層次分析法的詳細(xì)步驟

1、層次分析方法問題1(1) 某工廠在擴(kuò)大企業(yè)自主權(quán)后，廠領(lǐng)導(dǎo)正在考慮如何合理地使用企業(yè)留成的利潤。在決策時(shí)需要考慮的因素主要有調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)生產(chǎn)積極性；提高職工文化水平；改善職工物質(zhì)文化生活狀況。請(qǐng)你對(duì)這些因素的重要性進(jìn)行排序，以供廠領(lǐng)導(dǎo)作參考。分析和試探求解這個(gè)問題涉及到多個(gè)因素的綜合比較。由于不存在定量的指標(biāo)，單憑個(gè)人的主觀判斷雖然可以比較兩個(gè)因素的相對(duì)優(yōu)劣，但往往很難給出一個(gè)比較客觀的多因素優(yōu)劣次序。為了解決這個(gè)問題，我們能不能把復(fù)雜的多因素綜合比較問題轉(zhuǎn)化為簡單的兩因素相比照較問題呢？運(yùn)籌學(xué)家想出了一個(gè)好方法：首先找出所有兩兩比較的結(jié)果，并且把它們定量化；然后再運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法從所有兩兩

2、相比照較的結(jié)果之中求出多因素綜合比較的結(jié)果。具體操作過程如下：1)進(jìn)行兩兩相比照較，并把比較的結(jié)果定量化。首先我們把各個(gè)因素標(biāo)記為Bi：調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)生產(chǎn)積極性；B2：提高職工文化水平；B3：改善職工物質(zhì)文化生活狀況。根據(jù)心理學(xué)的研究，在進(jìn)行定性的成比照較時(shí)，人們頭腦中通常有5種明顯的等級(jí)：相同、稍強(qiáng)、強(qiáng)、明顯強(qiáng)、絕對(duì)強(qiáng)。因此我們可以按照下表用19尺度來定量化。定性結(jié)果定量結(jié)果Bi與Bj的影響相同BiBj=1:1Bi比Bj的影響稍強(qiáng)BiBj=3:1Bi比Bj的影響強(qiáng)BiBj=5:1Bi比Bj的影響明顯強(qiáng)BiBj=7:1Bi比Bj的影響絕對(duì)強(qiáng)BiBj=9:1Bi與Bj的影響在上述兩個(gè)等級(jí)之間BiB

3、j=2,4,6,8:1Bi與Bj的影響和上述情況相反BiBj=1:1,2，,9假定各因素重要性之間的相對(duì)關(guān)系為：B2比B1的影響強(qiáng)，B3比B1的影響稍強(qiáng)，B2比B3的影響稍強(qiáng)，則兩兩相比照較的定量結(jié)果如下:BB11:1;B1：B21:5;B1:B31:3B2：B15:1;B2：B21:1;B2:B33:1B3：B13:1;B3：B21:3;B3:B31:1為了便于數(shù)學(xué)處理，我們通常把上面的結(jié)果寫成如下矩陣形式，稱為成比照較矩陣。BiB2B3B111/51/3（1）B2513巨31/312）綜合排序?yàn)榱诉M(jìn)行合理的綜合排序，我們把各因素的重要性與物體的重量進(jìn)行類比。設(shè)有n件物體：A1,A2,-,A

4、n,它們的重量分別為：W1,W2,-,wn。假設(shè)將它們兩兩相互比較重量，其比值（相對(duì)重量）可構(gòu)成一個(gè)nxn成比照較矩陣斗1a1,2一.oa1,nW1/w1W1/W2W1/Wna2,1a2,2a2,nw2/w1W2/W2W2/WnA-prrr,p.an,1an,2一.oan,nWn/w1Wn/W2Wn/Wn經(jīng)過仔細(xì)觀察，我們發(fā)現(xiàn)成比照較矩陣的各行之和恰好與重量向量W=（W1,W2,-,Wn）T成正比，即W1%,jW2na2,j-:-j1-Wnan,j根據(jù)類比性，我們猜想因素的重要性向量與成比照較矩陣（1）之間也有同樣的關(guān)系存在。由此，我們可以得到因素的重要性向量為W111/51/323/15WW

5、25139(4)W331/3113/31（這個(gè)過）,這樣就為了使用方便，我們可以適當(dāng)?shù)剡x擇比例因子，使得各因素重要性的數(shù)值之和為程稱為歸一化，歸一化后因素重要性的數(shù)值稱為權(quán)重，重要性向量稱為權(quán)重向量得到一個(gè)權(quán)重向量Wi0.103Ww20.606w30.291(5)上式中元素的權(quán)重大小給出了各因素重要性的綜合排序。%a21AWa1,2a2,2a1,noa2,nwww2n2nW(6)an,1an,2an,nWnwn這說明W還是成比照較矩陣A的特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值為n,理論上已嚴(yán)格地證明了n對(duì)(2)式的進(jìn)一步分析還可以發(fā)現(xiàn)是A的唯一最大特征值。按類比法，我們也可以用求解特征方程的方法來得到重要性向

6、量。與(1)式對(duì)應(yīng)的特征方程為11/51/3ww513wnw2(7)31/31w3w3n',對(duì)應(yīng)的特征向量為:由此可以解出其最大特征值為W'=(0.105,0.537,0.258)(8)致性檢驗(yàn)既然存在誤差，我們就需要知道誤差的程度到底有多大？會(huì)不會(huì)影響綜合排序的結(jié)果？理論上已經(jīng)證明：對(duì)于具有一致性的成比照較矩陣，最大特征值為n;反之如果一個(gè)成比照較矩陣的最大特征值為n,則一定具有一致性。估計(jì)誤差的存在破壞了一致性，必然導(dǎo)致特征向量及特征值也有偏差。我們用n'表示帶有偏差的最大特征值，則n'與n之差的大小反映了不一致的程度?？紤]到因素個(gè)數(shù)的影響，Saaty將CI

7、n'n定義為一致性指標(biāo)。當(dāng)CI=0時(shí)，成比照較矩陣A矩陣完全一致，否則就存在不一致；CI越大，不一致程度越大。為了確定不一致程度的允許范圍，Saaty又定義了一個(gè)一致性比率CR,當(dāng)CRCI/RI0.1(10)時(shí)，認(rèn)為其不一致性可以被接受，不會(huì)影響排序的定性結(jié)果。(10)式中RI值如下表所示n12345678910RI00應(yīng)用上面的結(jié)果，我們可以算出成比照較矩陣(1)有CI=,CR=0.033(11)因此其不一致性可以被接受。問題2某工廠在擴(kuò)大企業(yè)自主權(quán)后，廠領(lǐng)導(dǎo)正在考慮如何合理地使用企業(yè)留成的利潤?？晒┻x擇的方案有：I、發(fā)獎(jiǎng)金；II、擴(kuò)建食堂、托兒所；III、開辦職工技校；IV、建圖書

8、館；V、引進(jìn)新技術(shù)。在決策時(shí)需要考慮到調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)生產(chǎn)積極性，提高職工文化水平和改善職工物質(zhì)文化生活狀況等三個(gè)方面。請(qǐng)你對(duì)這些方案的優(yōu)劣性進(jìn)排序，以便廠領(lǐng)導(dǎo)作決策。解答劃分層次顯然這是一個(gè)多目標(biāo)的決策，問題涉及到許多因素，各種因素的作用相互交叉，情況比較復(fù)雜。要處理這類復(fù)雜的決策問題，首先需要對(duì)問題所涉及的因素進(jìn)行分析：哪些是要相互比較的；哪些是相互影響的。把那些要相互比較的因素歸成同一類，構(gòu)造出一個(gè)各因素類之間相互聯(lián)結(jié)的層次結(jié)構(gòu)模型。各因素類的層次級(jí)別由其與目標(biāo)的關(guān)系而定。在上述問題中，因素可以分為三類：第一是目標(biāo)類，即合理地使用今年企業(yè)留利XX萬元；第二是準(zhǔn)則類，這是衡量目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)

9、，如調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)積極性、提高企業(yè)的生產(chǎn)技術(shù)水平等等；第三是措施類，指實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的方案、方法、手段等等。按目標(biāo)到措施自上而下地將各類因素之間的直接影響關(guān)系分不同層次排列出來，可以構(gòu)成一個(gè)直觀的層次結(jié)構(gòu)圖。如下列圖所示：目標(biāo)層誰則層措施層發(fā)獎(jiǎng)金%擴(kuò)建集儂福利設(shè)施&亦技校口建圖書館4引進(jìn)新技術(shù)每一層中的各因素對(duì)上一層因素的相對(duì)重要性可以用問題1中的方法確定，由層次關(guān)系可以計(jì)算出措施層各方案最高層的相對(duì)權(quán)重，從而給出各方案的優(yōu)劣次序。層次單排序不同準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的影響已經(jīng)在問題1中得到了解決，現(xiàn)假定不同措施對(duì)各準(zhǔn)則的影響如下：1.不同措施對(duì)調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)生產(chǎn)積極性影響的成比照較矩陣B1C1C2C3C4

10、C5C113547C21/31325(12)C31/51/311/22C41/41/2213C51/71/51/21/31其權(quán)重向量為:觀(0.491,0.232,0.092,0.138,0.046)T2.不同措施對(duì)提高職工文化水平影響的成比照較矩陣B2C2C3C4C5C211/71/31/5C37153(13)C431/511/3C551/331其中措施I發(fā)獎(jiǎng)金對(duì)提高職工文化水平?jīng)]有什么影響，在成比照較矩陣中不出現(xiàn)，重要性按零計(jì)算。其權(quán)重向量為：W2(0,0.055,0.564,0.118,0.263)丁3.不同措施對(duì)改善職工物質(zhì)文化生活狀況影響的成比照較矩陣B3CiC2C3C4Ciii33

11、C2ii33(i4)C3i/3i/3iiC4i/3i/3ii其權(quán)重向量為：觀(0.406,0.406,0.094,0.094,0)T總排序上述過程中求出的是同一層次中相應(yīng)元素對(duì)于上一層次中的某個(gè)因素相對(duì)重要性的排序權(quán)值，這稱為層次單排序。假設(shè)模型由多層次構(gòu)成，計(jì)算同一層次所有因素對(duì)于總目標(biāo)相對(duì)重要性的排序稱為總排序。這一過程是由最高層到最低層逐層進(jìn)行的。設(shè)上一層次A包含m個(gè)因素Ai,A2,-,Am,其總排序的權(quán)重值分別為ai,a2,-,am；下一層次B包含k個(gè)因素Bi,B2,-,Bk,，它們對(duì)于Aj的層次單排序的權(quán)重值分別為bi,j,b2,j,，bk,j(當(dāng)Bi與Aj無聯(lián)系時(shí)，bi,j=0)；此時(shí)B層i元素在總排序中的權(quán)重值可以由上一層次總排序的權(quán)重值與本層次的層次單排序的權(quán)重值復(fù)合而成，結(jié)果為：mWib,jaji1,2,k(15)ji由此，各個(gè)方案相對(duì)于目標(biāo)層的總排序可以用下表計(jì)算C層對(duì)B層的相對(duì)權(quán)值Bi0.i05B20.637B30.258C層總排序Ci0C2C3C4C50寫成矩陣形式為0.49i0.0000.4060.i570.2320.0550.4060.i050.i460.0920.5640.0940.6370.393(i6)0.i380.ii80.0940.2580.ii