行列式的幾種求法

1、行列式的求法有多種，以下簡單進(jìn)行總結(jié)。、逆序定義法行列式的逆序法定義如下：如a12'ana21a22"a2n-*-an1an2"annj1,j2,(1).(j1,j2,，jn)aijia2j2anjn這里，ji,J2,.,jn為1,2,.,n的任一排列,T(jl,j2,.,jn)為該排列的逆序數(shù)，求和是對所有的排列求的，因此，該和式一共有n!項，每項都是n個數(shù)相乘，并得計算用于求行列式。但是,以下舉例如下：逆序數(shù)，計算量巨大。因此，一般而言，逆序法定義具有理論上研究的意義，而比較少如果行列式的項中有大量的0,那么用逆序法計算可能會很簡單。a11a22anna11解答

2、:a22、(_1)(j1,j2,，jn),a1j1a2j2anjnj1，j2,，jnann只當(dāng)j1=1,jn=n,其項才可能非零。因此,(1,2,.,n)0=(-1)a1,1a2,2an,n=(-1)a1,1a2,2an,n=a1,1a2,2an,n例2、求解答:d1j1,j2,jn只當(dāng)J1=n,J2=n1,(-1).(j1,j2.,jn)a1j1a2j2anjn,jn=1,其項才可能非零。因此,dnd2din(n_1)an,i=(-1)2did2dn。did2例3、求工dndndid2解答：dndn、(-i)(ji，j2,一1爐2'2anjnji,j2,jn只當(dāng)ji=2，j2=3,，

3、jn,=n,jn=i時，其項才能非零，于是did2八裔，3,4,.,n,n,i)一(一1)ai,2a2,3an,nan,i_(_1)d1d2dndndndn、按任意行或任意列展開a-iiai2a2ia22anian2ainGnna-n=Z(-1產(chǎn)Mij=£AjjmjMannnn='(-1)Mj='Aji=1i=1其中，Mj是原行列式劃去第i行和第j列所成的行列式，稱為i行j列位置上的余子式,Aj=（-11十M0則稱為i行j列位置上的代數(shù)余子式。至于各個Mj的計算，則繼續(xù)按照此遞歸定義計算下去。當(dāng)然，必須說的是，如果單純這樣做，計算量也是相當(dāng)之大的。不過，如果行列式中有

4、大量零，可以考慮這種方法（沒有零，就利用行列式性質(zhì)弄出大量零）。以下舉幾個例子：438例4、951。27643解答：952751=4765=423-352853=3607解答:例5、641545173032614145575=3父7276527656=2乂464345=-6父217這樣，|0"173=1父32634父523+4工27=1父356-53452163+2父52236+73=3-17）-43211-416=2x28-12+5x（-6）=144-1X736-5345214=-6父11+4父133=1756+736445=1乂（-41）-5父14+7父（-17）=-23017三

5、、利用初等變換求行列式利用初等變換求行列式是最常用的行列式求法。以下簡單舉幾個例子:例6、120011003004解答:1111例7、0abca100bc0010011-111111-1-101-11-2.001-22000-1-2-20abc2-a0bc2.2-a-b00c2,22-a-b-c000a100a100a100a100b010b010b010b010c001c001c001c001解答:222-(abc)四、遞歸法求行列式用遞歸法求行列式，必須尋找行列式的自相似結(jié)構(gòu)。以下講解幾個例題:例8、求解范德蒙行列式為2X111X2X322X2X31Xn2Xnn4n4n4X1X2X3n1X

6、nDnX12為X22X2X32X3Xn2XnX2-'X12X2-X1X2X3-'X12X3-X1X3n1X1n1X2n1X3nA.Xnn1X2n_2'X1X2n1n.2X3X1X3nn_2Xn一2X2-X1X2(X2-X1)X3-X1X3(X3-X1)Xn-KXn(Xn-X1)x2(X2-X1)X3(X3-x1)Xn(XnX1)=(X2-X1)(X3-X1)(Xn_X1)X2X3XnKX2-X1)(X3-X1).(Xn-X1)X2n_2X2n_2X3n_2XnX3Xn三%X1)(X3-X)(XnX.)Dnn-2X2n_2X3n-2Xn利用上述遞推公式，有Dn(X2-X1)(X3-X1)(f)Dn=(X2-)(X-X1)(Xn-)(X-X2)(X4-X2)(Xn通/二=區(qū)-X)(X3-X1)(Xn-Xj(X3-X2)(X4-X?)(人一%)(X-X3)(Xn-X3)(4=口(Xj-X)13.;:jn1X1X例9、求解行列式1Xa0a1an工an1X1X,則Xa。解答：記Dn書=一二工1anania.-x-x-x1-x+1=1m-xa0an1-x+1an/a11-x+