相似三角形模型講一線三等角問題講義解答

1、實用標準文案一、相似三角形判定的基本模型認識（一）A字型、反 A字型（斜A字型）文檔大全（四）一線三等角型:（蝴蝶型）三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景（五）一線三直角型:A（六）雙垂型:相似三角形判定的變化模型由A字型旋轉得到1II1=a h c8字型拓展一線三等角的變形一線三直角的實用標準文案BC2.如圖，在 ABC中，AB=AC=10 BC=1（6點D是邊BC上（不與 B, AC于點E.卜列結論：AD2=AE? AB; 3.6WAEV 10;當 AD=2/T5時， ABN DCE DCE為直角三角形時，BD為8或12.5 .其中正確的結論是.（把你認為正確結

2、論的序號都填上）C 重合）一動點，/ ADE=Z B=a , DE交1 .如圖，梯形 ABCM, AD/ BC,對角線 AC BD交于點O, BE/ CD交CA延長線于 E.求證：OC=OA? OEBDC3.已知：如圖， ABC中，點 E在中線 AD上，/ DEB=/ ABC 求證：（1） D隹DE? DA（2） / DCE=/ DACBAAC4 .已知：如圖，等腰 ABC中，AB=AC ADL BC于 D, CG/ AR 必BBC5 .如圖，已知 AD為 ABC的角平分線，EF為AD的垂直平分線1“i。 C文檔大全一 .、一，一一2BG分另1J交 AD AC于E、F.求證：BE=EF? EG

3、求證：FD2=FB? FC.實用標準文案6 .已知：如圖，在 RtABC中，/ C=90° , BC=2 AC=4 P是斜邊 AB上的一個動點,""PD，AR 交邊 AC于點D (點D與點A C都不重合)，E是射線DC上一點，且/ EPD=/ A.設A、P兩點的距離為 x, BEP的面積為 y-(1)求證：AE=2PE求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域;BEP的面積.7 .如圖，在 ABC中，/ A=60° , BQ CE分另是 ACW AB邊上的高，求證： BC=2DE8 .如圖，已知 ABC是等邊三角形，點 D> B C E在同一條直線上

4、，且/ DAE=120 (1)圖中有哪幾對三角形相似？請證明其中的一對三角形相似；(2)若 DB=2, CE=q 求 BC的長.D9 .(已知：如圖，在 RtABC中，AB=AC / DAE=45 .求證:2CD10 .如圖，在等邊 ABC中，邊長為 6, D是BC邊上的動點，/ EDF=60(1)求證： BD曰 CFD(2)當 BD=1, CF=3時，求 BE 的長.文檔大全11. (1)在 ABC中，AB=AC=5 BC=&點P、Q分別在射線 CB AC上(點P不與點 C / APQh ABC若點P在線段CB上(如圖)，且BP=6,求線段CQ勺長；(2)正方形ABCD勺邊長為5 (

5、如圖)，點P、Q分別在直線 CB DC上(點P不與點C/APQ=90度.當CQ=1時，寫出線段BP的長(不需要計算過程，請直接寫出結果).點B重合)，且保持點B重合)，且保持13 .已知梯形 ABCD43, AD/ BC,且 AD< BC, AD=5, AB=DC=2(1)如圖，P為AD上的一點，滿足/ BPC=Z A,求AP的長；(2)如果點P在AD邊上移動(點 P與點A D不重合)，且滿足/ BPE=Z A, PE交直線BC于點E,同時交直 線DC于點Q當點Q在線段DC的延長線上時，設 AP=x, CQ=y求y關于x的函數關系式，并寫出自變量 x的取值范圍；14 .如圖，在梯形 AB

6、CM, AD/ BC, AB=CD=BC=6 AD=3.點M為邊BC的中點，以 M為頂點作/ EMFW B, 射線MEIAB于點E,射線MF交腰CD于點F,連接EF.(1)求證： MEQ BEM(2)若 BEM以BM為腰的等腰三角形，求 EF的長；(3)若EF± CD求BE的長.15 .已知在梯形 ABCD43, AD/ BC AD< BC 且 BC=6 AB=DC=4 點 E是 AB 的中點.(1)如圖，P為BC上的一點，且 BP=2.求證： BEW CPED(2)如果點P在BC邊上移動(點 P與點 B C不重合)，且滿足/ EPF=Z C, PF交直線CD于點F,同時交直

7、線AD于點M,那么當點F在線段CD的延長線上時，設 BP=x, DF=y,求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；16 .如圖所示，已知邊長為 3的等邊 ABC點F在邊BC上，CF=1,點E是射線BA上一動點，以線段 EF為 邊向右側彳等邊 EFG直線EG FG交直線AC于點M, N,(1)寫出圖中與 BEF相似的三角形；(2)證明其中一對三角形相似；(3)設BE=x, MN=y求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量 x的取值范圍；(4)若AE=1,試求 GMN勺面積.A、D不重合)，過點P作PE17.如圖所示，已知矩形 ABCD, CD=2 AD=3,點P是AD上的一個動點(與 ，CP交

8、直線AB于點E,設PD=x, AE=y,(1)寫出y與x的函數解析式，并指出自變量的取值范圍；(2)如果 PCD勺面積是 AEP面積的4倍，求CE的長；(3)是否存在點P,使 APE沿PE翻折后，點A落在BC上？證明你的結論.DF± DE18 .如圖，在 RtABC中，/ C=90° , AB=5, 13nB二，點D是BC的中點，點 E是AB邊上的動點, 交射線AC于點F.(1)求AC和BC的長；(2)當EF/ BC時，求 BE的長；(備用圖)19 .如圖，在 RtABC中，/ C=90° , AC=BC D是AB邊上一點，E是在AC邊上的一個動點(與點 重合)，

9、DF, DE DF與射線BC相交于點F.(1)如圖2,如果點 D是邊AB的中點，求證：DE=DF(2)如果 AD: DB=m 求DE DF的值；(3)如果 AC=BC=6 AD DB=1: 2,設 AE=x, BF=y,求y關于x的函數關系式，并寫出定義域；以CE為直徑的圓與直線AB是否可相切？若可能，求出此時 x的值；若不可能，請說明理由.cc20 .如圖，在 ABC中，/C=90° , AC=6 tanB二號，D是BC邊的中點，E為AB邊上的一個動點， 作/ DEF=90 , EF交射線BC于點F.設BE=x, BED的面積為y.(1)求y關于x的函數關系式，并寫出自變量 x的取

10、值范圍；(2)如果以線段BC為直徑的圓與以線段 AE為直徑的圓相切，求線段 BE的長;BED相似，求 BED的面積.,一 ，- . _ 4._ . _.一21 .如圖，在梯形ABCD43,AB/ CDAB=2,AD=4,tanC=-, /ADCW DAB=90, P是腰BC上一個動點(不3含點R C),作PQLAP交CD于點Q.(圖1)(1)求BC的長與梯形 ABCD勺面積；(2)當PQ=DQ寸，求BP的長；(圖2)(3)設BP=x, CQ=y試求y關于x的函數解析式，并寫出定義域.座11圖21 .解 證明： AD/ BG包=更，又 BE/ CD5!=耍，.包=旦，即 OC=OA? OE答：O

11、C OBOB OE OC 0E解：: AB=AC / B=Z C,又/ADE玄 B，/ ADEh C, .AD& ACD .里!上士 . .aDae? AB,AE AD故正確，易證得 CD9 BAD 1 BC=1G設 BD=y, CE=k迪=兇，一”一衛(wèi)，整理得：y2- 16y+64=64 - 10x,CD CE 16 rle即（y-8） 2=64T0x, 0vxw 6.4 ,AE=AO CE=10- x,3.6 <AE< 10.故正確.作AGL BC于G_ _4 ABAC10 / ADE-Z Boc , cos a ,5 . BC1G AG6, AD-2/jd . DG-

12、2，CD-8, . AB-CD.ABD與 DCEi:等；故正確；當/AED90 時，由可知： AD& ACtD z. Z ADCZ AED / AED90 , / ADC90 ,即 ADL BC, ABAC ，BDCD ，/ ADE4 B-a 且 cos a/，AB10, BD85當/ CDE90 時，易 CD曰ABAD / CDE90 , / BAD90 , ./ B=a 且 COS a 二.AB10,COSB,BD&. 故正確.故答案為：.證明：（1）在 BDE和4DAB中5BD 523.解. / DEB/ ABC / BDE/ ADB .BD& ADB=-!,bD

13、=ad? deBD AD（2） AD是中線，CDBD CD2ACP DE, .5著,DE CD又/ ADCCDE DE6 DCA / DCEh DAC證明：連接CE如右圖所示， ABAC AD± BC, . . AD是/ BAC的角平分線，. BECE / EBCh ECB又. / ABCZ ACB/ ABC- / EBCh ACB- / ECB5.答:6.答:即 / ABE與 ACE又CG/ AB, Z ABE=Z CGR. / CGFW FOE, 又/ FEC4 CEG CES GEC，CE EF=EG CE 即 cE"=ef? eg 又 ce=bebE"=e

14、f? EGBD證明：連接AF,AD是角平分線，BAD=CAD又 EF 為 AD 的垂直平分線，AF=FD / DAF4 ADF,. / DAC+CAF土 B+/BAD / CAF4 B, / AFCW AFC 1 ACS BAF,即&二嫂，. AF2=CF? BF,即 FE2=CF? BF.AF BF.B解：(1)/ APD=/ C=90° , / A=Z A, .ADP ABC；里區(qū)=工，即AC 2 / EPDh A, / PED叱 AEP一_ PE PD 1 _.EP3 EAP.旦厘T.AE=2PEAE AP 2(2)由 EP3 EAP,得DE PD 1PEPE=2DE

15、AE=2PE=4DE作EHL AB,垂足為點H, . AP=x,PDx, PD/ HE,2AP 2,. HB 巫 4一 一PD AD 3X .' AB=2/5, y= (2逐一x)?x,即 y=-2定義域是OvxvZl.5HeWx.3：x2+- !x.33另解：由 EPD EAP得_一PE AP 2PE=2DE AE=2PE=4DEAE=X 返=x, .Sa abE=1x3&X23&, .233,ABE 婚近二 辿2遍y= - =x2+ J ；x. 定義域是 0v x v.(3)由 PEW ABAC；得=,HE ACPe4?立/x.當4BEP與ABC!目似時，只有兩種情

16、形：/32 3BEP土 C=90° 或 / EBP=/ C=90° .實用標準文案= _ -(i )當/ BEP=90 時， 旦=區(qū)，T3 =4=.解得 x= 3述PB AB 一 - k Vb3HCD E4 16y=-.!xx JLx 5+- x=2§3163(ii )當/ EBP=90時，同理可得 x=3代7.解答：證明： BD CE分另1J是AC與AB邊上的高，/ BEC=BDC .B、C D> E 四點共圓，AEDhACB 而/ A=/A, .AED ACBDE：ADBC-ABBD±AC,且/ A=60° , . ABD=30 ,

17、AD=1 .， . BC=2DE8.解答：. ABC是等邊三角形./ ABC=Z ACB4 BAC=60 ./ D+Z DAB=60 ,/DAE=120 , . DAB吆 EAC=60 . . . / D=Z CAE / E=Z DAB / D=Z D, / E=Z E, DAa DBA ACE(2) ,. DBAMCE 1 DB: AC=AB CE AB=AC=BC DB=L CE=6= BC2=DB? CE=12,. BO0,BC=2/3./ E+/ CAE=60 .9.解答：證明：(1)在RtABC中， AB=AC / B=Z C=45° . / BAE4 BAD吆 DAE /

18、 DAE=45 ,. /而 / ADCh BAD吆 B=Z BAD+45 ,/ BAE=/ CDA . ABa DCABAEBAD+45 .(2)由 AB& DCA 得AB CDBE? CD=AB AC.而 AB=AC BC2=AB?+AC2,B=2aA.BC2=2BE? CD10.解答：(1)證明：. ABC為等邊三角形，/ B=Z C=60° ,. /EDF=60 , .BED吆 EDB4 EDB+Z FDC=120 , / BEDh FDC BD曰 CFD(2)解：由(1)知 BDE CFtDBE BDCD CF'文檔大全實用標準文案 . BC=6 BD=1,

19、，CD=BG BD=5, 理=，解得 BE至.5 3311.解解：(1).一/ APQ吆 CPQ= B+Z BAP, / APQh ABC / BAP=Z CQP 又 AB=AC .B=Z C. .CPQ BAF? .四BP AS AB=AC=5 BC=8 BP=G CP=8- 6=2, .6 55若點p在線段cb上，由(1)知8g,BF AB BP=x, BC=8,CP=BC- BP=8-x,又 CQ=y AB=5,即產一卷J+故所求的函數關系式為 y=-lz2+x, (0< XV8)." pi5若點P在線段CB的延長線上，如圖. / APQW APB吆 CPQ / ABC=

20、/ APB+Z PAB / APQW ABC / CPQW PAB又. / ABP=180 / ABC / PCQ=180 / ACB / ABCh ACB / ABP4 PCQ QCm PBACQ PC.BP=x, CP=BC+BP=8+x AB=5, CQ=y即+(x>8).D vS0 CA3BQQ圖(2)當點P在線段BC上， / APQ=90 , / APB4Z QPC=90 , / PAB吆 APB=90 ,/ PAB=/ QPC . /B=/ C=90° , .ABW PC(QAB:即 5: (5-BP) =BR 1 ,解得：Rp_ 5+E 2PC=BP CQ當點P在

21、線段BC的延長線上，則點 Q在線段 同理可得： AB。 PCQ AB: PC=BP CQ 5: (BP 5) =BP: 1 ,解得： 印二 5+入用,2當點P在線段CB的延長線上，則點 Q在線段 同理可得： AB。 PCQ AB: PC=BP CQBP上芋，DC的延長線上,DC的延長線上,、- 5+3在5: (BP+5) =BP 1,解得：BP±13.答:解 解：(1)ABC虛梯形，AD/ BC AB=DC/ A=Z D /ABP吆 APB吆 A=180° , / APB吆 DPC+ BPC=180 , / BPC4 A/ABP4DPC AB。 DPC-即： 蛙=一CD P

22、D(2)由(1)可知： ABW DPQ5 AP解得：AP=1 或 AP=4.瑞喘即:當CE=1時,(1< x<4). PD EC(Q 里0, PD DQ或 _,5一或 y+2 5+k y- 2J2AL 2,解得:AP=2或& 一加(舍去).DOO文檔大全14.答:解證明：(1)在梯形ABC邛， AD/ BC, AB=CD / B=Z C, / BMF= EMB+ EMFW C+Z MFC又. / EMF=Z B, / EMBW MFC -1 EM耿 MFC旺 MCEM HFMC=MB 一 憶,又. / EMFW B, MESBEM(2)解：若4 BEM是以BM為腰的等腰三角

23、形，則有兩種情況:BM=ME那么根據 MEQ BEMME EF,即 EF=MF根據第(1)問中已證 BMP MFC.四膽 即 MF=FC / FMCh C,HE FC又. / B=Z C, / FMCW B, . MF/ AB延長BA和CD相交于點 G又點M是BC的中點， .MF是 GBC勺中位線，MFGR2又AD/ BC, .GAD AGB(C 絲=迪=2=_1, .絲=1,即 AG=AB=6GB BC 6 2 KGGB=12 MF=EF=6BM=BE=3 . .點 E是AB的中點，又' MEM BEM 弧里1 ,即 MF=ME EF是梯形 ABCD勺中位線，EF(AD+BC (3+

24、6)BE庇 (3)EF± CD故EH=MH設BE=x,貝U BH力 4X解二：過點M作MNL DC MC=3 ./EFC=90 , MEM ABEM / MFEW MFCh BME=45 , 解一：過點E作EFU BC,則可得 EHM拿腰直角三角形，EH=M哼.BE1| 的)NC=. MN=j=FN, FC=?(VT+1)-2由 MES MFCW強國，即EBB1）3予后+】），得 BE號 （痂- 1）-15.BE=2, BP=2, CP=4 CD=4'CPCD(1)證明：.在梯形 ABCM, AD/ BC, AB=DC/ B=Z C.(2)解：.一/ B=/C=/ EPF18

25、0- Z B=180- / EPF土 BEP吆 BPE玄 BPE吆 CPF2 .Z BEP=/ FPC BE。 CPF .理工.2_CP CF &- x-y+4尸-工(2<xv4). 2當點F在線段CD的延長線上時，3 / FDM= C=Z B, / BEP=/ FPC=/ FMD， BEP DMF.殳、坐。.迎DNIF 4 ABEP? BP 2 Iy -x2+3z- 4, - -x2- 3x+8=0, < 0.此方程無實數根.故當點F在線段CD的延長線上時，不存在點 P使sZkDMF二(sZiBEP ； 當點F在線段CD上時，同理 BEW DMF. s . =-.ADNI

26、F 4 bABET BF 2 x- 3z+4 x=1,即 BP=1. BEW CPF 典里.,1 CP CF 6-X 4-y y 2Xx2- 9x+8=0,解得X1=1, X2=8.由于X2=8不合題意舍去.當為口械彳不腳時，BP的長為1,（各用網）16.解解：(1) BEFAMPCFNT GMN證明：(2)在 BEF與4AME中，. /B=/ A=60° , . AEM+ AME=120 ,. /GEF=60 , .AEM+ BEF=120° ,備用圖一解：(3) (i )當點E在線段AB上，點M . BED AMIE BE: AM=BF AE,算。+3貨即：x： AM=

27、2 (3-x), AM=-:2備用圖二N在線段AC上時，如圖，同理可證 BEFACFhNBE: CF=BF CN即：x： 1=2: CNCnN, AC=AM+MN+£N. 3= 一 工 +33+y+g, y=其 = "- 4 (1<x<3);(ii )當點E在線段AB上，點G在 ABC內時，如備用圖一,2同上可得：AM工 通 CN?,2x AC=AM+CNMN . . 3=二1+2-y, . . y=一 § 1'5. 一(0vxW1)；(iii )當點E在線段BA的延長線上時，如備用圖二,2工AM=2 漢 CN=,2. AC=MN+CNAM.

28、3=y+Z-K 河 . . y=x 2(x>3);綜上所述：y=-(0VXW 1),或y=(x> 1);(4) (i )當AE=1時， GMt<邊長為1等邊三角形， Sagm=1x 1X 2=13,(1 分)22 4(ii )當 AE=1 時， GMN!有一個角為 30° 的 RtA,- x=4, - y=43-3 X 4 2+6 X 4 - 42X4=1, NG=FG FN=4X 立-1 X 立=3M,17.解答： Sagm=- XX j=27.2228.一一，r .AR PA.(1)解：PEI CP,，可彳導: EAW PDCPD CD又. CD=2 AD=3

29、設 PD=x AE=y, -/. y=-l222(2)解：當 PCD的面積是a AEP面積的4倍，則：相似比為2: 1, .延1，PD CD 2, CD=2AP=1, PD=2PE=/2, PC=2y2EcV10.二寸，0vxv3;(3)不存在.作AF± PE,交PE于O, BC于F,連接EF . AUPE CP1P曰.af=CP=/s2+22, PE=J (3->) ,/，. CDP POA .迎=里 OA=T " jPA PC Jx2-22(3- x) xTaF工一， =62-4X4X 3=-12 x 無解因此，不存在.若OAAF 23x2- 6x+4=018.答

30、:19.答:解：(1)在 RtABC中，/ 0=90°tang_22=J, 設 AC=3k, BC=4k, . . AB=5k=5,，k=1, . AC=3 BC=4 BC 4(2)過點E作EHL BC,垂足為 H.易得 EHEMCB設 EH=CF=3k BH=4k, BE=5k; EF/ BC,. / EFD=/ FDC. / FDE=/ 0=90° EFD FDC.巫£5 . . fD=EF? CD,即 9k2+4=2 (4 4k)FDCD化簡，得 9k2+8k - 4=0解得k二10后-2°.(3)過點E作EHl BC,垂足為 H.易彳# EH/

31、ACB設 EH=3k, BE=5k / HED它 HDE=90 / FDC吆 HDE=90 / EHDh C=90° EHD DCF當 DEF和 ABCffi似時，有兩種情況：1 %一.一二二DF BC 4 CD 4即晉三解得'BE=5k=52 理晝/，.理要，即逃解得DF AC 3 CD 32 3./ HED=/ FDCEH DECD DFk 奇，BE = 5k 二等綜合1°、2° ,當 DEF和 ABCt目似時，BE的長為下或理.2 9(1)證明：如圖2,連接DC . /ACB=90 , AC=BC，/A=/ B=45° , 點 D是 AB中

32、點， ./ BCD=ACD=45 , CD=BD，/ ACDW B=45° ED± DF, CD!AB, / EDC它 CDF=90 , / CDF+Z FDB=90 ,. / EDCW FDB, CE陰 BFD (ASA),DE=DF(2)解：如圖1,作DPI AC, DQL BC,垂足分別為點 Q, P. . / B=Z A, / APD之 BQD=90 , .ADP BDQDR DQ=AD DB=m/ CPD= CQD=90 , / C=90° ,. / QDP=90 ,DF± DE,/ EDF=90 , . QDF=PDE / DQF= DPE=

33、90 , .DQS DPEDE DF=DP DQ. DE DF=DP DQ=AD DB=m(3)解：如備用圖1,作EGLAB, FH!AB,垂足分別為點 G H.在 RtABC中，Z C=90° , AC=BC=6 . . ABB/£41X2一、-1=,y=8 2x, te義域是 0<x<4.啦-冬V2V2 ¥. AD DB=1: 2,，AD22，DB=4y2.由/ AGE= BHF=90 , / A=Z B=45° ,可得 aG=eG=/, BH=FH*y, GD黨邛X，HD%歷一*y， ww乙乙易證 DG曰FHD，DG GEFH'DH如備用圖2,取CE的中點O,彳OML AB于M.,OM=E2工),AB相切，則A 乂:四 ( 22可得 CE=6- x, AO=3+A x2若以CE為直徑的圓與直線20.解答：解得工二1* 一 12次，.當工二12-126時，以0DC