3+3x2+2,.導(dǎo)數(shù)的物理意義1.求瞬時(shí)速度：物體在時(shí)刻t°時(shí)的瞬時(shí)速度V。就是物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律ft°,即有V0ft0。=s，t)表小即時(shí)速度。a=v'(t)表小加速度四.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)fx在x0處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，kfx00丁是相應(yīng)的切線方程是：題型三.用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線注意兩種情況：(1)曲線yfx在點(diǎn)Px0,fx0yy°fx0xx01)曲線yy*處切線:fx在點(diǎn)Px°,ffx0xx0ox0處切線的斜率是性質(zhì)：k切線fx0相應(yīng)的切線方程是:(2) 曲線yfx過點(diǎn)Pxo,y0處切線：先設(shè)切點(diǎn)，切點(diǎn)為Q(a,

4、b),則斜率k=f'(a),切點(diǎn)Q(a,b)在曲線yfx上，切點(diǎn)Q(a,b)在切線yy°faxXo上，切點(diǎn)Q(a,b)坐標(biāo)代入方程得關(guān)丁a,b的方程組，解方程組來確定切點(diǎn)，最后求斜率k=f'(a),確定切線方程。例題在曲線y=x3+3x2+6x-10的切線中，求斜率最小的切線方程；解析：(1)ky'|xxo3x°26x。63(x。1)23當(dāng)xo=-1時(shí)，k有最小值3,五. 此時(shí)P的坐標(biāo)為(-1,-14)故所求切線的方程為3x-y-11=0函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，(1) f'(x)0f(x)該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；f'

5、(x)0f(x)該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；注意：當(dāng)f'(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處為正(或負(fù))時(shí)，f(x)在這個(gè)區(qū)間上仍是遞增(或遞減)的。(2) f(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增f'(x)0在該區(qū)間內(nèi)包成立；f(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減f'(x)0在該區(qū)間內(nèi)包成立；題型一、利用導(dǎo)數(shù)證明(或判斷)函數(shù)f(x)在某一區(qū)間上單調(diào)性：步驟：(1)求導(dǎo)數(shù)yf(x)判斷導(dǎo)函數(shù)yf(x)在區(qū)間上的符號下結(jié)論f'(x)0f(x)該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；f'(x)0f(x)該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；題型二、利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間求函數(shù)yf(x)單調(diào)區(qū)間的步驟為：(1) 分析yf(x)的定義

6、域；(2)求導(dǎo)數(shù)yf(x)(3) 解不等式f(x)0,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)問解不等式f(x)0,解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)問題型三、利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(轉(zhuǎn)化為包成立問題)思路一.(1)f(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增f'(x)0在該區(qū)間內(nèi)包成立；f(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減f'(x)0在該區(qū)間內(nèi)包成立；思路二.先求出函數(shù)在定義域上的單調(diào)增或減區(qū)問，貝U已知中限定的單調(diào)增或減區(qū)間是定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間的子集。注意：若函數(shù)f(x)在(a,c)上為減函數(shù)，在(c,b)上為增函數(shù)則x=c兩側(cè)使函數(shù)f(x)變號，即x=c為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f'(c)0例題.若函數(shù)f(x

7、)蛭，若af(3),bf(4),cf(5)則()<b<<b<<a<<a<c六、函數(shù)的極值與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：1. 極值的定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x°附近有定義，且若對x°附近的所有的點(diǎn)都有f(x)f(x°)(或f(x)f(x°),則稱f(x°)為函數(shù)的一個(gè)極大(或小)值，x°為極大(或極小)值點(diǎn)。. 可導(dǎo)數(shù)f(x)在極值點(diǎn)x°處的導(dǎo)數(shù)為0(即f'(x°)0),但函數(shù)f(x)在某點(diǎn)x°處的導(dǎo)數(shù)為0,并不一定函數(shù)f(x)在該處取得極值(如f(x)x3在x。0

8、處的導(dǎo)數(shù)為0,但f(x)沒有極值)。 求極值的步驟：第一步：求導(dǎo)數(shù)f'(x)；第二步：求方程f'(x)0的所有實(shí)根；第三步：列表考察在每個(gè)根x°附近，從左到右，導(dǎo)數(shù)f'(x)的符號如何變化，若f'(x)的符號由正變負(fù)，貝Uf(x°)是極大值；若f'(x)的符號由負(fù)變正，則f(x°)是極小值;若f'(x)的符號不變，貝Uf(x°)不是極值,x°不是極值點(diǎn)。2、函數(shù)的最值： 最值的定義：若函數(shù)在定義域D內(nèi)存xo，使得對任意的xD,都有f(x)f(x。)，(或 f(x)f(xo)則稱f(xo)為函數(shù)的最

9、大(小)值，記作Ymaxf(xo)(或Yminf(x。)如果函數(shù)yf(x)在閉區(qū)問a,b上的圖象是一條連續(xù)不問斷的曲線，則該函數(shù)在閉區(qū)問a,b上必有最大值和最小值。 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在閉區(qū)問a,b上的最值方法：第一步；求f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)的極值；第二步：比較f(x)的極值與f(a)、f(b)的大小：第三步：下結(jié)論：最大的為最大值，最小的為最小值。注意：1、極值與最值關(guān)系：函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的最大值和最小值點(diǎn)可以在極值點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)、區(qū)間的端點(diǎn)處取得。極值冬最值。函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值為極大值和f(a)、f(b)中最大的一個(gè)。最小值為極小值和f(a

10、)、f(b)中最小的一個(gè)。2. 函數(shù)在定義域上只有一個(gè)極值，則它對應(yīng)一個(gè)最值(極大值對應(yīng)最大值；極小值對應(yīng)最小值)3、注意：極大值不一定比極小值大。如f(x)x1的極大值為2,極小值為2。注意：當(dāng)x=xo時(shí)，函數(shù)有極值f/(xo)=0。但是，f/(xo)=。不能得到當(dāng)x=xo時(shí)，函數(shù)有極值；判斷極值，還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明。題型一、求極值與最值題型二、導(dǎo)數(shù)的極值與最值的應(yīng)用題型四、導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象關(guān)系導(dǎo)函數(shù)原函數(shù)f'(x)的符號f(x)單調(diào)性f'(x)與x軸的交點(diǎn)且交點(diǎn)兩側(cè)異號f(x)極值f'(x)的增減性f(x)的每一點(diǎn)的切線斜率的變化趨勢(f(x)的圖象的增減

11、幅度)f'(x)的增f(x)的每一點(diǎn)的切線斜率增大(f(x)的圖象的變化幅度快)f'(x)減f(x)的每一點(diǎn)的切線斜率減小(f(x)的圖象的變化幅度慢)例1.已知f(x)=ex-ax-1.(1) 求f(x)的單調(diào)增區(qū)問；(2)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；是否存在a,使f(x)在(-8,0上單調(diào)遞減，在0,+00)上單調(diào)遞增？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.解：f(x)=ex-a.(1)若a<0,f(x)=ex-a>0®成立，即f(x)在R上遞增.若a>0,ex-a>0,.x>a,x>lna.f(x)的單調(diào)

12、遞增區(qū)問為(lna,+°°).(2) vf(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增，f(x)>0在R上包成立.ex-a>0,即a<ex在R上包成立.二a<(ex)min,乂：ex>0,a<0.(3) 由題意知，x=0為f(x)的極小值點(diǎn).f(0)=0,即e°-a=0,a=1.例2.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)x=1處的切線為l:3x-y+1=0，若x=時(shí)，3y=f(x)有極值.(1)求a,b,c的值；(2)求y=f(x)在-3,1上的最大值和最小值.解(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f(x)=3x2+2

13、ax+b,當(dāng)x=1時(shí)，切線l的斜率為3,可得2a+b=0D當(dāng)x=-時(shí)，y=f(x)有極值，貝Uf-=0,可得4a+3b+4=033由解得a=2,b=-4.由丁切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.二c=5.(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,.f(x)=3x2+4x-4,令f(x)=0,得x=-2,x=-.3當(dāng)x變化時(shí),y,y'的取值及變化如下表：x-3(-3,-2)-2y+0-0+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增y8134y=f(x)在-3,1上的最大值為13,最小值為15.例3.當(dāng)x0,證明不等式ln(1x)x.1x證明:f(x)ln(x1)ln(x1)x

14、,則f(x)x2，(1x)2當(dāng)x0時(shí)。f(x)在0,內(nèi)是增函數(shù)，f(x)f(0)，即ln(1x)0,1xx乂g(x)，少x0時(shí)，g(x)0,g(x)在0,內(nèi)是減函數(shù)，g(x)g(0),即1xxln(1x)x0,因此，少x0時(shí)，不等式ln(1x)x成業(yè).1xx點(diǎn)評：由題意構(gòu)造出兩個(gè)函數(shù)f(x)ln(x1)，g(x)ln(x1)x.1x利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或求最值，從而導(dǎo)出是解決本題的關(guān)鍵.七定積分求值bn1.定積分的概念設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，Maf(x)dxlimfani12.用定義求定積分的一般方法是：分割：n等分區(qū)間a,b;近似代替：取點(diǎn)Lf(J;取極限：bf(x)dxlim

15、fi1nani1bfxdxa3.曲邊圖形面積：fx0,Sfxdx;fx0,Sa在x軸上方的面積取正，下方的面積取負(fù)變速運(yùn)動(dòng)路程St2v(t)dt;變力做功W%bF(r)dra4.定積分的性質(zhì)性質(zhì)1kf(x)dxkf(x)dxbf1(x)dxabf(x)dxab性質(zhì)2f1(x)ab性質(zhì)3f(x)dxf2(x)dxcf(x)dx(其中k是不為0的常數(shù))bf2(x)dxa(其中acb)(定積分對積分區(qū)間的可加性)5.定理函數(shù)F(x)是a,b上f(x)的一個(gè)原函數(shù)，即f(x)F(x)則bbaf(x)dxF(x)|：F(b)F(a)導(dǎo)數(shù)各種題型方法總結(jié)(一) 關(guān)丁二次函數(shù)的不等式包成立的主要解法：1、分

16、離變量;2變更主元;3根分布；4判別式法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：(二) (1)對稱軸(重視單調(diào)區(qū)問)與定義域的關(guān)系(2)端點(diǎn)處和頂點(diǎn)是最值所在分析每種題型的本質(zhì)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式包成立問題”以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。(三) 同學(xué)們在看例題時(shí)，請注意尋找關(guān)鍵的等價(jià)變形和回歸的基礎(chǔ)、基礎(chǔ)題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個(gè)步驟進(jìn)行解決：第一步：令f'(x)0得到兩個(gè)根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式包成立問題的實(shí)質(zhì)是函數(shù)的最值問題，2、常見處理方法有三種：第一種：分離變量求最值-用分離

17、變量時(shí)要特別注意是否需分類討論(>0,=0,<0)第二種：變更主元(即關(guān)丁某字母的一次函數(shù))(已知誰的范圍就把誰作為主元)；例1：設(shè)函數(shù)y問D上，g(x)4數(shù)，f(x)f(x)在區(qū)問D上的導(dǎo)數(shù)為f(x),f(x)在區(qū)問D上的導(dǎo)數(shù)為g(x),若在區(qū)0包成立，則稱函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實(shí)數(shù)m是常mx33x262(1)若yf(x)在區(qū)間0,3上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍；(2)若對滿足m2的任何一個(gè)實(shí)數(shù)m,函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上都為“凸函數(shù)”，求ba的最大值.解:由函數(shù)f(x)(1)Qy4x12f(x)在區(qū)間0,3上為“凸函數(shù)”，3232mx3xxmx一一得f(

18、x)62323x則g(x)x2mx30在區(qū)間0,3上包成立解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價(jià)丁gmax(x)0解法二：分離變量法：.,當(dāng)x0時(shí)，g(x)x2當(dāng)0x3時(shí)，g(x)x2mxx23等價(jià)丁mxxmx330包成立，30包成立3一一的取大值(0x3)包成立,x3而h(x)x-(0x3)是增函數(shù)，貝Uhmax(x)h(3).當(dāng)|m2時(shí)f(x)在區(qū)間a,b上都為“凸函數(shù)”則等價(jià)丁當(dāng)m2時(shí)g(x)x2mx30包成立變更主元法再等價(jià)丁F(m)題)mxx230在m2包成立(視為關(guān)于m的一次函數(shù)最值問F(2)f0F(2)V例2:設(shè)函數(shù)f(I)求函必f2xx232xx23132-x2ax33a2x：

19、x)2勺九調(diào)區(qū)間和極值；xa1,a2,不等式|f(x)a包成立，求a的取值范圍.<)b(0a1,bR)(n)若對任意伽(二次函數(shù)區(qū)間最值的例子)解：(I)f(x)x24ax3a2x3axaa3aa3a_令f(x)0,得f(x)市單調(diào)遞增區(qū)問為(a,3a)令f(x)0,得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)問為(-,a)和(3a,+3.少x=a時(shí)，f(x)極小值=-a3b；當(dāng)x=3a時(shí)，4(II)由|f(x)|<a,得：對任意的xagmax(x)gmin(x)aa2ag(x)這個(gè)二次函數(shù)的最值問題：單調(diào)增函數(shù)的最值問題。2在a1,a2上是增函數(shù).2a1.4a4.a1,a2,不等式包成立,則等價(jià)丁g(

20、x)這個(gè)二次函數(shù)x2aQ0a1,a1即定義域在對稱軸的右邊，1,a2,ag(x)a(放縮法)f(x)極大值=b.x24ax3a2a包成立4ax3a2的對稱軸g(x)x24ax3g(x)maxg(a2)g(x)ming(a1)丁是，對任意x等價(jià)丁4乂0a1,一a1.5點(diǎn)評：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對稱軸(重視單調(diào)區(qū)間)第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值題型特征：f(x)g(x)包成立h(x)f(x)g(x)0包成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型例3;(l)(H)(m)與定義域的關(guān)系解:已知函數(shù)f(x)x3ax2圖象上一點(diǎn)P(1,b)處的切線斜率為3,求a,b的值；當(dāng)x1,4時(shí)，求f(x)的值域；當(dāng)x1,4時(shí)，

21、不等式f(x)g(x)包成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍(I)f/(x)3x22ax二f(1)3,解得ab1ab(U)由(I)知，f(x)在1,0上單調(diào)遞增，在0,2上單調(diào)遞減，在2,4上單調(diào)遞減乂f(1)4,f(0)0,f(2)4,f(4)16-f(x)的值域是4,16t2(m)令h(x)f(x)g(x)-x(t1)x3x1,42思路1:要使f(x)g(x)包成立，只需h(x)0,即t(x12則(a1)4(4a1)a2a0,解得：0a2.4綜上，a的取值范圍是a0a2.1.1o例5、已知函數(shù)f(x)x-(2a)x(1a)x(a0).2x)2x6分離變量思路2:二次函數(shù)區(qū)間最值二、已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上

22、的單調(diào)性求參數(shù)的范圍解法1:轉(zhuǎn)化為f'(x)0或f'(x)0在給定區(qū)間上包成立，回歸基礎(chǔ)題型解法2:利用子區(qū)問(即子集思想)；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集；做題時(shí)一定要看活楚“在(m,n)上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(a,b)”，要弄活楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集a19例4：已知aR,函數(shù)f(x)xx(4a1)x.122(I)如果函數(shù)g(x)f(x)是偶函數(shù)，求f(x)的極大值和極小值;(U)如果函數(shù)f(x)是()上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.可知:(H)解：f(x)1x2(a1)x(4a1).41312(i)-f(x)是偶函數(shù)，

23、-a1.此時(shí)f(x)x2(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)若f(x)在0,1上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。子集思想(I)f(x)x2(2a)x1a(x1)(x1a).1、當(dāng)a0時(shí),f(x)(x1)20恒成立，3x,f(x)x23,令f(x)0,解得：x2J3.列表如下：(一8,2J3)273(-2f3,2占)2扁(2*'3，+勺+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增f(x)的極大值為f(2J3)4J3,f(x)的極小值為f(2j3)4J3.函數(shù)f(x)是(，)上的單調(diào)函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“=”號，f(x)在()單調(diào)遞增。2、當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0,得xi1,x2a1,且xix2,單調(diào)增區(qū)

24、間:單調(diào)增區(qū)間:(,1),(a1,(1,a1)f(x)1x2(a1)x(4a1)0，在給定區(qū)間R上恒成立判別式法4(II)當(dāng)Qf(x)在0,1上單調(diào)遞增，則0,1是上述增區(qū)間的子集：1、a。時(shí)，f(x)在(,)單調(diào)遞增符合題意2、0,1a1,a10a1綜上，a的取值范圍是0,1。三、根的個(gè)數(shù)I可題提型一函數(shù)f(x)與g(x)(或與x軸)的交點(diǎn)=即方程根的個(gè)數(shù)問題解題步驟第一步：畫出兩個(gè)圖像即“穿線圖”(即解導(dǎo)數(shù)不等式)和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；第二步：由趨勢圖結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)或根的個(gè)數(shù)寫不等式(組)；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系；第三步：解不等式(組

25、)即可；例6、已知函數(shù)f(x)1x3也x2,g(x)1kx,且f(x)在區(qū)間(2,)上為增函數(shù).(1) 求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2) 若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：(1)由題意f(x)x2(k1)xvf(x)在區(qū)間(2,)上為增函數(shù)，-f(x)x2(k1)x0在區(qū)間(2,)上包成立(分離變量法)即k1x包成立，乂x2,.k12,故k1k的取值范圍為k13(2)設(shè)h(x)f(x)g(xx2kx-，323令h(x)0得xk或x1由(1)知k1, 當(dāng)k1時(shí)，h(x)(x1)20,h(x)在R上遞增，顯然不合題意當(dāng)k1時(shí)，h(x),h(x)隨x的變化情況如下表：

26、/極大值.3.2-kk1623極小值/k1由丁=0,欲使f(x)與g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即萬程h(x)0有三個(gè)不同2k3k21k1-的實(shí)根，故需一一0,即(k1)(k22k2)02，解得623k22k20k1.3綜上，所求k的取值范圍為k143根的個(gè)數(shù)知道，部分根可求或已知。例7、已知函數(shù)f(x)ax3x22xc2若x1是f(x)的極值點(diǎn)且f(x)的圖像過原點(diǎn)，求f(x)的極值；1右g(x)-bxxd,在(1)的條件下，是否存在頭數(shù)b,使得函數(shù)g(x)的圖像與函2數(shù)f(x)的圖像包有含x1的三個(gè)不同交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；否則說明理由。解：(1).f(x)的圖像過原點(diǎn)，W

27、Jf(0)0c0f(x)乂x1是f(x)的極值點(diǎn)，貝Uf(1)3a120a-一2一一f(x)3xx2(3x2)(x(2)設(shè)函數(shù)g(x)的圖像與函數(shù)個(gè)不同交點(diǎn)，*等價(jià)丁f(x)g(x)有含xd1化d(b21.2-bxx2f(1)g(1)312_xx2x2即：x31(b1)x22(計(jì)算難點(diǎn)來了：)十字相乘法分解：x31/i八2x(b21)xx等價(jià)丁x21(b1)x2則h(x)必可分解為1)0f(x)的圖像包存在含x1的三1的三個(gè)根，即:1)1-(b1)整理得:21一人x(b1)0包有含2312h(x)x31(b1)x2(x1)(二次式)0,故用添項(xiàng)配湊法因式分解,212(x1)五(b1)x(b1)

28、x101的三個(gè)不等實(shí)根12(b1)。有含x1的根,1-(b1)0包有含x1的三個(gè)不等實(shí)根211(b1)0有兩個(gè)不等丁-1的不等實(shí)根。2題型二：切線的條數(shù)問題=以切點(diǎn)x。為未知數(shù)的方程的根的個(gè)數(shù)例7、已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx在點(diǎn)x°處取得極小值一4,使其導(dǎo)數(shù)范圍為(1,3)，求：(1)f(x)的解析式；(2)若過點(diǎn)P(1,m)可作曲線y求實(shí)數(shù)m的取值范圍.由題意得：f'(x)3ax22bxc3a(x1)(x3),(a0).在(，1)上f'(x)0；在(1,3)上f'(x)0；在(3,)上f'(x)0因此f(x)在x01處取得極小值4abc4，f&

29、#39;(1)3a2bca1由聯(lián)立得：b6,f(x)c9(1) 設(shè)切點(diǎn)Q(t,f(t),(3t2g(t)求得：0，f'(3)27a6bc06x29x需:_212t9)xt(3t2t32t2t1'tg(1)0g(2)011myf(t)f'(t)(x_2-12t9)t(t6t12t9m0令g'(t)6t22，方程g(t)0有三個(gè)根'23129m01612249m0f'(x)0的x的取值f(x)的三條切線，t36t29t)(3t212t9)xt(2t26t)過(1,m)_2-126(tt2)0,_2-t)y(3t12t9)(xt)(9)6t161116

30、;因此所求實(shí)數(shù)m的范圍為：(11,16)故：題型三：已知f(x)在給定區(qū)間上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)則有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個(gè)數(shù)解法：根分布或判別式法例8、解：函數(shù)的定義域?yàn)镽(I)當(dāng)m=4時(shí)，f(x)=x3x*貝Uf(1)1(m3)m6m3/1.2例9、已知函數(shù)f(x)-x33的單調(diào)區(qū)問；(2)令g(x)=1x4+f(x)(xR)有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.4解：(1)f(x)ax2xx(ax1)當(dāng)a0時(shí)，令f'(x)0解得x-或x0,令f'(x)0解得1x0,aa所以f(x)的遞增區(qū)間為(,-)(0,)，遞減區(qū)間為(-,0).1當(dāng)a0時(shí)，同理可得f(x)的遞增區(qū)間為(0,),遞減區(qū)

31、間為(,0)(,).(2)g(x)1x4-x31x2有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)432g(x)x3ax2xx(x2ax1)=0有3個(gè)根，貝Ux0或x2ax10,a2方程x2ax10有兩個(gè)非零實(shí)根，所以a240,a2或a2而當(dāng)a2或a2時(shí)可證函數(shù)yg(x)有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)其它例題：(一) 最值問題與主元變更法的例子.已知定義在R上的函數(shù)f(x)ax32ax2b(a0)在區(qū)間2,1上的最大值是5,最小值是一11.(I)求函數(shù)f(x)的解析式；(n)若t1,1時(shí)，f(x)tx0包成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.2'2解：(I)Qf(x)ax2axb,f(x)3ax4axax(3x4)人,4令f(x)=0,

32、得x0乂一2,13因?yàn)閍0,所以可得下表：+10x,f(x)=x27x+10,令f(x)0,解得x5,或x2.令f(x)0,解得2x5可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,2)和(5,+8)，單調(diào)遞減區(qū)間為2,5.(U)f(x)=x2(m+3)x+m+6,要使函數(shù)y=f(x)在(1,+8)有兩個(gè)極值點(diǎn)，f(x)=x2(m+3)x+m+6=0的根在(1,+oo)根分布問題：0;,解得m>312x2,(aR,a0)(1)求f(x)2(m3)24(m6)00+0/極大即f(2)16a511,a1,f(x)(II)f(x)3x24x,.f(x)tx令g(t)xt3x24x,貝U問題就是g(t)圍，

33、為此只需g(1)°,即3x25x°,g(1)0x2x°x32x25.0等價(jià)丁3x24xtx0,0在t1,1上包成立時(shí)，求實(shí)數(shù)x的取值范因此f(0)必為最大值，.f0)5因此b5,Qf(2)1635,f(1)a5,f(1)f(2),解得0x1,所以所求實(shí)數(shù)x的取值范圍是0,1.根分布與線性規(guī)劃例子2例：已知函數(shù)f(x)xaxbxc3(I) 若函數(shù)f(x)在x1時(shí)有極值且在函數(shù)圖象上的點(diǎn)(0,1)處的切線與直線3xy0平行，求f(x)的解析式;(n)當(dāng)f(x)在x(0,1)取得極大值且在x(1,2)取得極小值時(shí)，設(shè)點(diǎn)M(b2,a1)所在平面區(qū)域?yàn)镾,經(jīng)過原點(diǎn)的直線L將

34、S分為面積比為1:3的兩部分,求直線L的方程.解：(I).由f(x)2x22axb,函數(shù)f(x)在x1時(shí)有極值，2ab20.f(0)1c1乂f(x)在(0,1)處的切線與直線3xy0平行,一1.f(0)b3故a-221.-f(x)-xx3x1.7分32(n)解法:由f(x)2x22axb及f(x)在x(0,1)取得極大值且在x(1,2)取得極小(0)f,-f(1)0即2af4a0*一.xb2b20令M(x,y),則ya1b80易得A(12y24y0故點(diǎn)M0所在平面區(qū)域S為如圖ABC,2,0),B(2,1),C(2,32),D(0,12(。/Sbc2同時(shí)DE為久ABC的中位線，Sdec1S四邊形

35、abed所求一條直線L的方程為：x0另一種情況設(shè)不垂直丁x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分,設(shè)直線L方程為ykx，它與AC,BC分別交丁F、G,則k0,S四邊形DEGF由ykx2yx20由ykx4yx60S四邊形DEGFS得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為:xF得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為：xgS13OGESOFD22k14kA0kZ_i-2D(O.T)-2)1即16k22k50224k122k11.5.解得:k2或k8(舍去)故這時(shí)直線萬程為：y綜上,所求直線方程為:x.12分(n)解法二：由f(x)2x22axb及f(x)在x(0,1)取得極大值且在x(1,2)取得極小f(0)0b-f0即2af04ax2ay1.2y2xbx4yx易得A(2,0),B(2,0260bb*一.xb220令M(x,y),則y