簡單計數(shù)問題

1、第一章4簡單計數(shù)問題 學習目標 1.進一步理解計數(shù)原理和排列、組合的概念.2.能夠運用原理和公式解決簡單的計數(shù)問題.欄目索引 CONTENTS PAGE 1 知識梳理 自主學習2 題型探究 重點突破3 當堂檢測 自查自糾4 4簡單計數(shù)問題知識梳理 自主學習知識點一排列組合綜合題的一般解法排列組合綜合題的一般解法一般堅持先組后排的原則，即先選元素后排列，同時注意按元素性質分類或按事件的發(fā)生過程分步.5 4簡單計數(shù)問題知識點二解決受限制條件的排列、組合問題的一般策略1.特殊元素優(yōu)先安排的策略；2.正難則反，等價轉化的策略；3.相鄰問題捆綁處理的策略；4.不相鄰問題插空處理的策略；5.定序問題除法處

2、理的策略；6 4簡單計數(shù)問題6.“小集團”排列問題中先整體后局部的策略；7.平均分組問題，除法處理的策略；8.構造模型的策略. 7 4簡單計數(shù)問題題型探究 重點突破題型一排列與組合的簡單應用例1(1)5個相同的球，放入8個不同的盒子中，每盒至多放1個球，共有多少種放法？解由于球都相同，盒子不同，每盒至多放一個球，所以，只要選出5個不同的盒子，就可以解決問題.這是一個組合問題.8 4簡單計數(shù)問題因此，5個相同的球，放入8個不同的盒子中，每盒至多放一個球，共有C 56種選法.9 4簡單計數(shù)問題(2)某項化學實驗，要把2種甲類物質和3種乙類物質按照先放甲類物質后放乙類物質的順序，依次放入某種液體中，

3、觀察反應結果.現(xiàn)有符合條件的3種甲類物質和5種乙類物質可供使用.問：這個實驗一共要進行多少次，才能得到所有的實驗結果？10 4簡單計數(shù)問題因此，共要進行360次實驗，才能得到所有的實驗結果.11 4簡單計數(shù)問題反思與感悟(1)解簡單的排列、組合應用題時，首先要判斷它是排列還是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出元素之間的順序有關，而組合問題與取出元素的順序無關.(2)要注意兩個基本原理的運用，即分類與分步的靈活運用，在分類和分步時，一定要注意有無重復或遺漏.12 4簡單計數(shù)問題跟蹤訓練1(1)5個不同的球，放入8個不同的盒子中，每盒至多放一個球，共有_種放法.解析由于球與盒

4、子均不同，每盒至多放一個球，所以這是一個排列問題.可直接從8個不同的盒子中取出5個盒子進行排列(即放球)，6 72013 4簡單計數(shù)問題(2)從1,2，1，2，3中任取不同的3個數(shù)作為二次函數(shù)yax2bxc的系數(shù)a，b，c，其中表示開口向上的拋物線的條數(shù)為_.解析a0，2414 4簡單計數(shù)問題題型二有限制條件的排列、組合問題例2將5個不同的元素a，b，c，d，e排成一排.(1)a，e必須排在首位或末位，有多少種排法？解按首位是a還是e分類計數(shù).第一類：a排在首位，那么e必須排在末位，中間三位是把b，c，d進行排列，一共有A 3216種排法.15 4簡單計數(shù)問題第二類：e排在首位，那么a必須排在

5、末位，中間三位是把b，c，d進行排列，一共有A 3216種排法.根據(jù)加法原理，a，e必須排在首位或末位，一共有6612種排法.16 4簡單計數(shù)問題(2)a，e既不在首位也不在末位，有多少種排法？解按照先排首位和末位，再排中間三位分步計數(shù).第一步：排出首位和末位.由于a，e既不在首位也不在末位，那么首位和末位是在b，c，d中選出兩個進行排列，一共有A 326種排法.第二步：排出中間三位.17 4簡單計數(shù)問題由于在a，b，c，d，e 5個元素中，已經(jīng)有2個元素排在了首位和末位，因此，中間三位是把剩下的3個元素進行排列，一共有A 3216種排法.根據(jù)乘法原理，a，e既不在首位也不在末位，一共有663

6、6種排法.18 4簡單計數(shù)問題(3)a不排在首位，e不排在末位，有多少種排法？解按照a是否排在末位分類計數(shù).第一類：a排在末位，此時e不排在末位，故一共有A 432124種排法.第二類：a不排在末位，此時可按照先排a，再排e，最后排b，c，d分步計數(shù)：19 4簡單計數(shù)問題第一步：a排在中間，有A 種排法.第二步：e排在除末位及a所占位置外的其余位置，有A 3種排法.第三步：b，c，d排在其余位置，有A 3216種排法.20 4簡單計數(shù)問題根據(jù)乘法原理，第二類有33654種排法.最后，根據(jù)加法原理，a不排在首位，e不排在末位，一共有245478種排法.21 4簡單計數(shù)問題反思與感悟排列與組合的綜

7、合問題，首先要分清何時為排列，何時為組合.對含有特殊元素的排列、組合問題，一般先進行組合，再進行排列.對特殊元素的位置有要求時，在組合選取時，就要進行分類討論，分類的原則是不重、不漏.在用間接法計數(shù)時，要注意考慮全面，排除干凈.22 4簡單計數(shù)問題跟蹤訓練2現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加上海世博會志愿者服務活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加.甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是()A.152 B.126 C.90 D.5423 4簡單計數(shù)問題答案B24 4簡單計數(shù)問題例3用0,1,2，9這10個數(shù)字.

8、(1)可以組成多少個5位數(shù)？解第一步：首位數(shù)字可以在19這9個數(shù)字中選取，有9種可能.第二步：其他4個數(shù)位可以在09這10個數(shù)字中選取，由乘法原理有10101010104種可能.最后，根據(jù)乘法原理，用0,1,2，9這10個數(shù)字，一共可以組成910490 000個5位數(shù).25 4簡單計數(shù)問題(2)可以組成多少個沒有重復數(shù)字的5位數(shù)？解采用分步計數(shù)的方法，先確定首位數(shù)字再確定其他數(shù)位.第一步：首位數(shù)字，可以在19這9個數(shù)字中選擇，有9種可能.第二步：其他4個數(shù)位，可以在剩下的9個數(shù)字中選擇，有A種可能.根據(jù)乘法原理，用0,1,2，9這10個數(shù)字，一共可以組成9 A 27 216個沒有重復數(shù)字的5位

9、數(shù).26 4簡單計數(shù)問題(3)可以組成多少個沒有重復數(shù)字且能夠被5整除的5位數(shù)？解能夠被5整除的數(shù)，末位有且僅有0或5兩種可能，分兩類進行計數(shù).第一類：末位是0，由于沒有重復數(shù)字，所以其他4個數(shù)位共有A 種可能.第二類：末位是5，對其他4個數(shù)位進行分步計數(shù)：第一步：由于首位不能為0，首位有C 種選擇.27 4簡單計數(shù)問題因此，用0,1,2，9這10個數(shù)字，一共可以組成5 712個沒有重復數(shù)字且能夠被5整除的5位數(shù).28 4簡單計數(shù)問題反思與感悟解決數(shù)字問題時，應注意題干中的限制條件，恰當?shù)剡M行分類和分步，尤其注意特殊元素“0”的處理.解決該類問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)

10、先滿足特殊位置，若一個位置安排的元素影響到另一個位置的元素個數(shù)時，應分類討論.29 4簡單計數(shù)問題跟蹤訓練3在當年甲型流感流行的情況下，某醫(yī)院將6名醫(yī)生分到4所學校進行防治工作，每所學校至少1名醫(yī)生，則不同的分配方案種數(shù)是_.解析先將6名醫(yī)生按要求分成4組，分組形式只能是1,1,1,3和1,1,2,2兩種，30 4簡單計數(shù)問題根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有分配方案65241 560(種).答案1 56031 4簡單計數(shù)問題 當堂檢測 自查自糾1.某電視臺連續(xù)播放5個廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告和2個不同的全運會宣傳廣告，要求最后播放的必須是全運會宣傳廣告，且2個全運會宣傳廣告不能連續(xù)播放，則不同

11、的播放方式有_種.解析先安排后2個，再安排前3個，由分步乘法計數(shù)原理知，共有 (種)不同的播放方式.3632 4簡單計數(shù)問題2.9名學生排成前后兩排，前排4人，后排5人，若其中某兩人必須排在一起且在同一排，則排法種數(shù)是_.解析利用“分類法”和“捆綁法”.即有70 560種方法.70 56033 4簡單計數(shù)問題3.5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員.現(xiàn)從中選出3名隊員排成1,2,3號參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有1名老隊員，且1,2號中至少有1名新隊員的排法有_種.(用數(shù)字作答)34 4簡單計數(shù)問題共有361248(種).答案4835 4簡單計數(shù)問題4.把9個相同的小球放入編號為1,2,3的三個箱子里，要求每個箱子放球的個數(shù)不小于其編號數(shù)，則不同的放球方法共有多少種？解分兩步第一步讓編號為1,2,3的箱子里分別放入1,2,3個球，放法只有一種.36 4簡單計數(shù)問題第二步把剩余的三球分類放入.第一類，每個箱子再放入1球有一種放法；第二類，有一個箱子放入兩球一個箱子放入一球，有放法A 種；第三類，將剩余三球放入一個箱子有三種放法