數(shù)列是特殊的函數(shù)

1、數(shù)列是特殊的函數(shù)董海濤安徽省阜陽市第三中學(xué)數(shù)列在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，許多章節(jié)的內(nèi)容都與它有著密切的聯(lián)系，處于數(shù)學(xué)知識的匯合處，因此， 數(shù)列 一節(jié)蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，方程與函數(shù)、分類討論、化歸和轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等中學(xué)數(shù)學(xué)常用的思想方法在教材中都得到了充分的展現(xiàn)和應(yīng)用，而數(shù)列學(xué)習(xí)，尤其要重視函數(shù)思想的應(yīng)用，因?yàn)閿?shù)列是特殊的函數(shù)。1、教材順序的幾番調(diào)整體現(xiàn)了編者的良苦用心2003 年全國中小學(xué)教材審定委員會通過的全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)將原來使用的教材中的內(nèi)容作了一個(gè)最大的調(diào)整，將數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限分開，并從原來的高二提前到高一（上）來學(xué)習(xí)，屬于必修內(nèi)容，而將數(shù)學(xué)歸納法、極限一起列入高三限定

2、的選修課內(nèi)容。如此安排，一方面體現(xiàn)數(shù)列是特殊的函數(shù)，使學(xué)生了解不僅可以有自變量連續(xù)變化的函數(shù)， 還可以有自變量離散變化的函數(shù)，豐富了學(xué)生所接觸的函數(shù)概念的范圍，加深和鞏固對函數(shù)概念的全面理解；另一方面，又可以從函數(shù)的觀點(diǎn)出發(fā)，主動地、直觀地研究數(shù)列的一些問題，以便對數(shù)列性質(zhì)的認(rèn)識更深入一步，更實(shí)質(zhì)一些。而在剛剛起步的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，又將數(shù)列調(diào)整在必修課程模塊 5 中，但“對數(shù)學(xué)有興趣，并且希望獲得較高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，希望在理工等方面發(fā)展的學(xué)生”，在選修系列4-3 中，安排了“數(shù)列與差分”。教材順序的反復(fù)調(diào)整固然反映了編者矛盾的心理，但從中分明透露出其良苦用心體現(xiàn)數(shù)列是特殊的函數(shù)； “函數(shù)思想

3、將貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終”， 通過循環(huán)往復(fù)，以期達(dá)到對函數(shù)概念理解的螺旋式提高。2、要用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識數(shù)列2.1 強(qiáng)化數(shù)列定義中的函數(shù)觀點(diǎn)教材在給出數(shù)列的概念時(shí)，先給出一個(gè)描述性的定義，在此基礎(chǔ)上又給出一個(gè)在函數(shù)觀點(diǎn)下的定義： “從函數(shù)的觀點(diǎn)看 ， 數(shù)列可看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集 1,2,回)的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取 值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值”，這樣就明確地將數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系在了一起。 請注意, 加點(diǎn)部分是傳統(tǒng)教材中所沒有的，這種強(qiáng)調(diào)作用是顯而易見的。另外，關(guān)于 數(shù)列的通項(xiàng)公式，教材也明確地提出：“數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解 析式”。這少許的精辟之言，就為函數(shù)思想在本

4、章的運(yùn)用埋下了理論上的伏筆。既然教材在章節(jié)順序和內(nèi)容體系上都作了明確的說明，那么我們在數(shù)列 的學(xué)習(xí)中，就應(yīng)充分注意用函數(shù)的思想學(xué)習(xí)來理解數(shù)列中的有關(guān)問題。例1 當(dāng)n 6 N且n>2時(shí)，求證:111+>2n 2 30分析：本題若用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，不僅步驟繁難，湊配結(jié)合，還要111證明一+ 1> 0(k>2且k6N),可謂題中套題，而如果2k 3 2k 4 k 3注意到數(shù)列的函數(shù)性，則有異曲同工，曲徑通幽之妙。，一、一111略解：設(shè)f(n)=+十，則n 3 n 4 2n 2f(n+1)-f(n)=(2n . 3)(5nn 94)(n . 3)-f(n+1)>f(n

5、),故f(n) 是遞增數(shù)列11當(dāng)n6N且nA2時(shí)，有 f(n) >f(2)= 30例2(2004年上海春季高考題)已知函數(shù)f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a為正常數(shù))，且函數(shù)f(x)與g(x)圖象在y軸上截距相等。求a;求f(x)+g(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間；若n為正整數(shù)，證明10f(4)g(n) <45解：a=1略 對于，給出兩種解法，供比較:解法一(略解)：設(shè) G=10f, (4)g=10n-1 . ( 4) n2+2n+1 55413解不等式G+1<G,化為10 ( 4) <1,解得n> 定3.7 /.n>4521g 0.8 2于是 C

6、W C2WC3WC4,而 C4>C5>,所以有10f.(4)g W10f.(4)g(4)=103.(4)25= 3.78 <4555解法二(略解)設(shè)作輔助函數(shù)h (x) =10-1(4 ) x2+2x+1 (x>1)5h' (x) =10x-1( 4 ) x2+2x+1 ln10+1n 4 (2x+2) 55解 h' (x) >0,得 x< ln 10 -1、4.16 21ng4函數(shù)h (x)在1,4.16)上遞增，在(4.16, +s)上遞減。對 n 6 N+, h(n)=又h(4)=3.78 h(5)=3.25h(m)nx=h(4)<

7、;4即 10f(n) (4) g(n) <45評析：解法二借助于函數(shù)的單調(diào)性的判斷結(jié)果，借力發(fā)功，巧妙地解決 了數(shù)列的最大值，解題思路清晰簡單，數(shù)列與函數(shù)較好地統(tǒng)一于一體.2.2注意等差數(shù)列與一次、二次函數(shù)的聯(lián)系。由于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an=a1+(n-1)d,可以變形為an=d.n + (a.d) 從變形式中可以看出：當(dāng)d?0時(shí)，等差數(shù)列是關(guān)于n的一次函數(shù)，所以等差 數(shù)列的通項(xiàng)an的圖象是均勻地分布在一條直線上的各點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條 直線，也就很容易理解為什么已知等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)，可確定一個(gè)等差數(shù) 列了。同樣道理，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式 S1 = na1+n(n-1)d ,可以變形

8、為S=dn2 +（ad）n,當(dāng)d?0時(shí)，S是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)，于是可21 2以利用二次函數(shù)的觀點(diǎn)和方法解決“求等差數(shù)列前n項(xiàng)的和”的有關(guān)問題，特別是求Sn的增減變化，最大（小）值問題時(shí)，更要聯(lián)想到Sn的二次函數(shù)性。例3.一個(gè)首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，前5項(xiàng)之和與前13項(xiàng)之和相等，那么這個(gè)數(shù)列的前多少項(xiàng)之和最大？一一 ，一2， 'a.之 0解法一（略解）S5=S3 .d=-3a1 < 0由1n17 問一8.5 < n< 9.5 S9最大。13解法二（略解）S5=S3 .£ ai = 0i 6 4 （a9+a0） =0. a9+a0=0. a9<0

9、,a。>0 . S9最大_2解法二（略解）: S5=S3 d=- - a117° n（n -1）81 -（n -9）2-S=na+, d =a1 S9最大217解法四：（略解）.-S1=dn2 +（a1-d）n . S是關(guān)于n的二次函數(shù)，且開225 13口向下，又; S5=S3S的對稱軸是n=59=92 S9最大評析：解法一雖然常規(guī)但運(yùn)算量大，解法二技巧性強(qiáng)，解法三與解法四 運(yùn)用了函數(shù)的知識，思路清晰且運(yùn)算量較少，尤其是解法四，正展示了函數(shù) 思想的巨大魅力。2.3注意等比數(shù)列與指數(shù)型函數(shù)的聯(lián)系。在等比數(shù)列中，通項(xiàng)公式an=a1qn-1=9qn （a?0, q#0）,當(dāng)q>

10、0, q?1時(shí),a1an是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)與非零常數(shù)的乘積；其前n項(xiàng)和& =a1(q1) = aqn - -a(q 11),當(dāng) q>0且 q? 1 時(shí)，Sn是關(guān)于 n 的 y=m-qn-mq -1 q - 1 q - 1型的函數(shù)，因此，在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，應(yīng)注意結(jié)合指數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。例4首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為80,前2n項(xiàng)和為6560, 且在前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)是54,求此數(shù)列的首項(xiàng)a1和公比q。分析：2S?S2n, .q?/,由 Sn + S = 82 , /. qn=81 代入 Sn=80 可得a1=q-1>0 .q>1,. an=5qn

11、關(guān)于n單調(diào)遞增，a n=54,再結(jié)合Sn=80,便求出 a1a1 與 q。評析：這里確定an = 54是關(guān)鍵，借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，難點(diǎn)輕而易舉 地得以突破。3、數(shù)列是特殊的函數(shù)前面我們闡述了數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，看到了二者高度的統(tǒng)一性，體驗(yàn)了 函數(shù)的思想在數(shù)列學(xué)習(xí)中的重要性與指導(dǎo)性。但數(shù)列畢竟是特殊的函數(shù)，不 能把數(shù)列問題完全函數(shù)化，二者還是有區(qū)別的，先看一個(gè)簡單的例題：例5已知 an是遞增數(shù)列，且對任意的nW N+,都有an=n2+入n恒成立，求實(shí)數(shù)入的取值范圍。為了更清楚地說明數(shù)列問題與函數(shù)問題的區(qū)別，下面我們再詳細(xì)分析個(gè)例題：錯(cuò)解：設(shè)輔助函數(shù)f(x)=x 2+入x.an是遞增函數(shù).f(x)

12、=x 2+入x在1, oo)上是單調(diào)遞增函數(shù).二對稱軸x=-1W-1入n -2°°）上分析：數(shù)列an對n6N+單調(diào)遞增，并不等價(jià)于函數(shù)f(x)在1,單調(diào)遞增，an=n2+入n2關(guān)于n的圖象是位于曲線f(x)=x 2+入x上的一系列離散 的點(diǎn)，只要保證-<即入>-3，就能得到a1<a2<a3<,而不是-萬w 1。正解：.數(shù)列 a n 是單調(diào)遞增數(shù)列 an V a n+1 對n 6 N+恒成立即 n2+ n n<(n+1)2+ 入(n+1)對 n 6 N+恒成立.入>-(2n+1)對nW N+恒成立而-(2n+1) ma>=-3

13、> >-3由此可見，將數(shù)列問題簡單地函數(shù)化，極易出現(xiàn)不和諧的音符，在涉及 數(shù)列單調(diào)性問題時(shí)，我們首先要選用數(shù)列單調(diào)性自身的性質(zhì)解題，以免出現(xiàn) 錯(cuò)誤。為了更清楚地說明數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別，下面我們再詳細(xì)分析一個(gè)例題：例6:已知數(shù)歹！J a n 的通項(xiàng)為an=n - an(0va<1),若an>a+1對所有正整 數(shù)n均成立，求a的取值范圍。錯(cuò)解：作輔助函數(shù)f(x)=x - ax(0<a<1)an>a+1( n 6N+)恒成立函數(shù)f(x)=x ax在1, °°)上為減函數(shù)f (x)= w 0在(n 6 N)恒成立. f'(x)= a

14、x(1+xma) f'(x)00在(n 6N+)恒成立，即 1+ xma< 0在(n 6N)恒成立,.mac- 1在(n 6N)恒成立， x. (- -)min=-1ma< -1/. 0<a< 1xe正解：an>an+1(0va<1)對(n 6N)恒成立 n an>(n+1)a n+1 對 n£N+)恒 成立Aa<對n 6 N+）恒成立 n十1a 6 1 ,i)n十12-1. .0<a<2評析：兩種解法的結(jié)果相距甚遠(yuǎn)。但同樣的思路，例 2卻殊途同歸，實(shí) 事上，在例2中已出現(xiàn)了不和諧的“音符”，解法一中n>3.7

15、,解法二中n<4.16, 只是由于n6N+,將二者統(tǒng)一于n=4,但解題過程并未能掩飾住其取具體值時(shí)兩 者的差異。本例中，f(x)在1, °°)上為減函數(shù)只是an>an+1 ( n6N+)恒成立 的充分不必要條件，并不是等價(jià)條件，讓我們詳細(xì)分析：1先求f(x)的極大值點(diǎn)，令f (x)=0 得x=lna當(dāng) x 6 =(-oo ,- 工)時(shí)，f'(x)>0 當(dāng) x 6 =(-工,+°°)時(shí)，f(x)<0 lnalna.x=-是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)。 lna下面考察a6(L1)時(shí)的情況e 2當(dāng)武(：?時(shí) x=-l；e1,2)- x=- 1是函數(shù)f(x)的最大值點(diǎn)， lna函數(shù)f(x)在區(qū)間1,-工)上為增函數(shù)，在-,，+00)為減函數(shù)， lnalna沒有做到f