線性代數(shù)發(fā)展史

1、線性代數(shù)發(fā)展史由于研究關(guān)聯(lián)著多個(gè)因素的量所引起的問(wèn)題，則需要考察多元函數(shù)。 如果所研究的關(guān)聯(lián)性是線性的，那么稱這個(gè)問(wèn)題為線性問(wèn)題。歷史上線性 代數(shù)的第一個(gè)問(wèn)題是關(guān)于解線性方程組的問(wèn)題，而線性方程組理論的發(fā)展 又促成了作為工具的矩陣論和行列式理論的創(chuàng)立與發(fā)展，這些內(nèi)容已成為 我們線性代數(shù)教材的主要部分。最初的線性方程組問(wèn)題大都是來(lái)源于生活 實(shí)踐，正是實(shí)際問(wèn)題刺激了線性代數(shù)這一學(xué)科的誕生與發(fā)展。另外，近現(xiàn) 代數(shù)學(xué)分析與幾何學(xué)等數(shù)學(xué)分支的要求也促使了線性代數(shù)的進(jìn)一步發(fā)展。行列式行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解，它最早是一種速記的表達(dá)式，現(xiàn)在 已經(jīng)是數(shù)學(xué)中一種非常有用的工具。行列式是由萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家

2、 工孝和發(fā)明的。1693年4月，萊布尼茨在寫給洛比達(dá)的一封信中使用并給 出了行列式，并給出方程組的系數(shù)行列式為零的條件。同時(shí)代的日本數(shù)學(xué) 家關(guān)孝和在其著作解伏題元法中也提出了行列式的概念與算法。1750年，瑞士數(shù)學(xué)家 克萊姆(G.Cramer,1704-1752) 在其著作線性 代數(shù)分析導(dǎo)引中，對(duì)行列式的定義和展開(kāi)法則給出了比較完整、明確的 闡述，并給出了現(xiàn)在我們所稱的解線性方程組的克萊姆法則。稍后，數(shù)學(xué) 家貝祖(E.Bezout,1730-1783)將確定行列式每一項(xiàng)符號(hào)的方法進(jìn)行了系統(tǒng)化，利用系數(shù)行列式概念指出了如何判斷一個(gè)齊次線性方程組有非零解?？傊?，在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，行列式只是作為解線

3、性方程組的一種工具 使用，并沒(méi)有人意識(shí)到它可以獨(dú)立于線性方程組之外，單獨(dú)形成一門理論 加以研究。在行列式的發(fā)展史上，第一個(gè)對(duì)行列式理論做出連貫的邏輯的闡述， 即把行列式理論與線性方程組求解相分離的人，是法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796)。范德蒙自幼在父親的知道下學(xué)習(xí)音樂(lè),但對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，后來(lái)終于成為法蘭西科學(xué)院院士。特別地，他給 出了用二階子式和它們的余子式來(lái)展開(kāi)行列式的法則。就對(duì)行列式本身這 一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，他是這門理論的奠基人。1772年，拉普拉斯 在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些規(guī)則，推廣了他的展開(kāi)行列式的方法。繼范德蒙之后，在行列式的理論方面，又

4、一位做出突出貢獻(xiàn)的就是另 一位法國(guó)大數(shù)學(xué)家 柯江。1815年，柯西在一篇論文中給出了行列式的第一個(gè)系統(tǒng)的、幾乎是近代的處理。其中主要結(jié)果之一是行列式的乘法定理。 另外，他第一個(gè)把行列式的元素排成方陣，采用雙足標(biāo)記法；引進(jìn)了行列 式特征方程的術(shù)語(yǔ)；給出了相似行列式概念；改進(jìn)了拉普拉斯的行列式展 開(kāi)定理并給出了 一個(gè)證明等。19世紀(jì)的半個(gè)多世紀(jì)中，對(duì)行列式理論研究始終不渝的作者之一是詹姆士 西爾維斯特 (J.Sylvester,1814-1894)。他是一個(gè)活潑、敏感、興奮、熱情，甚至容易激動(dòng)的人，然而由于是猶太人的緣故，他受到劍橋大學(xué)的 不平等對(duì)待。西爾維斯特用火一般的熱情介紹他的學(xué)術(shù)思想，他的

5、重要成 就之一是改進(jìn)了從一個(gè)次和一個(gè)次的多項(xiàng)式中消去 x的方法，他稱之為配析法，并給出形成的行列式為零時(shí)這兩個(gè)多項(xiàng)式方程有公共根充分必要 條件這一結(jié)果，但沒(méi)有給出證明。繼柯西之后,在行列式理論方面最多產(chǎn)的人就是德國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比(J.Jacobi,1804-1851),他引進(jìn)了函數(shù)行列式，即雅可比行列式”，指出函數(shù)行列式在多重積分的變量替換中的作用，給出了函數(shù)行列式的導(dǎo)數(shù)公式。 雅可比的著名論文論行列式的形成和性質(zhì)標(biāo)志著行列式系統(tǒng)理論的建 成。由于行列式在數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)、線性方程組理論、二次型理論等多 方面的應(yīng)用，促使行列式理論自身在19世紀(jì)也得到了很大發(fā)展。整個(gè) 19世紀(jì)都有行列式的新結(jié)果。

6、除了一般行列式的大量定理之外，還有許多有關(guān) 特殊行列式的其他定理都相繼得到。矩陣矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象， 也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具。矩陣”這個(gè)詞是由西爾維斯特首先使用的，他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個(gè)述語(yǔ)。而實(shí) 際上，矩陣這個(gè)課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了。從行列式的大量工 作中明顯的表現(xiàn)出來(lái)，為了很多目的，不管行列式的值是否與問(wèn)題有關(guān)， 方陣本身都可以研究和使用，矩陣的許多基本性質(zhì)也是在行列式的發(fā)展中 建立起來(lái)的。在邏輯上，矩陣的概念應(yīng)先于行列式的概念，然而在歷史上 次序正好相反。英國(guó)數(shù)學(xué)家fK (A.Cayley,1821-

7、1895)一股被公認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者，因?yàn)樗紫劝丫仃囎鳛橐粋€(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念提出來(lái)，并首先發(fā)表了 關(guān)于這個(gè)題目的一系列文章。凱萊同研究線性變換下的不變量相結(jié)合，首 先引進(jìn)矩陣以簡(jiǎn)化記號(hào)。1858年，他發(fā)表了關(guān)于這一課題的第一篇論文矩陣論的研究報(bào)告，系統(tǒng)地闡述了關(guān)于矩陣的理論。文中他定義了矩陣的相等、矩陣的運(yùn)算法則、矩陣的轉(zhuǎn)置以及矩陣的逆等一系列基本概念， 指出了矩陣加法的可交換性與可結(jié)合性。另外，凱萊還給出了方陣的特征 方程和特征根(特征值)以及有關(guān)矩陣的一些基本結(jié)果。凱萊出生于一個(gè) 古老而有才能的英國(guó)家庭，劍橋大學(xué)三一學(xué)院大學(xué)畢業(yè)后留校講授數(shù)學(xué)， 三年后他轉(zhuǎn)從律師職業(yè)，工作卓有成效，并利用

8、業(yè)余時(shí)間研究數(shù)學(xué)，發(fā)表 了大量的數(shù)學(xué)論文。1855年，埃米特 (C.Hermite,1822-1901)證明了別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如現(xiàn)在稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。后來(lái),克萊伯施 (A.Clebsch,1831-1872)、布克海姆 (A.Buchheim) 等證明了對(duì)稱矩陣的特征根性質(zhì)。魚氏(H.Taber)引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論。在矩陣論的發(fā)展史上，弗羅伯紐斯(G.Frobenius,1849-1917) 的貢獻(xiàn)是不可磨滅的。他討論了最小多項(xiàng)式問(wèn)題，引進(jìn)了矩陣的秩、不變因子和 初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的 形

9、式整理了不變因子和初等因子的理論，并討論了正交矩陣與合同矩陣的 一些重要性質(zhì)。1854年，約當(dāng)研究了矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型的問(wèn)題。1892年,梅茨勒(H.Metzler)引進(jìn)了矩陣的超越函數(shù)概念并將其寫成矩陣的幕級(jí)數(shù) 的形式。傅立葉、西爾和龐加萊的著作中還討論了無(wú)限階矩陣問(wèn)題,這主 要是適用方程發(fā)展的需要而開(kāi)始的。矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì)，矩陣由最初作為一種工具 經(jīng)過(guò)兩個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，現(xiàn)在已成為獨(dú)立的一門數(shù)學(xué)分支矩陣論。而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論。 矩陣及其理論現(xiàn)已廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代科技的各個(gè)領(lǐng)域。線性方程組線性方程組的解法，早在中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作九

10、章算術(shù)方程章中已作了比較完整的論述。其中所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對(duì)方程組的增 廣矩陣施行初等行變換從而消去未知量的方法，即高斯消元法。在西方， 線性方程組的研究是在17世紀(jì)后期由萊布尼茨開(kāi)創(chuàng)的。他曾研究含兩個(gè)未知量的三個(gè)線性方程組組成的方程組。麥克勞林在18世紀(jì)上半葉研究了具有二、三、四個(gè)未知量的線性方程組，得到了現(xiàn)在稱為克萊姆法則的 結(jié)果?？巳R姆不久也發(fā)表了這個(gè)法則。18世紀(jì)下半葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家貝祖對(duì)線性方程組理論進(jìn)行了一系列研究，證明了元齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零。19世紀(jì)，英國(guó)數(shù)學(xué)家史密斯(H.Smith)和道奇森(C-L.Dodgson) 繼 續(xù)研究線性方程組理論，

11、前者引進(jìn)了方程組的增廣矩陣和非增廣矩陣的概 念，后者證明了 個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和 增廣矩陣的秩相同。這正是現(xiàn)代方程組理論中的重要結(jié)果之一。大量的科學(xué)技術(shù)問(wèn)題，最終往往歸結(jié)為解線性方程組。因此在線性方 程組的數(shù)值解法得到發(fā)展的同時(shí)，線性方程組解的結(jié)構(gòu)等理論性工作也取 得了令人滿意的進(jìn)展?，F(xiàn)在，線性方程組的數(shù)值解法在計(jì)算數(shù)學(xué)中占有重 要地位。二次型二次型也稱為 二次形式"，數(shù)域？上的？元二次齊次多項(xiàng)式稱為數(shù) 域？上的？元二次型。二次型是我們線性代數(shù)教材的后繼內(nèi)容，為了我 們后面的學(xué)習(xí)，這里對(duì)于二次型的發(fā)展歷史我們也作簡(jiǎn)單介紹。二次型的 系統(tǒng)研究是從 18世紀(jì)開(kāi)

12、始的，它起源于對(duì)二次曲線和二次曲面的分類問(wèn) 題的討論。將二次曲線和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐 標(biāo)軸以簡(jiǎn)化方程的形狀，這個(gè)問(wèn)題是在18世紀(jì)引進(jìn)的?？挛髟谄渲髦薪o出結(jié)論：當(dāng)方程是標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，二次曲面用二次項(xiàng)的符號(hào)來(lái)進(jìn)行分類。然 而，那時(shí)并不太清楚，在化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，為何總是得到同樣數(shù)目的正項(xiàng) 和負(fù)項(xiàng)。西爾維斯特回答了這個(gè)問(wèn)題，他給出了個(gè)變數(shù)的二次型的慣性定律，但沒(méi)有證明。這個(gè)定律后被雅可比重新發(fā)現(xiàn)和證明。1801年，高斯在算術(shù)研究中引進(jìn)了二次型的正定、負(fù)定、半正定和半負(fù)定等術(shù)語(yǔ)。二次型化簡(jiǎn)的進(jìn)一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特 征方程的概念隱含地出現(xiàn)在歐拉的著作中，拉格

13、朗日在其關(guān)于線性微分方 程組的著作中首先明確地給出了這個(gè)概念。而三個(gè)變數(shù)的二次型的特征值 的實(shí)性則是由阿歇特 (J-N.P.Hachette)、蒙日和泊松 (S.D.Poisson,1781-1840) 建立的?？挛髟趧e人著作的基礎(chǔ)上，著手研究化簡(jiǎn)變數(shù)的二次型問(wèn)題，并證明 了特征方程在直角坐標(biāo)系的任何變換下不變性。后來(lái)，他又證明了個(gè)變數(shù)的兩個(gè)二次型能用同一個(gè)線性變換同時(shí)化成平方和。1851年，西爾維斯特在研究二次曲線和二次曲面的切觸和相交時(shí)需要 考慮這種二次曲線和二次曲面束的分類。在他的分類方法中他引進(jìn)了初等 因子和不變因子的概念，但他沒(méi)有證明不變因子組成兩個(gè)二次型的不變量的完全集”這一結(jié)論。

14、1858年，魏爾斯特拉斯對(duì)同時(shí)化兩個(gè)二次型成平方和給出了一個(gè)一般的方法，并證明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，這個(gè)化簡(jiǎn)也是可能的。魏爾斯特拉斯比較系統(tǒng)的完成了二次型的理論并將 其推廣到雙線性型。從解方程到群論求根問(wèn)題是方程理論的一個(gè)中心課題。16世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們解決了三、四次方程的求根公式，對(duì)于更高次方程的求根公式是否存在，成為當(dāng)時(shí)的 數(shù)學(xué)家們探討的又一個(gè)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題花費(fèi)了不少數(shù)學(xué)家們大量的時(shí)間和 精力。經(jīng)歷了屢次失敗，但總是擺脫不了困境。到了 18世紀(jì)下半葉，拉格朗日認(rèn)真總結(jié)分析了前人失敗的經(jīng)驗(yàn)，深 入研究了高次方程的根與置換之間的關(guān)系，提出了預(yù)解式概念，并預(yù)見(jiàn)到 預(yù)解式和

15、各根在排列置換下的形式不變性有關(guān)。但他最終沒(méi)能解決高次方 程問(wèn)題。拉格朗日的弟子魯菲尼(Ruffini,1765-1862)也做了許多努力，但都以失敗告終。高次方程的根式解的討論，在挪威杰出數(shù)學(xué)家阿貝爾那里 取得了很大進(jìn)展。阿貝爾(N.K.Abel,1802-1829) 只活了 27歲，他一生貧病交加，但卻留下了許多創(chuàng)造性工作。1824年，阿貝爾證明了次數(shù)大于四次的一般代數(shù)方程不可能有根式解。但問(wèn)題仍沒(méi)有徹底解決，因?yàn)橛行?特殊方程可以用根式求解。因此，高于四次的代數(shù)方程何時(shí)沒(méi)有根式解， 是需要進(jìn)一步解決的問(wèn)題。這一問(wèn)題由法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦全面透徹地給予 解決。伽羅瓦(E.Galois,1811

16、-1832)仔細(xì)研究了拉格朗日和阿貝爾的著作，建立了方程的根的容許”置換，提出了置換群的概念，得到了代數(shù)方程用根式解的充分必要條件是置換群的自同構(gòu)群可解。從這種意義上，我們說(shuō)伽 羅瓦是群論的創(chuàng)立者。伽羅瓦出身于巴黎附近一個(gè)富裕的家庭，幼時(shí)受到良好的家庭教育，只可惜，這位天才的數(shù)學(xué)家英年早逝，1832年5月,由于政治和愛(ài)情的糾葛，在一次決斗中被打死，年僅 21歲。置換群的概念和結(jié)論是最終產(chǎn)生抽象群的第一個(gè)主要來(lái)源。抽象群產(chǎn)生的第二個(gè)主要來(lái)源則是戴德金(R.Dedekind,1831-1916)和克羅內(nèi)克(L.Kronecker,1823-1891)的有限群及有限交換群的抽象定義以及凱萊(A.Kayley,1821-1895)關(guān)于有限抽象群的研究工作。另外，克萊因(F.Clein,1849-1925)和龐加萊 (J-H.Poincare,1854-1912)給出 了無(wú)限變換群和其他類型的無(wú)限群，19世紀(jì)70年代，李(M.S.Lie,1842-1899)開(kāi)始研究連續(xù)變換群，并建立了連續(xù)群的一般理論，這些工作構(gòu)成抽象群 論的第三個(gè)主要來(lái)源。1882-1883 年，迪克(W.vondyck