高中平面解析幾何知識點(diǎn)總結(jié)直線圓橢圓曲線

1、高中平面解析幾何占八、一.直線局部1 .直線的傾斜角與斜率：(1)直線的傾斜角：在平面直角坐標(biāo)系中,對于一條與x軸相交的直線,如果把X軸繞著交點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為叫做直線的傾斜角.傾斜角0,18.),90斜率不存在.ky2y1(x1x2),ktan(2)直線的斜率：x2Xl.兩點(diǎn)坐標(biāo)為Pl(Xl,yi)P2(X2,y2).2 .直線方程的五種形式：(i)點(diǎn)斜式：yyik(xxi)(直線過點(diǎn)pi(xi,yi),且斜率為k).注：當(dāng)直線斜率不存在時,不能用點(diǎn)斜式表示,此時方程為xX.(2)斜截式：ykxb(b為直線l在y軸上的截距).yyix-(3)兩點(diǎn)式：y2yiX

2、2Xi(yiy2,XiX2).注：不能表示與x軸和y軸垂直的直線；方程形式為：(X2Xi)(yyi)(y2yi)(XXi).時,方程可以表示任意直線.xyi(4)截距式：ab(a,b分別為x軸y軸上的截距,且a0,b.).注：不能表示與x軸垂直的直線,也不能表示與y軸垂直的直線,特別是不能表示過原點(diǎn)的直線.(5)一般式：AxByC.(其中A、B不同時為0).ACAyxk-一般式化為斜截式：BB,即,直線的斜率：B.注：(i)直線縱截距b,常設(shè)其方程為y收b或x0.直線橫截距X0,常設(shè)其方程為xmyX0(直線斜率k存在時,m為k的倒數(shù))或y0.直線過點(diǎn)(X0.0),常設(shè)其方程為yk(x刈)y或x

3、xo(2)解析幾何中研究兩條直線位置關(guān)系時,兩條直線有可能重合；立體幾何中兩條直線一般不重合.3 .直線在坐標(biāo)軸上的截矩可正,可負(fù),也可為0.(1)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等直線的斜率為1或直線過原點(diǎn).(2)直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點(diǎn).(3)直線兩截距絕對值相等直線的斜率為1或直線過原點(diǎn).4 .兩條直線的平行和垂直:(1)假設(shè)I1:ykxb1,I2：yk2xb2,有dI1/I2k1k2,nb2公l1l2k1k21(2)假設(shè)hAxB1yC10I2：A2xB?yC20,有DI1/I2AB2慶281且慶1c2A2cl.I1A1A2B1B205.平面兩點(diǎn)距離公式:(D兩點(diǎn)坐標(biāo)(入.

4、1)、P2(x2,y2),那么兩點(diǎn)間距離P1P2、22x2)(%y2)(2)x軸上兩點(diǎn)間距離:ABxbXaXoX1(3)V.線段P1P2的中點(diǎn)是M(x0,y0),那么yix22V226.點(diǎn)到直線的距離公式:AxoByo點(diǎn)P(xo,y.)到直線LAxByC0的距離:.A2B27 .兩平行直線間的距離公式:d兩條平行直線|1：AxByC10,|2：AxByC20的距離：IC1C2,A2B28 .直線系方程:(1)平行直線系方程:直線ykxb中當(dāng)斜率k一定而b變動時,表示平行直線系方程.與直線l:AxByC0平行的直線可表示為AxByC10過點(diǎn)P(x,y.)與直線l：AxByC平行的直線可表示為：A

5、(xx.)B(yy0)(2)垂直直線系方程：與直線l:AxByC0垂直的直線可表示為BxAyC10.過點(diǎn)P(x0,y0)與直線l:AxByC0垂直的直線可表示為：B(xX.)A(yy)0(3)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線系方程為yy0k(xx0)(除直線xx0),其中k是待定的系數(shù).經(jīng)過定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線系方程為A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系數(shù).(4)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線ll：AxBiyCi0,12：A2xB2yC20交點(diǎn)的直線系方程為AxBiyCi(A2xB2yC2)0(除開l2),其中人是待定的系數(shù).9 .兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)：f(x,y

6、)0曲線Ci：f(x,y)0與C2：g(x,y)0的交點(diǎn)坐標(biāo)方程組g(x,y)0的解.10 .平面和空間直線參數(shù)方程：平面直線方程以向量形式給出:xaybnin2方向向量為sni,n2下面推導(dǎo)參數(shù)方程:人xaybxanit令:x-a工t那么有n1n2ybn2t空間直線方程也以向量形式給出:工_a_y-bz-方向向量為sni,n2,作下面推導(dǎo)參數(shù)方程:nin2n3xanit令：x_a3z_ct那么有ybn2tnin2n3zcn3t注意：只有封閉曲線才會產(chǎn)生參數(shù)方程,對于無限曲線,例如二次函數(shù)一般不會有化為如上的參數(shù)方程.二.圓局部1 .圓的方程：2 2.2一(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)(yb)r

7、(r0).2222(2)圓的一般方程：xyDxEyF0(DE4F0).(3)圓的直徑式方程：假設(shè)從儀1,必),B(x2,y2),以線段AB為直徑的圓的方程是:(xxi)(xx2)(yyi)(yv20.DE122(,)r,DE4F注：(1)在圓的一般方程中,圓心坐標(biāo)和半徑分別是22,2(2) 一般方程的特點(diǎn)：.2.222x和y的系數(shù)相同且不為零；沒有xy項；DE4F022(3)二元二次方程AxBxyCyDxEyF0表示圓的等價條件是：22ACO；BO；DE4AF0.2 .圓的弦長的求法：(1)幾何法：當(dāng)直線和圓相交時,設(shè)弦長為,弦心距為d,半徑為r,那么：“半弦長2+弦心距2=半徑2l22(-)

8、d(2)代數(shù)法：設(shè)l的斜率為k,l與圓交點(diǎn)分別為A(x1,y)B(x2,y2),那么|AB|1k2|XaXb|1k121yAYb1(其中1Xix21,1y1Y21的求法是將直線和圓的方程聯(lián)立消去y或x,利用韋達(dá)定理求解)3 .點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:222點(diǎn)p(X0,Y.)與圓(xa)(yb)r的位置關(guān)系有三種 P在在圓外dr(%a)2(y0b)2r2. P在在圓內(nèi)dr(%a)2(y0b)2r2.222P在在圓上dr(x0a)(y0b)r.【P至U圓心、品E離d(aX0)2(by.)24,直線與圓的位置關(guān)系:2,2222直線AxByC與圓xaybr的位置關(guān)系有三種d圓心到直線距離為dAaBbCa2b

9、2,由直線和圓聯(lián)立方程組消去*或丫后,所得元二次方程的判別式為dr相離0.dr相切0.dr相交05.兩圓位置關(guān)系：設(shè)兩圓圓心分別為5,02,半徑分別為r1,r2,I0102ddr1r2外離4條公切線.dri2內(nèi)含無公切線；drir2外切3條公切線dr1r2內(nèi)切1條公切線r1r2dr1r2相交2條公切線22226,圓系方程：xyDxEyF0(DE4F0)I八ccc22cLLC(1)過直線l：AxByC0與圓C：xyDxEyF0的交點(diǎn)的圓系方程：2222特別地,當(dāng)1時,xyD1xE1yF1(xyD2xE2yF2)0就是(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0表示兩圓的公共弦所在的直線方程,即過兩

10、圓交點(diǎn)的直線.7.圓的切線方程：220與xyD2xE2yF20方程相減22(1)過圓xyr上的點(diǎn)P(xO,y0)的切線方程為：xxy0yr22(2)過圓(xa)(yb)r上的點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為：(xa)(x0a)(yb)(y0b)r(3)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y.)在圓外時,可設(shè)切方程為yy0k(xx.),利用圓心到直線距離等于半徑,即d求出k；或利用0,求出k.假設(shè)求得k只有一值,那么還有一條斜率不存在的直線xx08.圓的參數(shù)方程：圓方程參數(shù)方程源于：sin2cos2122那么(xa)(yb)22|RR(xa).設(shè)：Rsin得：xaRsin(yb)ybRcos229.把兩圓xyDiXE1

11、yFi即得相交弦所在直線方程:(D1D2)x(EiE2)y(FiF2)0rcos10 .對稱問題:(1)中央對稱:點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱：點(diǎn)A(x1,y1)關(guān)于M(x0,y0)的對稱點(diǎn)A(2x0x1,2y0y1)直線關(guān)于點(diǎn)對稱：法1:在直線上取兩點(diǎn),利用中點(diǎn)公式求出兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo),由兩點(diǎn)式求直線方程.法2:求出一個對稱點(diǎn),在利用l1l2由點(diǎn)斜式得出直線方程.(2)軸對稱： 點(diǎn)關(guān)于直線對稱：點(diǎn)與對稱點(diǎn)連線斜率是直線斜率的負(fù)倒數(shù),點(diǎn)與對稱點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上.AAlkAAkl1點(diǎn)A、A關(guān)于直線l對稱AA中點(diǎn)在止AA中點(diǎn)坐標(biāo)滿足l方程. 直線關(guān)于直線對稱：(設(shè)a,b關(guān)于1對稱)法1:假設(shè)a,b相交,求出

12、交點(diǎn)坐標(biāo),并在直線a上任取一點(diǎn),求該點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn).5ga/l,那么b1,且a,b與l的距離相等.法2:求出a上兩個點(diǎn)A,B關(guān)于1的對稱點(diǎn),在由兩點(diǎn)式求出直線的方程.(3)其他對稱：點(diǎn)(a,b)關(guān)于x軸對稱：(a,-b)；關(guān)于y軸對稱：(-a,b)；關(guān)于原點(diǎn)對稱：(-a,-b)；點(diǎn)(a,b)關(guān)于直線丫=乂對稱:(b,a)；關(guān)于y=-x對稱：(-b,-a)；關(guān)于y=x+m對稱：(b-m、a+m)；關(guān)于y=-x+m對稱：(-b+m、-a+m).XiX2X3yy2y311 .假設(shè)Zxjy)B(X2,y2),C(X3,y3),那么ABC勺重心G的坐標(biāo)是3312 .各種角的范圍：直線的傾斜角018

13、0兩條相交直線的夾角090兩條異面線所成的角090三.橢圓局部1.橢圓定義：到兩定點(diǎn)距離之和為一常數(shù)的平面幾何曲線：即IMO1+IMO2=2a或定義：任意一條線段,在線段中任取兩點(diǎn)(不包括兩端點(diǎn)),將線段兩端點(diǎn)置于這兩點(diǎn)處,用一個釘子將線段繃直旋轉(zhuǎn)一周得到的平面幾何曲線即為橢圓.從橢圓定義出發(fā)得到一個根本結(jié)論：橢圓上任意一點(diǎn)引出的兩個焦半徑之和為常數(shù)2a.2.橢圓性質(zhì):由于橢圓上任意一點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和為常數(shù),所以從IAOI+IAOI=IAQI+IC2BI=2a這是由于IAO1I=IO2BI由圖形比擬看出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:x2y2人Jd-2-21ab橢圓參數(shù)方程:從圓方程知：x2y2圓方程參數(shù)方程

14、源于:2sin所以按上面邏輯將橢圓方程2x2a2cos2y2b1視為x設(shè)RsinyRcos自：RsinRcos同理橢圓參數(shù)方程為:xaybsincos得：xasinybcos由于兩個焦半徑和為2a所以O(shè)iCO2C2aOiCO2C自：OiC1102cOC|boc|c自：22bc22ab橢圓離心率,來源于圓的定義:圓實際上是一種特殊的橢圓,而圓不過是兩個焦點(diǎn)與坐標(biāo)圓點(diǎn)重合罷了.四.雙曲線局部1.雙曲線定義：到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對值為常數(shù)的平面幾何圖形,即:|Imq2ImQi|2a雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:2/xy22ab由于雙曲線上任意一點(diǎn)兩個焦點(diǎn)之差的絕對值為常數(shù)2a.IAQ2|AQi|AB|2aAQ

15、jAQiIABI|BQ2AQi雙曲線的漸近線：AB2a2由標(biāo)準(zhǔn)方程知：y2dx2a2aybx2a2aybVx2a2Ax2bxaaaybx為漸近線,另一條為ybxaa以上為漸近線的推導(dǎo)過程.假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為22乂x22baa22aybbybxaa.y2aybb注意y下面對應(yīng)b,x下面對應(yīng)a.取x=a&x=-a兩條直線,它們與漸近線的兩個焦點(diǎn)的連線和y軸的交點(diǎn)稱為虛焦點(diǎn),該軸稱為虛軸.推導(dǎo)a、b、c之間的關(guān)系:設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)M(x,v)-22MO2(xc)y22MOi(xc)y22-22MO2MOi(xc)y(xc)y22經(jīng)化簡得：x.2y21aca22設(shè)：c2a2b2雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：務(wù)工

16、iab2a五.拋物線局部從而得到：2c1,定義：到定點(diǎn)與定直線距離相等的平面曲線稱為拋物線.為了推導(dǎo)拋物線標(biāo)準(zhǔn)式,設(shè)：定直線為x=-p,定點(diǎn)為O(p,0),(盡管這是一種特殊情況,但同樣具有一般性)設(shè)：拋物線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為M(x,y)M點(diǎn)到定直線x=-p的距離為xpM點(diǎn)到定點(diǎn)O(p,0)的距離為“xI22xpV(xp)y22222xp2pxxp2pxy2y4px很顯然與以前學(xué)習(xí)的二次函數(shù)是一致的,只不過這里自變量變成y,函數(shù)變成x；而二次函數(shù)自變量是x,函數(shù)是y,因而二次函數(shù)也是拋物線,同樣具有拋物線的性質(zhì).2一.如下：yaxbxc(a0)b_xix2韋達(dá)定理：.a2b2a求根公式:Xi2,b24ac2a從而零點(diǎn)坐標(biāo)為x10x20平移例如：a、y21)2px如何平移呢？那就要看y21怎么樣才可等于零,不難看出2.頂點(diǎn)坐標(biāo)b4acb、推導(dǎo)采用配方法:2a4a22bbc2a2a24acb4