蘇教版八年級數(shù)學上冊勾股定理

1、第三屆全國中小學“教學中的互聯(lián)網(wǎng)搜索優(yōu)秀教學案例評選/參評教案設(shè)計課題：勾股定理蘇教版八年級數(shù)學上冊單位：江蘇省淮安市淮陰區(qū)開明中學姓名：王靜濤通訊地址：江蘇省淮安市淮陰區(qū)北京西路15號區(qū)開明中學：223300聯(lián)系：/2021、3、14蘇教版八年級數(shù)學上冊勾股定理知識目標1、體驗勾股定理的探索過程,了解勾股定理的多種證實方法.2、會運用勾股定理解決計算直角三角形簡單問題和實際的應(yīng)用.水平目標通過學生實際動口、動腦、動手的操作,經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)-歸納-驗證-應(yīng)用的數(shù)學體驗,從而培養(yǎng)學生數(shù)學推理、數(shù)形結(jié)合、綜合運用水平,進一步體會數(shù)學與生活實際的緊密聯(lián)系.情感和價值觀目標通過實例了解勾股定理的歷史和應(yīng)用,

2、體會勾股定理的文化價值,體會數(shù)學在生活實際的價值.利用互聯(lián)網(wǎng)百度搜索收集勾股定理的相關(guān)資料,讓學生感受到現(xiàn)代科技給人類帶來的方便,從而提升學生對未來科技的不懈追求和無限探索.學習重點探索和證實勾股定理,并能進行簡單的應(yīng)用學習難點多種方法證實勾股定理,利用互聯(lián)網(wǎng)百度搜索勾股定理的證實方法教材分析勾股定理是幾何中幾個最重要的定理之一,它揭示了一個直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系,它可以解決許多直角三角形中的計算問題,是解直角三角形的主要依據(jù)之一,在生產(chǎn)生活實際中用途很大.它不僅在數(shù)學中,而且在其他自然科學中也被廣泛地應(yīng)用.學情分析學生對網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用已經(jīng)普及,在平時的教學中,也經(jīng)常讓學生課前準備與教學內(nèi)

3、容相關(guān)的互聯(lián)網(wǎng)上的資料.小組合作學習教學模式下的課堂,學生能進行自主探究,互相討論,互相合作學習,師生能共同完成教學任務(wù),在這種教學模式下不斷提升學生課堂參與率,提升學生數(shù)學水平,所有學生的數(shù)學水平顯著增強.教法學法教法：創(chuàng)設(shè)-觀察-發(fā)現(xiàn)-歸納-驗證-應(yīng)用教學方法/學法：小組合作學習、自主探究法課前準備教師準備：多媒體課件制作,準備教學案,把學生分成合作學習小組學生準備：利用互聯(lián)網(wǎng)百度搜索勾股定理相關(guān)資料,課前制作四張全等直角三角形紙片,準備網(wǎng)格畫圖用紙教學過程一、情景導入小明的媽媽買了一部29英寸74厘米的電視機.小明量了電視機的屏幕后,發(fā)現(xiàn)屏幕只有58厘米長和46厘米寬,他覺得一定是售貨員

4、搞錯了.你能解釋這是為什么嗎你能在你的網(wǎng)格紙上畫出兩個直角三角形嗎要求一個直角三角形的直角邊長分別是3和4,另一個直角三角形的直角邊長分別是5和12.你測量一下這兩個直角三角形的斜邊長是多少你發(fā)現(xiàn)了什么今天我們就一起探索上述問題中有關(guān)直角三角形的勾股定理.設(shè)計意圖：第一個引例讓學生感受數(shù)學就在我們的身邊,激發(fā)學生學習的欲望和興趣,第二個引例用學生課前準備的網(wǎng)格紙,實際動手操作,親身感受直角三角形三邊的關(guān)系,也為下面勾股定理的證實做準備.二、探索和證實勾股定理活動1、勾股定理的導入勾股故事小組合作成果展示Bai<S7IS新畫網(wǎng)頁M/迫MF3ERM她圖人,畢隹吾柿斯定理白皮一下宗教團體曠達言

5、士力廝之理三.度吊斗在敕國,把自循三第瞪的兩自毫超能平行和等于科達的印方這一特性叫制與股定理革勾睨秣定理及都中沽苧M布亓拜城牛肝定理；Pytna9crasItioorem的竽達京中本耳中才2-2=丁24明7次牖然逑-蛔股擊理-金早的如用事酒用-格局轅茸罐與中旬t4k«trakiu,com'ViHW434659him2Q12-31D1955年希臘發(fā)行了一張郵票,圖案是由三個棋盤排列而成.畢達哥拉斯學派,它的成立以及在文化上的奉獻.郵票上的圖案是對勾股定理的說明圖1.希臘郵票上所示的證實方法,最初記載在歐幾里得的?幾何原本?里.問題：同學們,你能在剛剛網(wǎng)格紙上的兩個直角三角形畫出

6、類似的圖形嗎學生展示成果：例如圖/2問題：同學們,你發(fā)現(xiàn)正方形的面積之間的數(shù)量關(guān)系嗎?小組討論交流-小組代表發(fā)言-小組歸納結(jié)論學生歸納結(jié)論:以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和,等于以斜邊為邊長的正方形的面積.教師引導學生將“上面的面積轉(zhuǎn)化成三角形邊長的平方,歸納勾股定理的內(nèi)容:勾股定理:如果直角三角形兩直角邊長分別為即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.設(shè)計意圖：學生課前準備的在互聯(lián)網(wǎng)上百度搜集的資料進行展示,通過畫圖動手實踐,老師提出問題,學生小組討論交流,總結(jié)歸納勾股定理的內(nèi)容,讓學生感受從特殊到一般的數(shù)學變化過程和數(shù)學轉(zhuǎn)化的思想.問題：同學們,你能用手中的四個全等三角形

7、拼成一個大正方形嗎2、勾股定理的證實勾股故事二小組合作成果展示Baigf口度新1W1網(wǎng)頁貼口F0,癡伯MP3圖U一為地因市務(wù)|趙夷弦國|百度一下走了夾弓交因百口簾!中國金早前一部料學善作一一第同薜茸蟀?的開義記載首一F?用金向商高諳豺韻學知識的泗通：目芝同：“讓聽說如U,州學步.匿棺同,就歸清排一下：干二白串子可香,杷也.法用月孑去一股一收父重,那么忌憚才裾浮劇美干天地的城11厘扁位Miducnm/viRw128l162htm?O11-10-?4顯我國古代著名的“超夾弦圖的示意網(wǎng),它杲由四個至等的直冏1足就國古代假設(shè)名的“趙災(zāi)蠅圉的示意圉,它是由四個仝等的囪麗三角形國成的.假設(shè)AG-,BC-6

8、.將四個自序三諭形中邊區(qū)內(nèi)的宜麗也分別向外延區(qū)一倍,謁用圖勾股圓方圖圖3圖4趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖,用數(shù)形結(jié)合得到方法,給出了勾股定理的詳細證實.最早對勾股定理進行證實的,是三國時期吳國的數(shù)學家趙爽.如圖3,圖4,在邊長為c的正方形中,有四個斜邊是c的全等直角三角形,它們的直角邊分別是a,b.說明我國古代數(shù)學家趙爽在他所著的勾股圓方圖注中,利用這個圖證實勾股定理./問題：你能用這兩個圖形的面積證實勾股定理嗎小組合作討論證實過程-小組代表展示證實結(jié)果-其他小組點評/設(shè)計意圖：給學生一個開放性的問題,用課前準備好的四個全等直角三角形拼一大正方形,學生方法會有很多,選出代表性強的例子,讓學生完成

9、勾股定理的一種證實方法.小組合作學習可帶動小組的每個學生的參與,可用集體的智慧完成有難度的證實過程,老師引導學生用正方形和四個直角三角形的面積關(guān)系去證實結(jié)論.問題：同學們,還有其他勾股定理的證實方法嗎/各小組在準備的資料中查找其他證實方法勾股故事三(小組合作成果展示)百度拓同網(wǎng)再貼吧樂逼MP3圖片視癟地囹更筌.卜勾服定理證實方星一百度1F為股定理的證實力法探究百度文庫勾做定理自勺證四方汨蟀友-釵句股定理的證實方.金屏注為勾照定理又叫華氏定理一在一rs®三諸胞中荊達油長的平文瀉于陰圣白話邊邊關(guān)甲方之和.T京劇約141")!次wdnku.baidu.uoiriAdgMr/0Sc

10、fca80d4d8dl5abtf23.2021-4-18/眼立迎證即內(nèi)也圖Ldcic2頁例克.104力次紅雎定瞠16釉讓明77擊d口匚T中.刈臟gM,汽為IF定班的證理16種為灑一due3至刷照一19611次史典史睇相工必柏二勾質(zhì)定理的IO月方法勾捌至I里是初洋幾何電51一今星本定:理y這個定理占I,分幽殳的舊史,例F變斗束,這種S美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學史上被傳為佳話.G斗(ab)(ab)g(a22abb2)2a24b2abs2gabgab；c2ab1c26S22a24b2abab1c22,22abc問題：同學們,你能說說這些證實勾股定理的方法有什么共同特征嗎(小組討論交流-小組

11、代表發(fā)言-教師歸納總結(jié)：面積割補法,數(shù)形結(jié)合法)設(shè)計意圖：勾股定理證實是本節(jié)課的重點,用多種方法解決問題,開拓學生的思維.通過探索勾股定理證實的過程,以小組為單位合作交流,充分表達課堂中學生為主體,教師問題引導為主線,從而實現(xiàn)對主要知識點的探索.三、勾股定理的簡單應(yīng)用例題飛機在空中水平飛行,某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4000米處,過了20秒,飛機距離這個男孩5000米,飛機每小時飛行多少千米/四、根底穩(wěn)固練習填一填1、在RtABCK/C=901假設(shè)a=5,b=12,那么c=、;2b=8,c=17,貝US3b=.2、以下各圖中所示的線段的長度或正方形的面積為多少.注：以下各圖中的三角形均

12、為直角三角形3、如圖,所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的邊長為7cm那么正方形A,2B,0,D的面積之和為cm學生獨立思考完本錢環(huán)節(jié)問題,以學生口答和上黑板演示過程為主設(shè)計意圖：例題是前后照應(yīng),解決實際問題,表達了數(shù)學來源于生活,又效勞于生活,練習第1、2題是勾股定理的直接運用,意在穩(wěn)固根底知識.練習第3題是拓展性問題,本環(huán)節(jié)意在培養(yǎng)學生“用數(shù)學的意識.運用數(shù)學知識解決實際問題是數(shù)學教學的重要內(nèi)容.五、課堂小結(jié)問題：這節(jié)課你學到了哪些知識和數(shù)學思想方法?你對這些知識有什么感悟,體會到了什么?小組討論交流-小組代表發(fā)言-教師總結(jié)歸納思想方法：面積法,特殊-一般

13、-特殊,數(shù)形結(jié)合等六、課后練習1、如圖,在NAB計,/ACB=9qAB=5cm,BC=3cm,CAB與D,求：1,AC的長；2/ABC勺面積；3CD勺長.2、要登上8m高的建筑物,為了平安需要,需使梯子底端離建筑物6m至少需要多長的梯子畫出示意圖上,且與AE合,你能求出CD勺長嗎?3、如圖,有一個直角三角形紙片,兩直角邊AC=6cmBC=8cm現(xiàn)將直角邊AC沿直線A所疊,使它落在斜邊AB設(shè)計意圖：課后練習作業(yè)設(shè)計包括了三個層面：作業(yè)1是為了穩(wěn)固根底知識；作業(yè)2是會畫圖用勾股定理解決實際問題,擴展學生的知識面；作業(yè)3是為了拓展思維,進行課后小組合作探究而設(shè)計,通過這些題目可讓學生進一步熟悉和掌握

14、勾股定理.七、課后教學反思數(shù)學來源于生活,來源于實踐,讓生活中處處有數(shù)學的思想走進我們的課堂,進一步增強“書本世界與學生“生活世界的聯(lián)系,改變學生學習數(shù)學蒼白無味的狀態(tài),給數(shù)學課堂增加“營養(yǎng).讓學生根據(jù)數(shù)學上的問題到現(xiàn)實世界中去尋找生活素材,讓數(shù)學貼近生活,用具體、生動、形象、可感知的實例來解釋數(shù)學問題,使學生體會到數(shù)學的價值.反思本節(jié)課,在內(nèi)容上關(guān)注生活素材,讓學生在具體的情境中發(fā)現(xiàn)、使用勾股定理.在教學過程中利用互聯(lián)網(wǎng)百度搜索給出幾種著名的證法和勾股定理的相關(guān)歷史,感興趣學生的課前探索,感受到數(shù)學證明的靈活、優(yōu)美與精巧,感受勾股定理的豐富文化內(nèi)涵.這一課的學習主要通過創(chuàng)設(shè)情境-發(fā)現(xiàn)問題-小

15、組討論-成果展示-組問點評的小組合作學習課堂教學模式,讓學生自主地探索知識,從而將其轉(zhuǎn)化為自己的,真正做到了先激發(fā)興趣,再合作交流,最后展示成果的自主學習.小組合作學習要尊重學生意愿,合理組建合作學習小組；任務(wù)明確,落實到人,分工合作；把握小組合作學習的時機；給弱勢群體以更多的關(guān)心,給予更多的時機.小組合作學習并不是僅僅意味著安排學生按小組坐在一起去完成一個任務(wù),他需要教師對小組活動過程的各個方面,尤其結(jié)合學科的特點給予認真地思考和關(guān)注.合作學習是學生的一種學習方式,同時也是教師教學的一種組織形式,學生的合作是否有效,同教師的參與與指導是分不開的.因此,在學生開展合作學習的時候,教師不是&qu

16、ot;袖手旁觀",而是微笑著走到學生中間去,在組間巡視,對各個小組的合作進行觀察、參與和幫助,對各小組合作的情況、討論的情況做到心中有數(shù)！同時,針對學生合作中出現(xiàn)的各種問題進行及時有效的指導,幫助學生提升合作技巧,順利完成學習任務(wù).或?qū)﹂_展得很順利的小組予以及時的表揚；對合作交流中偏離主題或遇到困難的小組提供及時的點撥；對完成任務(wù)的小組進行檢查等等.學生的小組合作學習有了教師的參與與指導,防止了"華而不實的無效合作場面,學生的合作更得法,交流更有效！新課程標準的課堂教學要讓學生作為課堂教學的主體,參與到課堂教學中來,充分展現(xiàn)自己的個性,施展自己的才華,使學生在參與和體驗的過

17、程中真正成為學習的主人,養(yǎng)成勇于探索、敢于實踐的個性品質(zhì).在本節(jié)課的設(shè)計上,也很好地表達了這一點,教師用可題引導方式使學生主動探究勾股定理的內(nèi)容,發(fā)揮學生的主動性,課堂效率有了明顯提升.2222222經(jīng)典例題透析類型一：勾醐京理的吉接用法L在RtAMC中,ZC=P(T*1)Fdu-10,求thQ)干M,h=P.求贄(3)己知-力,t二力求*思路由摧；寫解的過程中.一定要先寫上在哪個宜第二南處.注意勾股定理的變施使用.球所:(1)在A3sc中,/c=g(r,*6,-8(22在ZLABC中,ZC=M0,a=40,b=?Fc=V0+6_=41(3)在ZiAB二中,ZC=30°!c=25；b

18、=戌a=/一4=20舉一反三【變式】：如圖上出入467刀口",應(yīng)取舊UX】*f那么AE的長是務(wù)小【督奚】.乙AI>=J3r二gw-AjlAL-CD2=Z5U又,上ABC=9臚且由勾照定理可得AB2-ajC?-BC2=)6二出二4,AB的長是4好文gL讓好朋友也#pII類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2、如圖,已如；在MBC中.Z3=60°a4C=70.JS=30求；陽的長思路點捻由條件打二60°,想到構(gòu)造含3儼角的直角三南形,為此作出H5C于d,那么有3D=-A5=15二彈,2再由勾股定理計算出工值床的長,進而求出作的.：作/DJ加于口310/5=60°

19、,IBD=AS=15:在%A中,如果一個稅角等于3N.朋.二9儼-6伊二初,(必A的兩個現(xiàn)甭互余：-I那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).根指嗯定理在她日中,AD=荷丁=物下=1功根據(jù)幻腔定理,世她C二中,cd=Vac2-ad1=3'-15=65/.找=劭+兇=65+15=80A里【變式1】如圖,；NC=9此AM=CM,MPLAB求證：BP*=AP+BCB解析：連結(jié)b此根據(jù)勾股定理,在必A3MP中,BP2=BM2-PM2.而在此M旅中,那么根據(jù)勾股定理有成二A/-A尸；沖=BM2-(AM2-AP2)=BM2-AM2+AP2又；AM-CM(),二刎二必+W胃在也LBCM中,根據(jù)勾股定理有

20、bm'-cmFcL,即c2+川.【變式己如t如圖,Z：B=Zli=9D*,ZA=cO".AB=4.CO=2,求！四邊制魚EC口的面枳.分析：如何構(gòu)造苴角三招北是解本逮打先鍵,可以連結(jié)AC,或延長DC交干F,或延長AD、EC交于點E,根據(jù)本也給定的片應(yīng)選后的神,送一步投據(jù)此題給定的邊選第三種較為荷聿工解析；延長AI>、DC交于員,/ZA=Z60QpZ&-5C",二/即30°o,AE-2AD-3,CE>2CD-4,.BEa-AEaAB1343M8pBE-48-4(3w",DE1=匚Ecrf=日與工.二CE二加J版二Eaeb=Sa5

21、em二口廠2AB/BE2CDLDE-類型三二勾股定理的實際應(yīng)用用勾股比理求兩點之間的距離問跑圖所示,在一次夏令營活動中,小明從營地玷出發(fā),沿北偏東«D*方向走了和05nl到達B點,然后耳沿北偏西卻,方向走了劉Um到達目的地C點.求.兩點之間的距離,2確定目的地C在營地A的什么方向口蟀所二口過B點作EE7/AD/.ABE=t50°'.'3d+ZCBJA+ZABE>180*ZCBA=50°atlAABC為直角三芾形由可得;BOOClnijAB=5M晶由勾股定理可得：AC3BCJ+AB'所以AC=7BC2-hAB3=J5O(PM5Ho石A=

22、00i0(m)(,)在RtAABC中,BC=5箕m,AC=1000m/.ZCAB=30°ZDAB=d0"-'1ZDAC=SO*即點C在點A的北偏東3Q0的方向【變式】一輛裝滿貨物的卡車,其外形高小米,寬1.6米,萋開進廠門形狀如圖的某工廠,問這輛卡車能否通這嚎工廠的廠門?【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通只要看當卡車位于廠門正中間町其高主是否小于CFL如下圖,點D在離廠門中線0.3米處,且CD_LA3,與地面交干H.解：OC=l米大門寬度一半,口0=口,米卡車寬度一半在RtAOCD中,主勾殷定理瘴:Cc=7oc3-O=jl3-O=o6?hiCH=0E+NY=29米：

23、>251米.因比高度上有J米的余量,所以卡車能逋過廠門,C二用勾股定理求最短問題4、國家電力總公司為了阪善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀,目前正在全國各地農(nóng)村進行電眼改造,某地有四個村莊*B.CD.且正好位于一個正方形的四個頂點.現(xiàn)方案在四個村后里合架設(shè)一梟統(tǒng)滕,他們設(shè)計了四種架設(shè)方案,如圖實戰(zhàn)局部,請你幫助計算一下,哪種架設(shè)方菜最省電戰(zhàn),(1)(2)(3)(4)里路點撥；解答此題的用路是；最省電線就是畿般長最短,通過利用勾股定理計算然路長.然后進行比擬,程出結(jié)論.翩h設(shè)正方形的邊長為1,那么圖1X圖2中的總線路長分別為AB+SC+CD-3-AB+BC+CD-3圖門中在RtAABC中心商+B?二

24、也同理陽二也,圖中的脂箱長為2亞比2122圖中,延冬EF交時于H,IljFHIBC.BH=CH3人腑=!fiZFBH-2及勾股定理得：R刖=也EA=ED=FB=FC=36,比圖中總統(tǒng)路的長為4EA+EF=1+右總2,73273>2,823>2.732,圖4的連懶疆短,apu的架設(shè)方斐最省電統(tǒng)舉一年【虹】如鼠,一圓柱體的噴面周長為加,高AE為4mI,BC是上底面的直置.一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱的1W面照行到點C,試求出爬行的最蔻路程.提問：勾股定理;,AC=d"+8L=M+10,=2您之1M；7cm?勾股定理?.答：最通礙程均為-0.71cm-類型四：利用旬股定理作長為人

25、的坡段5.的蜷段.用路點撥二由勾股定理得直傳邊為1的等腰直角三自順斜邊長就等干戊f直角邊為啦和1的直角三角形斜邊作法：如下圖作直串達會.t單位長、抖等腰豆耆£¥,使A.B為耕邊:<2以AB為一條直角邊,作另一直角邊為：的直用叫風斜邊為44門順次這樣做下去,最后做到直角三角形班這樣斜邊幺反加I、42,配3的長度就是M叔4反舉一反三【變式】在數(shù)軸上表示抓的點,解折:可以把血看作是直角三角形的斜邊,伽了t°,為了有利于畫西讓其他兩邊的長為整數(shù),而1.又是9和】這兩個完全平方數(shù)的和,得另汴兩邊分別是3和k作法：如下圖在數(shù)軸上或到A點,使OA=3,作ACJ.0A且截取

26、AC=1,以O(shè)C為半徑,以.為圓心做弧,張與數(shù)軸的交點B即為而©類型五.遺命題與句股定理逆定理僅寫出以下原命題的逆命題并判斷是否正確1 .原制愚君有四川腳,正確2 .原翁題：對頂角相等正確3-腌題編垂直平分線上的意到這條線段兩端距離相等.正確4.原命題：角平分線上的點,到這個角的兩郵E高相等.正確思路點提掌握原命題可逆命題的關(guān)禮Of：1.逆命題二有四只腳的是貓不正確2逆俞題：相等的角是對頂角?不正確3,逆命題；到線段兩端臣高相等的點,在這條戌段的垂直平分或匕,IE破4.逆命題：到儡兩邊距離相等的點,在這個角的平分線匕正端總結(jié)升華：此題是為了學習勾股誕的逆命題做準備.7、如果AABC的

27、三邊分別為a.h口且滿足各七%由0=6h鴕+1g判斷AABC的形狀.睇點摭要郛斷A型的形狀稼憫一、c的關(guān)急而題腫只有某件抖再凸5月小+1%油只有從該條件入手,解決問題.解析：由aa+ba+caD=6a+8lrlQci得：京名第升b“H16+Wlk+25=0,Jg0-41©冷必；®獷妾0,巾4泡網(wǎng)彩%*a-3jbNlS.V/+一,J+#二說擋勾般定理的定定理,得2ABC是直角三俅形.總結(jié)升隼：勾股定理的逆定瑁是通過數(shù)量關(guān)系祠究圖形的便置關(guān)系的,在證實中也常要用到.舉一反三【變式1】四邊形ABCD中,NB二如'AB=3,BC=4,CD=12,AD=ll求四邊形處CD的面

28、茄.【答案】耕AC7/6=93*,AB=3,BO4.AC2=AB：+BC7=25?勾股定理?,角cl匚D：=1嚇,AP=1«9-.k'cdLad?眥般皿二+"UCD-A££Ci-ACCD=36.ZACO?勾股定理逆定理:【變苴2已如4dB的三邊分別為小一白加力M%?限力為正整數(shù),且判斷AABC是否為直第三弟形.分析:此題是利用勾歿定理的的逆定理只要證實/+憑一即可證組：,-才y+加娟="d'+/+4aA?=博,/y所以區(qū)才總是直角三角形.【受式3如圖正方形ABCdE為BC中點,F為AB上一點,且BF=4aB.請問FE與DE是否垂

29、直?請說用心隋案】#:DE1EF,證先餃BF=ai那么BE=EC=2&AF=3%ABIa,/.EF"二BF十BE二a+4a二5aiDE3=CE3+CDJ=4aJ+1/二即a)謝DF(如卻DF&F,AD、99+：/二乃上.'.df3=eAd3FElDEo經(jīng)典例題揩析類型一：勾股定理及其逆定理的根本用法k假設(shè)直角三帶形兩直角邊的比是3：4,斜邊長是即,求此直角三弟形的面積.思雷點撥！在直角三用形中知道兩邊的比值和第三邊的長度,求面積,可以先通過比值麻如數(shù),再根據(jù)勾股定理冽出萬程,求出來知數(shù)的值進而求面糧.解析:設(shè)此直角三房形兩直角邊分別是3z-犯,根毋題意將:t3

30、l)a+(4a)a=2Da化簡-si=16j.直角三角形旅面積=2,稔="=%總結(jié)升華；直第三席形邊的有關(guān)計算中,常常要設(shè)料1翔格后用與股定理列方程(組)求解.舉一反三【變式J等邊三靠形的邊核為2,求它的面積.【答案】如圖,等這AABC,作ACUBC干D注：等邊三魯形面根公式：假設(shè)等邊三角形邊長為a那么其面積為4那么：BD=2BC(等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合)：AB=AC=BC=2(等邊三角形各邊都相等)在直角三南形小口中,A=AD3+BDaJ即：J32=AB2-BD2=4-：=3EAD=A1Sc=2虹片打【變式2】直常三角形周長為12cm斜邊長為5cm求直角三角形的

31、面積口【答案】彼此直角三角形兩直角邊長分利是七y,根據(jù)題看得：卜+J+5T2(1)"六,Q)日得：x+y=7,(好y/=49,辦2即+區(qū)二490)(>(2),豫到二Q11二的三勵怖被2到=2=6(/)【變式可走嗔角三角形的三邊長令剔是向,口以口埒求ri,麒點捻首糠詢定觸(最長的邊)長什3,航利用跚定顫熠求解.,此直角三角形幽邊長為04由勾院理可得(ntl)'+(n+2)a=(n+3)3化簡得：d4,產(chǎn)±2,且當產(chǎn)一2時,1=-1<0,：,11=2斯升華：睛靛三覦柵喧角邊的平方樽于魂訶妒方,在膽賄給出哪繇直角迦僚掰迪的翩下,首先要先雕斜邊,直角也【變式4以

32、以下各瞰為邊長,能組成直自三角形的是(：A8,15,17B、45,iM5,C1(D、CQ40解機憾可直接用勾股定醐鰥理來進行判斷對效雕大的可以肌,卬械版/47=(c-a)(C4a)一甑例如；對于選擇D,7豐(40+39)5(40-39),以備3940為速長不懶噓角三角捌觸似尷其債鼠【咨都A【翅5】四iABCD中,4=9,AB4BC4CD=12,AD=13,1四跳ABCD的郵,解:麟AC,：ZB=9DeiAB=3,BCM二壯AE?+B也5?勾般定理)：.AC=5:必必69,AD2=16S二驍歸宿皿*"ACD=9(勾股定理豌理)11四疔$o=A?BC+2AC2CD*翹二,勾股定理的應(yīng)用2

33、、如圖,公踣MN和公路PQ在點P處交匯,且NQ卬=3,點A處有一所中氧班=16也,假設(shè)拖拉機行駛It-周圍I.恤以內(nèi)會受到噪音的最咻那么拖拉現(xiàn)在公路MN上沿PN方向行駛歸學校是否會受期重更嵬曲靖說用理由如臭愛影響,巳如拖粒機的速度為IBhwh,那么學枝爰影響柳目為多少秒Kpo麒點摭口：野撕拖拉機的腦是否影髀枝兒期上是看A到公翻蹣是否小于1加什門帕那么受歌團大干皿由那么不翅臉枷健嫌AB并計算其技阻要求出學校需響的耐拆題求施枝彬悖校兒的聊旃駛的用苗因此螂找到糕機行至哪一點升域解行至哪一點詢糕響學柢解析作AB1IM垂足為樂在M&ABF中1；/ABP=9U",ZAPB30°

34、/P=：60-):,ab2ap=80o(在直南三危形中,3r所對的直僖邊等琮邊的一半)；點A至恒線MN的距離小于100叫,這所中學會受郛唳聲的金喉如圖,假役拖拉機在公潞MNlffiPN方向行駛到點C處學校不始受到耿虬那么AC=MQ(m),峋險定理得；I?=面用痂；BC=60(瞋拖拗桁駛到點D處翻開郵離題南郎么,AD=10響,BD=SO(fli),：.CD=120(m)fl拖拉機行醐IO18kTn/h=5m's尸120m+5血尸24弘答:拖拉機在會解MN上沿PN方向俺時,甥鍬到嚏聲珈,翔麹醐時間為24機總結(jié)升華:勾腕理是求我段嵌度雒重要的方法,假設(shè)國械少直解件那么可我過作醐垂娜施榷直角三

35、角形嫩利用勾段定電他們僅僅少走了螭d根設(shè)2步為m>.卻踩埼了花宜.解析：他們想來走的路為"4=血舉一反三【變式I】如圖學校有一塊長方形花園,有極少數(shù)人為了避產(chǎn)揭隹而走“捷徑,在花園內(nèi)走出了一條“路,談走"捷徑"的路長為sm,那么工i/3rMI=5故少走的周長為7-5=2m又由于2步為一所以他朽仗愎少走了4步樨.【答案】4:變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形同格,它的每一個小三角形都是邊長為1的三三角形.這樣的三角形秣為單凝三啟形口U直接寫出單位正三角形的高與面積占5圖中的平行四邊形AECD含有多少八單但正三角形平行四邊形4%D的面積是多少；3求出圖中

36、線較AC的長可作情助娃.出幾色色【答案】1單位正三角形的高為3,面積是了24o24X=6732如圖可直接得出平行四邊形AICD含有24個單位正三帶形,因此其直枳4,一忒L邛一?過A作AK_LBC于點K如所示,那么在RtAACK中Y/.KC-1+14-AC=jAldJ孚+；=而22,故八,類型三：數(shù)學思想方法一轉(zhuǎn)化的思想方法我們在求三角形的邊或角,或進行都論證在常常作唾籍,杓造直角三角形,隼可題轉(zhuǎn)化為直角三角非問題來解決.工如下圖,AABC是等鹿直麻三帶布,AB二似LD是斜邊BC的中昂E、F分制是AE、且C邊上的點,且DEIDEB*12"F41線段EF的長S思路點推：現(xiàn)己知CF,要求E

37、F,但這三條線段不在同一三角形中,所以關(guān)鋌是線段的轉(zhuǎn)11匕根據(jù)直角三角形雕征三角彩的悔有特知性質(zhì),襁先連接0解：般AD.由于NEAC=SQ',AB=aC.又由于Q為心比.的中線:AD=DC=DB.AD1BC.且/BA*NC".由于/江密/衣0尸=9/,又由于/CDF+/ADF=9r.所以NELA二NCDF,所以AAEDMACFD(ASA/折以AkFC=5,觸AF=EEL2*在批AAEF中p根解股定理悻；料網(wǎng)招小明停所以EF=0D總城升華：比題考直了等腰直角三禽無性質(zhì)及勾股定理等如眼.通過此翳我們可以了番當己知的線段相所求的線段不在同一三角形中時,應(yīng)通過適當?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一

38、直.南三角形中求解,施的瞞旅4如下圖,改AABC中,Zc=9f1a+0+1MbJ觸思齡點揀由葉卜升十,再找出4、0的關(guān)解阿求出一的富解；在必ABC中,ZA=SOd,ZB=900NA=31,那么啰由勾股定電得由于前二3+亞硼業(yè)+6二升收b舉邛積1,昨物=&岳3,c=2&=20總結(jié)胖;蛙角三角形也酎的銳赫所邨勘邊是斜郵-七舉一尼"麥式】如下圖躥矩搠一邊如,觸D蹄BC邊的啟F處酶AB士血BC=10cm,tEF的長口解;由于&KDE與AAFE關(guān)于您對機所以A>AF,DE>EL由于四邊形ABC是矩瓶m/B=ZC=909,在RlZkABF,_AF/D=B,1Q

39、皿AE=Scm?所以那二“0、沙二7二6(族).所以內(nèi)二犯-鄧二106二軟吐期二甌那么即二龍二陽燦.在RiAECF中,妒+游二那即'+*=("±解得1=30朗=DE=-i)cm=5cm琳回的長為5皿33333勾股定理知識點一：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方.(即：a2+6=c2)要點詮釋：“勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系,是直角三角形的重要性質(zhì)之一,其主要應(yīng)用：(1)直角三角形的兩邊求第三邊(2)直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系,求直角三角形的另兩邊(3)利用勾股定理可以證實線段平方關(guān)系的問題知識點二：勾股定理的逆定理如果三角形的三邊

40、長：a、b、c,那么有關(guān)系a2+t2=c2,那么這個三角形是直角三角形.要點詮釋：用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形應(yīng)注意：(1)首先確定最大邊,不妨設(shè)最長邊長為：c；(2)驗證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系,假設(shè)c2=a2+b2,那么/XABCM以/C為直角的直角三角形(假設(shè)c2>a+t2,那么zXABCM以/C為鈍角的鈍角三角形；假設(shè)康撲6,那么ABC%銳角三角形).知識點三：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理,而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反,都與直角三角形有關(guān).知識點四：互逆命題的概念如果一個

41、命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題,那么另一個叫做它的逆命題.規(guī)律方法指導1 .勾股定理的證實實際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證實的.2 .勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系,可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目.3 .勾股定理在應(yīng)用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊,這是這個知識在應(yīng)用過程中易犯的主要錯誤.4 .勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a,b,c有以下關(guān)系：a2+t2=c2,MB么這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法.5 .?應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個

42、三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數(shù)運算通過學習加深對“數(shù)形結(jié)合的理解.我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題,那么另一個叫做它的逆命題.例：勾股定理與勾股定理逆定理勾股定理練習一.填空題：1 .在RtABg,ZC=901假設(shè)a=5,b=12,貝Uc=2b=8,c=17,MSaab=2 .假設(shè)一個三角形的三邊之比為5：12：13,那么這個三角形是按角分類./3 .直角三角形的三邊長為連續(xù)自然數(shù),那么其周長為./4 .傳說古埃及人曾用m拉繩的方法畫直角,現(xiàn)有一根長24厘米的繩子,請你利用它拉出一個周長為24厘米的直角三角形那么你拉出的直角三角形三邊的長度分

43、別過_厘米,厘米,厘米,其中的道理是/5 .命題“對頂角相等的逆命題為它是命題.填“真或“假6 .觀察以下各式：32+4二日；82+£=16152+8=172;242+12=26"；你有沒有發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律請用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出接下來的式子：07 .利用四個全等的直角三角形可以拼成如下圖的圖形,這個圖形被稱為弦圈最早由三國時期的數(shù)學家趙爽給出的.從圖中可以看到：大正方形面積=小正方形面積十四個直角三角形面積.因而c2=+,化簡后即為c2=J.B8一只螞蟻從長、寬都是3,高是8的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點,那么它所行的最短路/線的長是.二.選擇題：9.觀察以下幾組數(shù)據(jù):18,

44、15,17;27,12,15;312,15,20;7,24,25.其中能作為直角三角形的三邊長的有組A.1B.2C.3D.410 .三個正方形的面積如圖,正方形A的面積為A.6B.4C.64D.811 .直角三角形的兩條邊長分別是5和12,那么第三邊為A.13B.E9C.13或59D,不能確定/12 .以下命題如果a、b、c為一組勾股數(shù),那么4a4B4c仍是勾股數(shù)；如果直角三角形的兩邊是5、12,那么余邊必是13;如果一個三角形的三邊是12、25、21,那么此三角形必是直角三角形；一個等腰直角三角形的三邊是a、b、c,a>b=c,那么a2：b2：c2=2：1：1.其中正確的選項是A、RG

45、、,D13 .三角形的三邊長為a+b2=c2+2ab,那么這個三角形是A.等邊三角形；B.鈍角三角形；C.直角三角形D.銳角三角形.14 .如圖一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行,另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行,離開港口2小時后,那么兩船相距A、25海里B30海里G35海里D40海里15 .等腰三角形的腰長為10,一腰上的高為6,那么以底邊為邊長的正方形的面積為A、40B80G40或360D.80或36016 .某市在舊城改造中,方案在市內(nèi)一塊如下圖的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境,這種草皮每平方米售價a元,那么購置這種草皮至少需要A、450a元B

46、225a元G150a元D.300a元第16題圖第14題(A) CDEFGH(.ABCDGH(B) ABEFGH(D)ABCDEF17 .如圖1,在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標有ABCDERG叫條線段,其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是18 .1在數(shù)軸上作出表示近的點2在第1的根底上分別作出表示1-J萬和物+1的點19 .有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門,如果把竹竿豎放就比門高出尺,斜放就恰好等于門的對角線長,門寬4尺,求竹竿高與門高.20 .一架方梯長25米,如圖,斜靠在一面墻上,梯子底端離墻7米,1這個梯子的頂端距地面有多高2如果梯子的頂端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑動

47、了幾米/第20題圖21 .如圖5,將正方形ABC折疊,使頂點A與CM上的點M重合,折痕交ADTE,交BCfF,邊AB折疊后與BC&交于點G如果M為CM的中點,求證：DEDMEM=34:5.3、如下圖,ABCM等腰直角三角形,AB=ACD是斜邊BC的中點,E、F分別是ABAC邊上的點,且DELDF假設(shè)BE=12CF=5求線段EF的長1、如圖,這是一個供滑板愛好者使用的U型池,該U型池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱而成,中間可供滑行局部的截面是半徑為4m的半圓,其邊緣AB=CD=20威E在CD±,CE=2m邊緣局部一滑行愛好者從A點到E點,那么他滑行的最短距離是多少?的厚度

48、可以忽略不計,結(jié)果取整數(shù)/h2、將一根24cm勺筷子,置于底面直徑為15cm杯中,如圖所小,設(shè)筷子露在杯子外面的長度為hcm那么h的取值氾圍是.Ah<17cm/B.hi>8cmC.15cmCh<16cmD.7cmCh<16cm3、如圖,在RtABC中,A90,D為斜邊BC中點,DEDA4、如圖,在等腰直角ABC的斜邊上取異于B,C的兩點E,EF,BE,CF為邊的三角形是直角三角形./EB高8cm的圓柱形水F,求證：EF2BE2CF2F,使EAF45,求證：以5、如圖,在ABC中,BAC22_2BD2CD22AD290,ABAC,D是BC上的點,求證：A/K/第章?勾股定

49、理?測試題一、選擇題：每題4分,共40分1、以下四組數(shù)據(jù)不能作為直角三角形的三邊長的是A.6、8、10B,5、12、13/C.12、1&22D,9、12、152、將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數(shù),得到的三角形是圖A鈍角三角形B、銳角三角形C、直角三角形D、等腰三角形3、如圖1,帶陰影的矩形面積液平方厘米丁A9B.24C.45D.518厘米4、如果梯子的底端離建筑物5米,13米長的梯子可以到達該建筑物的高度是A.12米B.13米C.14米D.155、等腰三角形的一腰長為13,底邊長為10,那么它的面積為6、一直角三角形的木版,三邊的平方和為1800cm那么斜邊長為A80mB、30m

50、C、90mD、120m7、等邊三角形的邊長是10,它的高的平方等于8、直角三角形的兩直角邊分別為5厘米、12厘米,那么斜邊上的高是A6厘米B、8厘米C、80厘米D、空厘米13139、RtaABg,/C=90,假設(shè)a+b=14cmc=10cmMRtABC勺面積是A、24cmB36cmC48cm、D60cm10如圖,在直角三角形中,e90°,AC=3將其繞B點順時針旋轉(zhuǎn)周,那么分別以BAB勃半徑的圓形成一環(huán),該圓環(huán)的面積為A、B、3C、9D、6二、填空題：每題3分,共15分11、zdABCfr,假設(shè)At+AB2=BC2,那么/B+ZC='12、假設(shè)三角形的三邊之比為3：4：5,那

51、么此三角形為三角形.13、如圖,所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其彳中最大的正方形的邊和長為7cm那么正方形A,B,C,D的面積之和為2cm15、正方形的面積為100平方厘米,那么該正方形的對角線長的平方為、解做題：共45分16、如圖,從電線桿離地面6m處向地面拉一條長10m的纜繩,這條纜繩在地面的固定點距離電線桿底部有多遠6分18、小明想知道學校旗桿的高,他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1m當它把繩子的下端拉開5m后,發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面,那么旗桿的高度是多少7分19、19.如圖正方形網(wǎng)格中的9BC假設(shè)小方格邊長為1,請你根據(jù)所學的知識1求AABC勺面積判斷4AB久什么形狀

52、并說明理由.8分20、如下圖,折疊長方形一邊AD點D落在BC4白t點F處,BC=1配米,AB=8®米,求FC的長.7分22、8分中國古代的數(shù)學家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理,而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證實.最早對勾股定理進行證實的,是三國時期吳國的數(shù)學家趙爽.趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖,用形數(shù)結(jié)合的方法,給出了勾股定理的詳細證實.在這幅“勾股圓方圖中,以弦為邊長得到正方形ABD是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的.每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b-a,那么面積為b-a2.于是便可得如下的式子：總角?以=/="'十4x彳

53、口右/“口+二產(chǎn)/1你能用下面的圖形也來驗證一下勾股定理嗎試一試!2你自己還能設(shè)計一種方法來驗證勾股定理嗎?一、選擇題1 .一個Rt的兩邊長分別為3和4,那么第三邊長的平方是或25/2 .以下各組數(shù)中,以a,b,c為邊的三角形不是Rt的是/=7,b=24,c=25=7,b=24,c=24=6,b=8,c=10=3,b=4,c=53 .假設(shè)線段a,b,c組成Rtz,那么它們的比可以是/：3：4：4：6/：12：13：6：74 .,一輪船以16海里/時的速度從港DA出發(fā)向東北方向航行,另一輪船以12海里/時的速度同時從港DA出發(fā)向東南方向航行,離開港口2小時后,那么兩船相距5 .如圖,正方形網(wǎng)格中的小BC假設(shè)小方格邊長為1,那么ABCMA.直角三角形/口口ILLMbB.銳角三角形一一二*c.鈍角三角形t±zD.以上答案都不對,/6 .如果Rt的兩直角邊長分別為n21,2n其中n>1,那么它的斜邊長是+1+17 .RtABCfr,/C=90,假設(shè)a+b=14cmc=10cm貝URtABC勺面積是8 .等腰三角形底邊長10cm,腰長為13,那么此三角形的面積為9 .三角形的三邊長為a+b2=c2+2ab,那么這個三角形煙B.鈍角三角形D.銳角三角形10 .,如圖,長方形ABCDP,AB=3AD=9將此長方形折疊,使點B與點D重合,折痕為E