平面向量的坐標(biāo)表示及其運算

1、一. 情境引入上海市莘莊中學(xué)的健美操隊四名隊員A、B、C、D在一個長10米，寬8米的矩形表演區(qū)域EFGH內(nèi)進行健美操表演.（1）若在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持如圖1所示的平行四邊形隊形.隊員A位于點F處，隊員B在邊FG上距F點3米處，隊員D位于距EF邊2米距FG邊5米處.你能確定此時隊員C的位置嗎？說明 此時隊員C在位于距EF邊5米距FG邊5米處.這個圖形比較特殊，學(xué)生很快就會得到答案，這時教師引入第二個問題.（2）若在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持如圖2所示的平行四邊形隊形.隊員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊員D位于距EF邊4米距FG邊5

2、米處.你能確定此時隊員C的位置嗎？二學(xué)習(xí)新課1. 向量的正交分解 我們稱在平面直角坐標(biāo)系中，方向與x軸和y軸正方向分別相同的的兩個單位向量叫做基本單位向量，分別記為，如圖，稱以原點O為起點的向量為位置向量，如下圖左，即為一個位置向量.思考1：對于任一位置向量，我們能用基本單位向量來表示它嗎？如上圖右，設(shè)如果點A的坐標(biāo)為，它在小x軸，y軸上的投影分別為M，N，那么向量能用向量與來表示嗎？（依向量加法的平行四邊形法則可得），與能用基本單位向量來表示嗎？（依向量與實數(shù)相乘的幾何意義可得），于是可得：由上面這個式子，我們可以看到：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任一位置向量都能表示成兩個相互垂直的基本單位向量的線性

3、組合，這種向量的表示方法我們稱為向量的正交分解.2.向量的坐標(biāo)表示 思考2：對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一個向量，我們都能將它正交分解為基本單位向量的線性組合嗎？如下圖左. 顯然，如上圖右，我們一定能夠以原點O為起點作一位置向量，使.于是，可知：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，任意一個向量都存在一個與它相等的位置向量.由于這一點，我們研究向量的性質(zhì)就可以通過研究其相應(yīng)的位置向量來實現(xiàn).由于任意一個位置向量都可以正交分解為基本單位向量的線性組合，所以平面內(nèi)任意的一個向量都可以正交分解為基本單位向量的線性組合.即：= 上式中基本單位向量前面的系數(shù)x,y是與向量相等的位置向量的終點A的坐標(biāo).由于基本單位向量是固定

4、不可變的，為了簡便，通常我們將系數(shù)x,y抽取出來，得到有序?qū)崝?shù)對（x,y）.可知有序?qū)崝?shù)對（x,y）與向量的位置向量是一一對應(yīng)的.因而可用有序?qū)崝?shù)對（x,y）表示向量，并稱（x,y）為向量的坐標(biāo)，記作：=（x,y）說明（x,y）不僅是向量的坐標(biāo)，而且也是與相等的位置向量的終點A的坐標(biāo)！當(dāng)將向量的起點置于坐標(biāo)原點時，其終點A的坐標(biāo)是唯一的，所以向量的坐標(biāo)也是唯一的.這樣，我們就將點與向量、向量與坐標(biāo)統(tǒng)一起來，使復(fù)雜問題簡單化.顯然，依上面的表示法，我們有：.例1. 如圖，寫出向量的坐標(biāo).解：由圖知與向量相等的位置向量為，可知與向量相等的位置向量為，可知說明對于位置向量，它的終點的坐標(biāo)就是向量的坐

5、標(biāo)；對于起點不在原點的向量，我們是通過先找到與它相等的位置向量，再利用位置向量的坐標(biāo)得到它們的坐標(biāo).那么，有沒有不通過位置向量，直接就寫出任意向量的坐標(biāo)的方法呢？答案是肯定的，而且很簡便，但我們需幾分鐘后再來解決這個問題.讓我們先學(xué)習(xí)向量坐標(biāo)表示的運算：3.向量的坐標(biāo)表示的運算 我們學(xué)過向量的運算，知道向量有加法、減法、實數(shù)與向量的乘法等運算，那么，在學(xué)習(xí)了向量的坐標(biāo)表示以后，我們怎么用向量的坐標(biāo)形式來表示這些運算呢？設(shè)是一個實數(shù)，由于所以于是有：說明上面第一個式子用語言可表述為：兩個向量的和(差)的橫坐標(biāo)等于它們對應(yīng)的橫坐標(biāo)的和(差)，兩個向量的和(差)的縱坐標(biāo)也等于它們對應(yīng)的縱坐標(biāo)的和(差

6、)，可籠統(tǒng)地簡稱為：兩個向量和(差)的坐標(biāo)等于對應(yīng)坐標(biāo)的和(差)；同樣，第二個式子用語言可表述為：數(shù)與向量的積的橫坐標(biāo)等于數(shù)與向量的橫坐標(biāo)的積，數(shù)與向量的積的縱坐標(biāo)等于數(shù)與向量的縱坐標(biāo)的積，也可籠統(tǒng)地簡稱為：數(shù)與向量積的坐標(biāo)等于數(shù)與向量對應(yīng)坐標(biāo)的積.4.應(yīng)用與深化下面我們來研究剛才提出的不通過位置向量，如何直接寫出任意向量的坐標(biāo)的問題：21世紀(jì)教育網(wǎng)例2.如下圖左，設(shè)、是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點，如何用P、Q的坐標(biāo)來表示向量？解：如上圖右，向量 從而有 說明上面這個式子告訴我們：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意向量的橫坐標(biāo)等于它終點的橫坐標(biāo)與它起點的橫坐標(biāo)的差，縱坐標(biāo)也等于它終點的縱坐標(biāo)與它起點的縱坐

7、標(biāo)的差，可簡稱為“任意向量坐標(biāo)=終點坐標(biāo)-起點坐標(biāo)”.例3.如圖，平面上A、B、C三點的坐標(biāo)分別為、.（1）寫出向量的坐標(biāo)；（2）如果四邊形ABCD是平行四邊形，求D的坐標(biāo).解：（1） （2）在上圖中，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以 設(shè)點D的坐標(biāo)為，于是有 又 故 由此可得 解得 因此點D的坐標(biāo)為.練習(xí)：（1）請大家用兩分鐘的時間解答本節(jié)課一開始我們所提出的在某時刻，健美操隊員C的位置問題.即：在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持如圖所示的平行四邊形隊形.如下圖左，隊員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊員D位于距EF邊4米距FG邊5米處.你能確定此時

8、隊員C的位置嗎？解：以點F為坐標(biāo)原點，以邊FG為x軸，以邊FE為y軸，建立如上圖右所示直角坐標(biāo)系.則依題意有A(2,1),B(6,3),D(4,5),設(shè)C(x,y),則由ABCD是平行四邊形可得：又故于是 x=8, y=7,即C（8，7）.答：隊員C位于距EF邊8米、距FG邊7米處.（2）在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持平行四邊形隊形.已知隊員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊員C位于如下圖左所示的矩形陰影部分區(qū)域內(nèi)（包括邊界）某一位置.你能確定此時隊員D可能的位置區(qū)域嗎？解：以點F為坐標(biāo)原點，以邊FG為x軸，以邊FE為y軸，建立如上圖右所示直角坐標(biāo)系

9、.依題意有A(2,1),B(6,3),設(shè)D(x,y),則由ABCD是平行四邊形可得：又D(x,y)，所以可得C(x+4,y+2) 由題意于是可得隊員D可能的位置區(qū)域如圖所示陰影部分（除去點B）：例4.已知向量與，求的坐標(biāo). 解：因為， 所以 三鞏固練習(xí)1. 如圖，寫出向量的坐標(biāo).2.已知，若其終點坐標(biāo)是(2,1),則其起點的坐標(biāo)是；若其起點坐標(biāo)是(2,1),則其終點的坐標(biāo)是.3.已知向量與，求及的坐標(biāo).解：1.由題意：2.設(shè)起點的坐標(biāo)是(x,y)，則(2,1)-(x,y)=(-1,2),解得：(x,y)=(3,-1)，即起點的坐標(biāo)是(3,-1)；設(shè)終點的坐標(biāo)是(x,y)，則(x,y)-(2,1

10、) =(-1,2),解得：(x,y)=(1,3)，即起點的坐標(biāo)是(1,3).3. =3=3另法：=拓展內(nèi)容：1、已知向量.（1）在坐標(biāo)平面上，畫出向量；并求= ；來源:21世紀(jì)教育網(wǎng)（2）若向量終點Q坐標(biāo)為，則向量的始點P坐標(biāo)為_；（3）向量的模與兩點P、Q間距離關(guān)系是.若 ，則練習(xí)1：已知向量，求說明 在問題一中，先給出向量，要求學(xué)生在坐標(biāo)平面上畫出向量，增強數(shù)形結(jié)合的解題意識，感悟向量的模即平面上兩點的距離.由此發(fā)現(xiàn)并掌握向量模的求法及幾何意義.安排（2）小問的目的在于復(fù)習(xí)鞏固位置向量與自由向量的概念，體會并感悟到任何一個自由向量都可轉(zhuǎn)化為位置向量.通過自由向量與位置向量的學(xué)習(xí)，引出向量平

11、行的概念.向量平行的概念：對任意兩個向量，若存在一個常數(shù)，使得成立，則兩向量與向量平行，記為：.2.在坐標(biāo)平面上描出下列三點,完成下列問題：（1）請把下列向量的坐標(biāo)與模填在表格內(nèi)：向量坐標(biāo)(1,2)(2,4)(3,6)向量的模（2）通過畫圖，你得出什么結(jié)論？三點A、B、C在一條直線上（3）分析表格中向量的模，你發(fā)現(xiàn)了什么？ （4）分析表格中向量，你還發(fā)現(xiàn)了什么？，說明 養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣，總結(jié)如何判斷三點共線？方法一：計算三個向量的模長關(guān)系.方法二：看兩個非零向量之間是否存在非零常數(shù).（5）分析表格中向量坐標(biāo)，你又發(fā)現(xiàn)了什么？向量坐標(biāo)之間存在比例關(guān)系.思考：如果向量用坐標(biāo)表示為，則是的（ ）

12、條件.A、充要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要由此，通過改進引出課本例5 若是兩個非零向量，且，則的充要條件是.分析：代數(shù)證明的方法與技巧，嚴(yán)密、嚴(yán)謹(jǐn).證明：分兩步證明，（）先證必要性：非零向量存在非零實數(shù)，使得，即，化簡整理可得：，消去即得（）再證充分性：（1）若,則、全不為零，顯然有，即（2）若，則、中至少有兩個為零.如果，則由是非零向量得出一定有，又由是非零向量得出，從而，此時存在使，即如果，則有，同理可證綜上，當(dāng)時，總有所以，命題得證.說明 本題是一典型的代數(shù)證明，推理嚴(yán)密，層次清楚，要求較高，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的良好范例.練習(xí)2：1已知向量，且，則x為_；2設(shè)=(x1，y1)，=(x2，y2)，則下列與共線的充要條件的有（ ） 存在一個實數(shù)，使=或=； ；(+)/()A、0個 B、1個 C、2個 D、3個3設(shè)為單位向量，有以下三個命題：（1）若為平面內(nèi)的某個向量，則；(2)若與平行，