1.4角平分線的性質(zhì)

1、角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)湖南省資興市東江中學(xué)：李國林湖南省資興市東江中學(xué)：李國林 角平分線是以一個角的頂角平分線是以一個角的頂點為端點的一條射線，它把這個點為端點的一條射線，它把這個角分成兩個相等的角角分成兩個相等的角.探究探究 如圖如圖1-26，在，在AOB的平分線的平分線OC上任取上任取一點一點P， 作作PDOA ， PEOB ， 垂足分別為點垂足分別為點D， E， 試問試問:PD與與PE相等嗎？相等嗎？圖圖1-26你能證明嗎？你能證明嗎？ 將將AOB 沿沿OC 對折，對折，我發(fā)現(xiàn)我發(fā)現(xiàn)PD與與PE 重合，重合， 即即PD與與PE相相等等.圖圖1-26 PDOA， PEOB， PDO

2、=PEO = 90.在在PDO和和PEO中，中， PDO =PEO， DOP =EOP， OP = OP， PDO PEO. PD = PE.我們來證明這個結(jié)論我們來證明這個結(jié)論.圖圖1-26圖圖1-26結(jié)論結(jié)論角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.由此得到角平分線的性質(zhì)定理：由此得到角平分線的性質(zhì)定理：動腦筋動腦筋 角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在這個角的平角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上嗎？分線上嗎？ 如圖如圖1-27，點，點P 在在AOB 的內(nèi)部，的內(nèi)部， 作作PDOA， PEOB， 垂足分別為點垂足分別為點D，E. 若若PD= PE，

3、 那么點那么點P在在AOB的平分線上嗎？的平分線上嗎？圖圖1-27在在RtPDO和和RtPEO中，中， OP = OP，PD = PE， RtPDO RtPEO. PDOA， PEOB， PDO =PEO = 90.如圖如圖1-27，過點，過點O，P作射線作射線OC. AOC =BOC. OC是是AOB的平分線，即點的平分線，即點P在在AOB的平分線的平分線OC上上.圖圖1-27結(jié)論結(jié)論角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.由此得到角平分線的性質(zhì)定理的逆定理：由此得到角平分線的性質(zhì)定理的逆定理：舉舉例例例例1 如圖如圖1-28，BAD =BC

4、D = 90，1=2. （1）求證：點）求證：點B在在ADC的平分線上；的平分線上；（2）求證：）求證：BD是是ABC的平分線的平分線.圖圖1-28證明：證明：在在ABC中，中， 1=2， BA = BC.又又 BAAD， BCCD， 點點B在在ADC的平分線上的平分線上.圖圖1-28（1）求證：點）求證：點B在在ADC的平分線上；的平分線上；圖圖1-28證明：證明： 在在RtBAD和和RtBCD中，中， BA = BC， BD = BD， RtBAD RtBCD. ABD =CBD. BD是是ABC的平分線的平分線.（2）求證：）求證：BD是是ABC的平分線的平分線.解解 作作AOB的角平分

5、線，交的角平分線，交MN于一點，則這點即為所于一點，則這點即為所 求作的點求作的點P.（提示：用尺規(guī)作圖）（提示：用尺規(guī)作圖）練習(xí)練習(xí)1. 如圖，在直線如圖，在直線MN上求作一點上求作一點P ，使點，使點P到到AOB兩邊兩邊 的距離相等的距離相等.P2. 如圖，在如圖，在ABC 中，中，AD 平分平分BAC， DEAB 于點于點E，DFAC 于點于點F，BD=CD. 求證：求證：AB=AC.證明證明 點點D在在BAC的平分線上，的平分線上， DEAB，DFAC ， DE = DF. AB = AC. 在在RtBED和和RtCFD中，中， BD = CD， DE = DF， RtBED RtCFD. B =C. 小結(jié)小結(jié)（1）角平分線上任意一點到交的）角平分線上任意一