陜西省安康市高新中學2020-2021學年高三上學期8月摸底考試理科數(shù)學試題

1、陜西省安康市高新中學2021-2021學年高三上學期8月摸底測試理科數(shù)學試題學校:姓名：班級：考號：一、單項選擇題1 .(l+i)(2+i)(3+i)=()A.-10/B.10/C.-10D.102 .設集合4=劃<<2,B=xeZ|x2-2x-3<0,那么AC|8=()A.1,2B.(-1,3)C.1D.1,24.某網(wǎng)店2021年全年的月收支數(shù)據(jù)如下圖,那么針對2021年這一年的收支情況利A.月收入的極差為60B.7月份的利潤最大C.這一年的總利潤超過400萬元D.這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為5.向量A4=3,2,AC=5,-1,那么向量而與衣的夾角為A. 45

2、6;B. 60°C. 90°D.120°6 .%4+14-1的展開式中的常數(shù)項為1XzA.-22B.-21C.207 .設q=ln2,b=log42,0=2一",那么D.21A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD.c>b>a8.正三棱柱ABC44G中,AB=衣嗎,D是BC的中點,那么異而直線AD與4c所成的角為9.海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象,被喻為“地球留給人類保存宇宙秘密的最后遺產(chǎn),我國擁有世界上最深的海洋藍洞,假設要測量如右圖所示的藍洞的口徑A,6兩點間的距離,現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C,

3、D,測得C£>=80,ZADB=135°,NBDC=NDC4=15.,ZACB=20°,那么A,8兩點的距離為A.80>/3B.80C.160D.80610 .函數(shù)/x=cosx-lsinxl,有以下四個結(jié)論：“X是偶函數(shù)/“是周期函數(shù)/%在卜小o上是增函數(shù)/在況句上恰有兩個零點其中所有正確結(jié)論的編號有A.B.C.®©D.11 .假設函數(shù)恰有兩個零點,那么/X在-3,3上的最大值為A.-B.-C.2D.12 .設月,心分別為雙曲線C:3一;二1.0力0的左,右焦點,A為.的左頂點,以月鳥為直徑的圓與.的一條漸近線交于M,N兩點,且N

4、M4N=135.,那么雙曲線C的離心率為A.如B.有C.2D.752二、填空題x+2y013 .x,y滿足約束條件«3x+y-5.,那么z=x+y的最大值為.x-3y+5014 .夕是第四象限角,2cos2o+5cosa4=0,那么tana=.2215 .橢圓千+5=1.0的左,右焦點分別為",外,橢圓上的點M滿足AFxMF2=60°,且mE.MF；=4,那么.=.16 .三棱維PA8C的頂點都在球.的球面上,PA=PB=PC=5冊,AB=8,BC=6,AC=10,那么球.的外表積為.三、解做題17 .等比數(shù)列?,是遞減數(shù)列,且滿足4=4,%+%=17.1求數(shù)列也

5、的通項公式；2設數(shù)列色的前項和為S,求S“的最大值及取得最大值時的值.18 .如圖,四棱錐夕一ABCD中,四邊形A8CQ是直角梯形,AB±AD,AB/CD,PC_L底而ABC.,PC=AB=2AD=2CD=4,E是PB的中點.(1)證實：平而£4C_L平面P3C：(2)求二面角8AE-C的余弦值.19 .某企業(yè)產(chǎn)品正常生產(chǎn)時,產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布N(80,0.25),從當前生產(chǎn)線上隨機抽取200件產(chǎn)品進行檢測,產(chǎn)品尺寸匯總?cè)缦卤恚寒a(chǎn)品尺產(chǎn)/mm77,78,5(78.5,79(79,79.5(79.5,80.5(80.5,81(81,81,5(81.5,83件數(shù)2273080

6、36223根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量標準和生產(chǎn)線的實際情況,產(chǎn)品尺寸在(-3b,/+3b以外視為小概率事件,一旦小概率事件發(fā)生視為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常,產(chǎn)品尺寸在(4-35+3司以內(nèi)為正品,以外為次品.(1)判斷生產(chǎn)線是否出現(xiàn)異常,并說明理由：(2)用頻率表示概率,假設再隨機從生產(chǎn)線上取3件產(chǎn)品復檢,正品檢測費10元/件,次品檢測費15元/件,記這3件產(chǎn)品檢測費為隨機變量X,求X的數(shù)學期望及方差.附：假設隨機變量X服從正態(tài)分布那么尸(-bvXK+b)=0.6826,P(-2b<X<+2b)=0.9544,P(-3bvX<+3b)=0.997420 .在平面直角坐標系xOy中,M為直線y=x2上動

7、點,過點作M拋物線C:的兩條切線初4,/超,切點分別為A,B,N為A8的中點.(1)證實:MN_Lx軸：(2)直線A8是否恒過定點?假設是,求出這個定點的坐標：假設不是,請說明理由.21 .函數(shù)/(x)=lnx+aF+(+2)x+l,aeR.1討論函數(shù)/X的單調(diào)性；2假設/x<0,求整數(shù)的最大值:3證實：ex-xnx+2x3-x2+x->0.x=tcosa22 .在直角坐標系xQ,中,直線/的參數(shù)方程為,/為參數(shù),乃y=tsinax=2+2cosd曲線G的參數(shù)方程為?.八8為參數(shù),以原點.為極點,x軸正半軸為極y=2sin,軸建立極坐標系,曲線c2的極坐標方程為夕=2cos62&g

8、t;/3sin0.1寫出直線/與曲線G的極坐標方程；2假設直線/交曲線&于.,A兩點,交曲線G于.,B兩點,求A8的最大值和最小值.23 .a>0,b>0,c>0,函數(shù)/x=la-xl+lx+Z?l+c.1當a=c=2時,求不等式/x<8的解集；2假設函數(shù)/x的最小值為3,證實：/+/之3.參考答案1. B【分析】利用復數(shù)的乘法運算法那么運算求解.【詳解】由題得+i2+i3+i=l+3i3+i=10i.應選B【點睛】此題主要考查復數(shù)的乘法運算法那么,意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理水平.2. D【分析】首先求出集合4,再根據(jù)交集的定義計算可得；【詳解】

9、解：8=xeZ|X.-24一3V.=xeZ|-1vxv3=0,1,2,由于A=x11«x2AAAB=1,2.應選：D【點睛】此題考查一元二次不等式的解法,以及交集的運算,屬于根底題.3. A【分析】/根據(jù)函數(shù)解析式知：/X為奇函數(shù)且0,£上恒正,即可得正確選項.【詳解】/t=3cost+1=_011=_/x,故X為奇函數(shù),-XX/冗、當工,£0,彳時,/x0,又/兀0,應選：A.【點睛】此題考查了根據(jù)函數(shù)解析式識別函數(shù)圖象,屬于簡單題.4. C【分析】由圖中的數(shù)據(jù)逐一分析選項,可得答案.【詳解】對于A選項：第11月份的收入最高：為90萬元,第3月份和第4月份的收入

10、最低：為30萬元,所以月收入的極差為60萬元,故A選項正確；1至12月份的利潤分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,所以7月份的利潤最大,為60萬元,故B選項正確：總利潤為380萬元,故C選項不正確；這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30,故D選項正確：應選：C.【點睛】此題考查拆線統(tǒng)計圖的識別,以及理解并計算統(tǒng)計的數(shù)字特征,屬于根底題.5. C【分析】求出=A分=(2,3),進而可求而豆亍=3x2+2x(-3)=0,即能求出向量夾角.【詳解】解：由題意知,=分=(2,3).那么而及=3x2+2x(-3)=0所以麗_LB?,那么向量可月與炭的夾角為90&#

11、176;.應選:C.【點睛】此題考查了向量的坐標運算,考查了數(shù)量積的坐標表示.求向量夾角時,通常代入公式6. A【分析】先根據(jù)二項式定理得工-1展開式,再求對應常數(shù)項.【詳解】由于!一1中央=尸1kJr所以+展開式中的常數(shù)項為j.6.二(-l)S+bC(-l)7=-22應選：A【點睛】此題考查二項式定理應用,考查根本分析求解水平,屬根底題.7. A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),分別判定.,b,c的范圍,即可得出結(jié)果.【詳解】11/1Y-1a=In2>Iny/e=,b=log,2=tc=Iv,2222:.a>b>c.應選:A.【點睛】此題主要考查比擬對數(shù)與指數(shù)的大小,熟

12、記指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可,屬于根底題型.8. B【分析】取用G中點E,連接4E,CE,根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì),得出4E/A.,那么NCAE即CE為異而直線AO與4.所成角,求出tanNC4E=7w,即可得出結(jié)果.【詳解】解：如圖,取用G中點七,連接4E,CE,A由于正三棱柱ABC-BCX,那么BB"L底而,而AEu底面ABC,所以B81_L4E,由正三棱柱的性質(zhì)可知,AG為等邊三角形,所以4E_LBiG,且4七.耳.1=后,所以4E_L平面BBC.,而ECu平面881GC,那么那么AEA£),ZAjFC=90°,NC41E或其補角為異面直線與4.所成角,設A3

13、=2,那么胡=&,%E=6,ce=6Ce那么tanZC4,E=I,1 AE耳：.ZCAiE=.應選：B.【點睛】此題考查通過幾何法求異而直線的夾角,考查計算水平,屬于容易題.9. D【分析】利用等腰三角形性質(zhì)以及正弦定理求出AO,.8、再根據(jù)余弦定理求A,8兩點的距離.【詳解】DC在aAOC中,ZADC=ZADB+Z.CDB=135°+15°=150°ADAC=180°-ZACD-ZADC=15°/.AD=DC=80在BOC中,ZDCB=ZACB+ZACD=n00+5°=35oZDBC=180°-ZBCD-ZBDC=

14、30°BDDC80sin135.86當句時,令/3=0,得cosx=binx|,所以tanx=±l,且xe7t冗2'2以/(X)有兩個零點玉=-1,%2=,所以止確.綜上所述,正確結(jié)論的編號有.應選：C【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性和零點,屬于中檔題.11. B【分析】通過求導可知：fx)=x1-ax=x(x-a)=O,x=0或x=.,假設=0,那么/(x)=,/單調(diào),不符題意,顯然.工0,由/(X)恰有兩個零點,所以必有一個極值點為零點,只能是x=a處為零,代入即可得解.【詳解】fx)=x2-ax=x(x-a)=0,工=0或x=a,假設4=

15、0,那么=單調(diào),不符題意,故工0,/(x)恰有兩個零點,必有一個極值點為零點,只能是x=處,/()=0,解得=2,.J(x)在x=0處取得極大值為上又"3)=1,./(X)在3,3上的最大值為士,應選：B.【點睛】此題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題,根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍,考查了分類討論思想,整體計算量不大,屬于根底題.12. D【分析】設以"A為直徑的圓與漸近線y=相交于點用用,'0毛>0,根據(jù)對稱性,得到aNtolY,聯(lián)立方程求點和Na/,根據(jù)題中條件,求出Z?=2.,即可得出離心率.【詳解】設以"A為直徑的圓與漸近線y=相交于點用用,為>

16、;0,a根據(jù)對稱性得"一及,一0,b由°=一7"解得知3-,那么Na,b.K+%=c?.Aa,O,.NMA馬=90°,.NMAK=45°,記右頂點為8a0,連接8M,那么耳巴,【點睛】此題主要考查求雙曲線的離心率,熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可,屬于?？碱}型.13.3【分析】有約束:條件得到可行域,即目標函數(shù)與可行域有交點時,在x、y軸上的截距最大,即可求z=x+,的最大值.【詳解】由約束:條件可得可行域如下:,z=K+y過點1,2時取得最大值3.故答案為：3【點睛】此題考查了線性規(guī)劃,根據(jù)約束條件求目標函數(shù)最大值,屬于簡單題.1.1. 近3【分析】

17、利用倍角公式可得cos=3,再利用同角三角函數(shù)的根本關(guān)系求出Sina=_正,即可得44答案：【詳解】3由2cos2a+5cosc-4=4cos2a+5cos-6=0,解得cosa=,4是第四象限角,sina=且,tana=-叵.故答案為：上.3【點睛】此題考查倍角公式和同角三角函數(shù)的根本關(guān)系,考查運算求解水平.15. V6【分析】設|麗|=小,|麗卜,由M"Z*=4得m360.=4,可得?=8,由橢圓定義可得：團+=2,在“6鳥中,結(jié)合余弦定理可得：鳥二/27cos60.=42_,聯(lián)立即可得解.【詳解】如圖：設I礪卜?,I麗卜,由MEMF=4得7cos60°=4,可得&qu

18、ot;?=8,又7+=2.,在"中,由余弦定理可得：=nr+n2-22cos60.=4/一/,式平方減去式得/=6,/.b=y/b.【點睛】此題考查了橢圓根本量的計算,考查了向量數(shù)量積的應用,題型是解橢圓焦點三角形,利用了余弦定理和橢圓定義的結(jié)合解題,是固定題型,屬于根底題.16. 180萬【分析】由可知3c為直角三角形,尸._1平面48.,設球.的半徑為R,進而利用勾股定理求出R的值,即可求出球.的外表積.【詳解】解：如圖,取AC中點.,連接產(chǎn).,BD,那么由可得A82+3C2=AC?,A3C為直角三角形,BD=-AC=5,2由于R4=PC,所以P£)_LAC,pd=y)

19、PC2-CD2=7150-25=545-網(wǎng)為PD?+BD2=BP?,所以PDB為直角三角形,那么尸£>_L3£>,由于8£>cAC=£),所以P£)_1_平面ABC.球心.為尸.上一點,設球.的半徑為R,連接04,即O4=R7=R,那么由.42=4.2+0.2,可知r2=52+(56R,解得R=3j?,表而積S=4;r(36=180九.故答案為：180小【點睛】此題考查外接球表而積的求法,考查空間想象水平,運算求解水平,屬于中檔題.17. (1)4=4：(2)當,=3或4時,S取最大值12.【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項公式

20、求出首項和公比,即可得答案：(2)求出a=8-2,再利用等差數(shù)列的前項和公式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì),即可得答案:【詳解】(1)設公比為人由%=4可得.岡2=4,>0,0v,v1,an>0,41出+4=17,.+4q=17,解得°=一,q4：.a=4-(11=4f(2)bn=log,an=log,4"-"=82,Sn=n(6+S-2n)=-n2+7n=-/?-')+»22)4.當=3或4時,S取最大值12.【點睛】此題考查等比數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列前項和公式、二次函數(shù)的性質(zhì),考查函數(shù)與方程思想,考查邏輯推理水平、運算求解水平.18.

21、(1)證實見解析：(2)匹.15【分析】(D先由線面垂直的性質(zhì)證實AC_LPC,再由線而垂直的判定定理以及面而垂直的判定定理證實即可：(2)利用向量法求二而角8AEC的余弦值即可.【詳解】(1).尸C_L平而ABCQ,4.(=平面人8.£),1.4._1尸.'AB=4,AD=CD=2,AC=BC=2y/2>:.AC2+BC2=AB2,s.ACVBC.8CnPC=C,.AC,平面尸8C,.ACu平而EAC,平面E4C_L平面尸8C.(2)建立如下圖空間直角坐標系.一型,那么4(2,2,0),5(2,-2,0),尸(0,0,4),E(l,2),G4=(2,2,0),在=(1

22、,一1,2),而=(0,<0),AE=(-l,-3,2).X+y=0設萬=(x,y,Z)為平而E4C的法向量,那么萬己=厲在=0,即工),+20取x=2得元=(2,2,2),同理可求得平而明七的法向量比=(2,0,1),【點睛】此題主要考查了證實面而垂直以及利用向量法求二面角,屬于中檔題.19. (1)生產(chǎn)線出現(xiàn)異常,理由見解析：(2)數(shù)學期望為與,方差為匕.864【分析】(1)根據(jù)題意,得到正常產(chǎn)品尺寸范闈是(78.5,81.5,求出正常情況下次品的數(shù)量,根據(jù)題中條件,即可得出結(jié)果；(2)先由題意,求出該生產(chǎn)線的次品率,記這3件產(chǎn)品中次品數(shù)為y,那么y服從二項分布B3,-L|,X=5Y

23、+30,根據(jù)二項分布的期望和方差的計算公式及性質(zhì),即可得出結(jié)果.(40；【詳解】依題意,有=80,b=0.5,所以正常產(chǎn)品尺寸范圍是(78.5,81.5,又200x(10.9974)比0.52件,超出正常范圍以外的零件數(shù)為5件,故生產(chǎn)線出現(xiàn)異常.2依題意,尺寸在78.5,81.5以外就是次品,故次品率為總=£.1、記這3件產(chǎn)品中次品數(shù)為y,那么y服從二項分布83,'=1.3-丫+15丫=5丫+3.,4U/那么打丫有乂二上,£y=3xx=-,''4040',40401600所以X的數(shù)學期望是EX=5EY+30=元,8方差是OX=5"O

24、y=25x4=UZ.','J160064【點睛】此題主要考查正態(tài)分布的應用,以及根據(jù)二項分布求期望和方差,屬于?？碱}型.20. 1見解析2直線AB過定點,2.2【分析】1設出A,3兩點的坐標,利用導數(shù)求得切線的方程,設出M點坐標并代入切線M4的方程,同理將M點坐標代入切線M3的方程,利用韋達定理求得線段A3中點N的橫坐標,由此判斷出軸.2求得N點的縱坐標?羽,由此求得N點坐標,求得直線A8的斜率,由此求得直線48的方程,化簡后可得直線48過定點：,2.【詳解】1設切點AX,x：,8卜2,*,y=2x,切線M4的斜率為2為,切線M4：y-xf=2.¥1x-x1,設M(/

25、,1-2),那么有t2Xi=2%|化簡得X；-2fxi+f-2=0,同理可的x；-2tx2+,一2=0.",一是方程爐一2/x+f-2=0的兩根,石+/=方,中2="2,xN=>=t=xM,：.MN_Lx軸.(2) :=；(x；+¥)=；(玉一士X2=2一f+2,.N,2/2-/+2).e/kAB=x+x>=2f,直線y-(2T+2)=2f(xT),即-y-2=2/(x-l),直線A3過定點(L2).2【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查直線過定點問題,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.21. (1)分類討論,答案見解析：(2)-

26、2：(3)證實見解析.【分析】(1)求導可得：/'(x)=1+2ax+a+2=(-'+十"(x>0),再分“NO和<0進xx行討論,即可得解；(2)討論時,不符題意,：假設0,由(1)可知/(x)在上單調(diào)遞增,在一1,+s)上單調(diào)遞減,可得-構(gòu)造函數(shù)：g(x)=lnx+x,求最值即可得解；(3)由(2)的結(jié)論,可知.=一2時,/()=lnx-2x2+l<0,進行放縮可得：exxInx+x>ex2大,+x+2x*x-+x1=cxx"+2x1,再研究u(x)=ex-x2+2x-(x>0)9即可得解.【詳解】/、,/、1(2x+l)(

27、av+l)z、(1)f(x)=+2ax+a+2=(x>0),XX假設心0,那么/'(x)>0,在(0,+巧上單調(diào)遞增；假設avO,由/'(x)>0,得.<x<-L；由/'(x)<.,得x>-./(X)在°,一)1上單調(diào)遞增,在,+8上單調(diào)遞減.a(2)假設.20,那么/(1)=2+3>0,不滿足/(x)«0：I1'假設“<0,由(1)可知“X)在.,一一上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,aa/1設g(x)=lnx+x,那么g-<0,g'(x)=Li,Xg(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增

28、,且g(l)=l>0,1存在唯一的飛£-J,使得g(x0)=O.當X£(O,Xo)時,g(x)<.,當xeQo,)時,g(x)>o,.<一1?%,a.工一,£(一2,-1),即整數(shù)的最大值為一2.(3)由(2)可知=一2時,/(x)=lnx-2x2+l<0,Inx<2.2一1,/.-xInx>一2+x>xInx+2xx"+x1>e*2x+x+2工.v*+x1=cx+2x1設(x)=e"x2+2x1(x>0),那么'(x)=決一2x+2.設Mx)=e-2x+2,那么(%)=之一2

29、,當X£(0,ln2)時,力'(不)<0,當xe(ln2,+oo)時,/?,(x)>0,./?(x)在(0,ln2)上單調(diào)遞減,在(In2,+s)上單調(diào)遞增,/?(工).=/7(ln2)=ln2-21n2+2=4-21n2>0,w在(0,+8)上單調(diào)遞增,.(1)>(0)=e.-1=0,即eA-x2+2x-l>0.ex-xlnx+2x3-x2+x-l>0.【點睛】此題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,考查了分類討論思想和恒成立思想,同時考查了放縮和轉(zhuǎn)化思想,對計算水平的要求非常高,屬于難題.22. (1)I:=a(peR,0<a&

30、lt;,)；C:p=4cos；(2)最大值4,最小值2.【分析】(1)直線/過原點,由參數(shù)方程得其傾斜角后可得極坐標方程,曲線G先消參化為普通方X=PCQS0程,再由公式.八化為極坐標方程.y=psin6(2)用直線/極坐標方程代入曲線G的極坐標方程,可求得兩交點的極坐標,由極坐標的意義可得弦長,結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得最值.【詳解】解析：(1)直線/的傾斜角為.,其極坐標方程為6=.(.wR,0Kav4),-,x=pcosO曲線G的普通方程為(x2)2+y2=4,即/+),2一41=0,由«,得y=psinO"2=42850,為極坐標方程為夕=4.056.(2)直線/交曲線G于.,A兩點,6=a由乙,解得A(4cosa,a),p=4cos88=a直線/交曲線C于.,8兩點,由<-,p=2cosa-213sina解得3(2cosa-2gsina,or),?.IAB1=pA-/?«|=12