高中數(shù)學(xué)向量檢測(cè)題難度大含解析完整版

1、高中數(shù)學(xué)向量檢測(cè)題難度大含解析HUAsystemofficeroomHUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688高中數(shù)學(xué)向量檢測(cè)題難度大一.選擇題共3小題1.2021?重慶aABC 的內(nèi)角 A,B,C 滿足 sin2A+sinA-B+C=sinC-A-B+L 面積 S 滿足 1WSW2,記 a,b,c 分別為 A,B,C 所對(duì)的邊,在以下不等式一定成立2的是A.beb+c8B.aba+b1672C.6WabcW12D.12WabcW242.2021?云南模擬在ABC 中,a=x,b=2,B=45,假設(shè)這樣的ABC 有兩個(gè),那么實(shí)數(shù)x 的取值范圍是A.2,+8B.0,2C.2,2

2、72D.6,23.2021?重慶模擬設(shè) aABC 的角 A、B、C 所對(duì)的邊分別為 a、b、c,假設(shè)ababcosC+VSsbsinC,那么 AABC 的形狀為A.直角非等腰三角形 B.等腰非等邊三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形二.填空題共8小題4.2021?興慶區(qū)校級(jí)三模在 aABC 中,NA=60,BCmj,那么 AC+AB 的最大值為5.2021?貴州校級(jí)模擬aABC 的三個(gè)內(nèi)角 A,B,C 所對(duì)的邊分別是 a,b,c,且A=30,B=45,a=2,那么 b=.6.2021?鏡湖區(qū)校級(jí)模擬在 AOAB 中,0 為坐標(biāo)原點(diǎn),A1,cos0,Bsin.,1,0e0,Z,那么當(dāng) aOA

3、B 的面積達(dá)最大值時(shí),那么.=.7.2021?江門模擬在三角形 ABC 中,ZA,ZB,NC 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 a,b,c,其外接圓的半徑 R變,那么a2+b2+c2十二十二的最小值 36sin2Asin2Bsin2C為.8.2021?湖南在銳角 AABC 中,BC=1,B=2A,那么上?的值等于,AC 的取cosA值范圍為.9.2021?太原一模0 是銳角ABC 的外接圓圓心,ZA=0,假設(shè)空假設(shè) 2 用汽 6 二 2m 正那么用0表示sinUsinb10. 2021?河南模擬在銳角 aABC 中,內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c,a+2b=4,asinA+4bsinB=6asin

4、BsinC,那么 aABC 的面積最小值時(shí)有 c-.11. 2021 春上饒期末ABC 是邊長(zhǎng)為 1 的正三角形,M、N 分別是邊 AB、AC 上的點(diǎn),線段 MN 經(jīng)過(guò) aABC 的中央 G.假設(shè) aAGM 的面積為焉,那么 4AGN 的面積-L 乙為.三.解做題共3小題12. 2021?新課標(biāo) II /XABC 中,D 是 BC 上的點(diǎn),AD 平分 NBAC,ABD 面積是ADC 面積的 2倍.2假設(shè) AD=1,DC 二返,求 BD 和 AC 的長(zhǎng).213. 2021?衡水四模在 AABC 中,角 A,B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c,函數(shù) fx=2cosxsinx-A+sinAxR在 x

5、 二立二處取得最大值.121當(dāng)KE0,工時(shí),求函數(shù) fX的值域；22假設(shè) a=7 且 sinB+sinC=里 1 求ABC 的面積.1414. 2021?杭州一模在 aABC 中,內(nèi)角 A,B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c.cos2A+=2cosA.21求角 A 的大小;2假設(shè) a=l,求ABC 的周長(zhǎng) 1 的取值范圍.(1)高中數(shù)學(xué)向量檢測(cè)題難度大參考答案與試題解析一.選擇題(共3小題)1.(2021?重慶)aABC 的內(nèi)角 A,B,C 滿足 sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+工,面積 S 滿足 1WSW2,記 a,b,c 分別為 A,B,C 所對(duì)的邊,在以下不等式一

6、定成立 2的是()A.be(b+c)8B.ab(a+b)162C.6WabcW12D.12WabcW24【考點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用；二倍角的正弦.【專題】三角函數(shù)的求值；解三角形.【分析】根據(jù)正弦定理和三角形的面積公式,利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證實(shí)即可得到結(jié)論.【解答】解：:ABC 的內(nèi)角 A,B,C 滿足 sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+1,2Asin2A+sin2B=-sin2C+,2,sin2A+sin2B+sin2C,2/2sinAcosA+2sin(B+C)cos(B-C),22sinA(cos(B-C)-cos(B+C)4,2化為 2sinA-2sinBsin(-C

7、)二工2,sinAsinBsinC8設(shè)外接圓的半徑為 R,由正弦定理可得：立二卜二.二 2R,sinAsinBsinCillS=-absinC 及E 弦定理得 sinAsinBsinC-2,22R28即 R2=4S,面積 S 滿足 1WSW2, 4WRW8,即 2WRW2 亞,由 sinAsinBsinC 二可得 84 砧?416 血,顯然選項(xiàng) C,D 不一定正確,8A. be(b+c)abc28,即 be(b+c)8,正確,B. ab(a+b)abc8,即 ab(a+b)8,但 ab(a+b)162不一定正確,應(yīng)選：A【點(diǎn)評(píng)】此題考查了兩角和差化積公式、正弦定理、三角形的面積計(jì)算公式、根本不

8、等式等根底知識(shí)與根本技能方法,考查了推理水平和計(jì)算水平,屬于難題.2. (2021?云南模擬)在 AABC 中,a=x,b=2,B=45,假設(shè)這樣的ABC 有兩個(gè),那么實(shí)數(shù)x 的取值范圍是()B.(0,2)C.(2,2.D.(心 2)【考點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用.【專題】計(jì)算題；壓軸題.A.(2,+8)【分析】先利用正弦定理表示出 X,進(jìn)而根據(jù) B=45可知 A+C 的值,進(jìn)而可推斷出假設(shè)有兩解,那么 A 有兩個(gè)值,先看 A45時(shí)推斷出 A 的補(bǔ)角大于 135,與三角形內(nèi)角和矛盾,進(jìn)而可知 A 的范圍,同時(shí)假設(shè) A 為直角,也符合,進(jìn)而根據(jù) A 的范圍確定 sinA 的范圍,進(jìn)而利用 x的表達(dá)式,求

9、得 x 的范圍,【解答】解：由正弦定理可知x二b,求得 x=26sinAsinAsinBA+C=180-45=135有兩解,即 A 有兩個(gè)值這兩個(gè)值互補(bǔ)假設(shè) A45那么由正弦定理得 A 只有一解,舍去.A45A135乂假設(shè) A=90,這樣補(bǔ)角也是 90 度,一解,A 不為 90所以逛 VsinAVl2;x=2V2sinA： 2x2應(yīng)選 c【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了正弦定理的運(yùn)用,解三角形問(wèn)題.考查了學(xué)生推理水平和分類討論的思想的運(yùn)用.3.2021?重慶模擬設(shè) aABC 的角 A、B、C 所對(duì)的邊分別為 a、b、c,假設(shè)晟+bjabcosC+dabsinC,那么 AABC 的形狀為A.直角非等腰三

10、角形 B.等腰非等邊三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形【考點(diǎn)】余弦定理.【專題】計(jì)算題；壓軸題.【分析】將等式右邊提取 2ab,利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù),由正弦函數(shù)的值域得出 aYWZab,當(dāng)且僅當(dāng) C+2L0,即 62T 時(shí)取等號(hào)；再利用根本不等式得到晟+be2ab,且當(dāng)且僅當(dāng)*b 時(shí)取等號(hào),進(jìn)而確定出二 b 且 C 二工,即可判定出此三角形為等邊三角形.3【解答】解：Vsin(C+)W1,26/.a:+b2=abcosC+V3absinC=2ab(-IcosC+sinC)=2absin(C+)W2ab,226當(dāng)且僅當(dāng) c+笠,即 F 時(shí)取等

11、號(hào),乂+b三 2ab,且當(dāng)且僅當(dāng) a 二 b 時(shí)取等號(hào),那么 a 二 b 且即ABC 為等邊三角形.應(yīng)選 D【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式,正弦函數(shù)的定義域與值域,以及根本不等式的運(yùn)用,熟練掌握公式是解此題的關(guān)鍵.二.填空題共8小題4.2021?興慶區(qū)校級(jí)三模在 aABC 中,NA=60,BC=,那么 AC+AB 的最大值為 23_.【考點(diǎn)】正弦定理.【專題】壓軸題；解三角形.【分析】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是余弦定理及根本不等式,由ABC 中,NA=60,BC-V3,我們結(jié)合余弦定理得到 AB?+ACjAB?AC+3,再由根本不等式我們可以將式子變形為一個(gè)關(guān)于 AB+AC的不等式,解不

12、等式即可得到答案.【解答】解：由余弦定理得：cis60.TJB2+Ac2-Bc2jB2+Ac2-322AB-AC2ABAC即 AB2+AC2=AB?AC+3即 AB:+AC:+2ABAC=3ABAC+3即(AB+AC)3AB?AC+3W.研+更+34,即(AB+AC)W12AAB+AC23故那么 AC+AB 的最大值為 2V3故答案為：26.【點(diǎn)評(píng)】在解三角形時(shí),正弦定理和余弦定理是最常用的方法,正弦定理多用于邊角互化,使用時(shí)要注意一般是等式兩邊是關(guān)于三邊的齊次式.而余弦定理在使用時(shí)一般要求兩邊有平方和的形式.5.(2021?貴州校級(jí)模擬)aABC 的三個(gè)內(nèi)角 A,B,C 所對(duì)的邊分別是 a,

13、b,c,且A=30,B=45,a=2,那么b=2 班.【考點(diǎn)】正弦定理.【專題】計(jì)算題；壓軸題；解三角形.【分析】利用正弦定理二二卜即可求得答案.sinAsinB【解答】解：ABC 中,VA=30,B=45,a=2,由正弦定理a=b-得:_2_=_L_,sinAsinBsin30sin45.b=2 義應(yīng)維_二 2 也 sin30e故答案為：2&.【點(diǎn)評(píng)】此題考查正弦定理的應(yīng)用,屬于根底題.6.(2021?鏡湖區(qū)校級(jí)模擬)在 AOAB 中,0 為坐標(biāo)原點(diǎn),A(1,cos.),B(sinO,1),0G(0,Z,那么當(dāng) AOAB 的面積達(dá)最大值時(shí),那么 0=21.2J2 一【考點(diǎn)】正弦定理.

14、【專題】綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合.【分析】根據(jù)題意在平面直角坐標(biāo)系中,畫出單位圓 0,單位圓 0 與 x 軸交于 M,與 y 軸交于N,過(guò)M,作y軸和x軸的平行線交于P,角0如下圖,所以三角形AOB的面積就等于正方形OMPN的面積減去三角形 OAM 的面積減去三角形 OBN 的面積,再減去三角形 APB 的面積,分別求出各自的面積,利用二倍角的正弦函數(shù)公式得到一個(gè)角的正弦函數(shù),根據(jù)正弦函數(shù)的值域及角度的范圍即可得到三角形面積最大時(shí).所取的值.【解答】解：如圖單位圓 0 與 x 軸交于 M,與 y 軸交于工過(guò) M,N 作 y 軸和 x 軸的平行線交于 P,貝USA33=S正方形OMP、-SA0X

15、3-S/.JBP=1-(sin0X1)-(cos0X1)-(1-sin0)(1-cos0)222-sincos0-sin202224由于 0e0,2GG0,n,2所以當(dāng) 28 二元即 8=2L 時(shí),sin26 最小,2三角形的面積最大,最大面積為工2故答案為：工2【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值,利用運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題,掌握利用正弦函數(shù)的值域求函數(shù)最值的方法,是一道中檔題.7.2021?江門模擬在三角形 ABC 中,ZA,ZB,NC 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 a,b,c,其外接圓的半徑 R 年,那么相+b 之+c?一十二的最小值為一當(dāng)先 sinlsin2Bsin

16、2C6【考點(diǎn)】正弦定理；函數(shù)的最值及其兒何意義.【專題】計(jì)算題；壓軸題.【分析】先利用正弦定理用 a,b 和 c 以及 R 分別表示出 sinA,sinB,sinC,進(jìn)而把原式展開后利用根本不等式求得其最小值.【解答】解：由正弦定理可知立二卜二0;2RsinAsinBsinC.sinA=-tsinC=-2R2R2Ra2+b2+c2+Fsin.Asin2Bsin2CFL+C與卡+專2222三三戶 7 月N4R,3+2+2+2=25當(dāng)且僅當(dāng)己二 b 二 c 時(shí)等號(hào)成立.c2a2b2c2$故答案為：256【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正弦定理的應(yīng)用,根本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是利用正弦定理把問(wèn)

17、題轉(zhuǎn)化為邊的問(wèn)題,進(jìn)行解決.8.2021?湖南在銳角ABC 中,BC=1,B=2A,那么上的值等于 2,AC 的取值范圍 cosA【考點(diǎn)】正弦定理；同角三角函數(shù)根本關(guān)系的運(yùn)用.【專題】綜合題；壓軸題.【分析】1根據(jù)正弦定理和 B=2A 及二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得值;2由1得到 AC=2cosA,要求 AC 的范圍,只需找出 2cosA 的范圍即可,根據(jù)銳角ABC 和 B-2A 求出 A 的范圍,然后根據(jù)余弦函數(shù)的增減性得到 cosA 的范圍即可.【解答】解：1根據(jù)正弦定理得：M二BC,sinBsinA2由于 AABC 是銳角三角形,C 為銳角,所以由 B=2A 得到 A+2A工且 2A=灰心

18、L,從而解得：三小二,22264 于是正2cosAJ,由1的結(jié)論得 2cosA 二 AC,故正M6.故答案為：2,、歷,V32卜2=4R:(3+K i22ba由于 B=2A,化簡(jiǎn)得一二1_即上二 22sinAcosAsinAcosA【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦定理及二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)求值,此題的突破點(diǎn)是根據(jù)三角形為銳角三角形、內(nèi)角和定理及 B=2A 變換角得到角的范圍.9.2021?太原一模0 是銳角ABC 的外接圓圓心,ZA=0,假設(shè)2?4AB-b2?AC=2ml0,那么sin用 0 表示sinCsinB【考點(diǎn)】正弦定理；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；兩角和與差的余弦函數(shù).【專題】計(jì)算題；壓軸題.

19、【分析】 根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形,取 AB 的中點(diǎn)為 D,根據(jù)平面向量的平行四邊形法那么可得三站+而,代入的等式中,連接0D,可得而J_亞,可得其數(shù)量積為0,在化簡(jiǎn)后的等式兩邊同時(shí)乘以標(biāo),整理后利用向量模的計(jì)算法那么及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法那么化簡(jiǎn),再利用正弦定理變形,并用三角函數(shù)表示出 m,利用誘導(dǎo)公式及三角形的內(nèi)角和定理得到 cosB 二cosA+C,代入表示出的 m 式子中,再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),抵消合并約分后得到最簡(jiǎn)結(jié)果,把 NA=0 代入即可用 0 的三角函數(shù)表示出 m.【解答】解：取 AB 中點(diǎn) D,那么有近二獲十而,代入等無(wú)銬正二 2 病得：sirLsinb生羯悟法

20、 2m市而,sinCsinBlIlODlAB,得而*0,兩邊同乘標(biāo),化簡(jiǎn)得:fS曲盛喧瓢送2m國(guó)十而菽二凝石,i|jcosBc2+CQS|：)CPC0S=lric2,sinCsinB由正弦定理一-化簡(jiǎn)得:sinAsinBsinCfSsiJcMjsinBsinCoosAFsink,由 sinCWO,兩邊同時(shí)除以 sinC 得：cosB+cosAcosC=msinC,_cosB+cosAcosC-cos(A+C)IcosAcosC.m=sinCsinC一cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC.=sinA,sinCXZA=0,故答案為：sinO【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦定理,平面向量的數(shù)量

21、積運(yùn)算,三角形外接圓的性質(zhì),利用兩向量的數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系,誘導(dǎo)公式,以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式,熟練掌握定理及公式是解此題的關(guān)鍵.10.2021?河南模擬在銳角 AABC 中,內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c,a+2b=4,asinA+4bsinB=6asinBsinC,那么 ZABC 的面積最小值時(shí)有 c,二 5 一4市.3【考點(diǎn)】 余弦定理； 正弦定理.【專題】解三角形；不等式的解法及應(yīng)用.【分析】運(yùn)用正弦定理和面積公式可得,+4b 三 12S,運(yùn)用根本不等式,可得 a=2,b=l,S 取得最小值 2 求得 ainC,再由同角的平方關(guān)系,求得 cosC,再由余弦定理,

22、即可得到 3所求值.【解答】解：由正弦定理,asinA+4bsinB=6asinBsinC 即為a:+4b:=6absinC,乂 S 二工 bsinC,2即有 a2+4b3=12S,由于 a+2b=4,即有 1+4b 三(a+2b)2-4ab=16-4ab,即有 4ab=16 12S,由 4abW2(Ht2b)48,2即有 16-12SW8,解得3當(dāng)且僅當(dāng) a=2b=2,取得等號(hào).當(dāng) a=2,b=l,S 取得最小值 Z3sinC|,(C 為銳角),那么 cosOi 一產(chǎn)那么 c2=a2+b2-2abcosC=4+l-2X2X133故答案為：5建.3【點(diǎn)評(píng)】此題考查正弦定理和余弦定理及面積公式的

23、運(yùn)用,同時(shí)考查根本不等式的運(yùn)用,考查運(yùn)算水平,屬于中檔題.11.2021 春上饒期末ABC 是邊長(zhǎng)為 1 的正三角形,M、分別是邊 AB、AC 上的點(diǎn),線段 MN 經(jīng)過(guò) aABC 的中央 G.假設(shè) aAGM 的面積為工,那么AG的面積為.1224【考點(diǎn)】正弦定理.【專題】解三角形.【分析】設(shè) NAGM=a,由可得 AG,NMAG 的值,山正弦定理可得得GM=低7r,由SxcxGMGAsina二6si“Y)45利用正弦定理可得 GN 二Y那么可求SAG、GNGAsinn-a6sinQY2的值.【解答】解：由于 G 為邊長(zhǎng)為 1 的正三角形 ABC 的中央,6(近七口tQ)12,解得：cota=2

24、-V3,乂那么 yMGAsina212sin(a+)6(V+cota)6噎sinQ解得:cota=2-V3,那么 SXCAiGNGAsin(n-a)2=sinQ=1二1二近+112sin(a-)6(介-cot8)6(畬-2+75)24 故答案為：聞【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正弦定理,三角形面積公式的綜合應(yīng)用,將AGM、zAGN 的面積表示為 Q 的函數(shù)是解題的關(guān)鍵.三.解做題共3小題12.2021?新課標(biāo) II /XABC 中,D 是 BC 上的點(diǎn),AD 平分 NBAC,ZABD 面積是 AADC 面積的2 倍.(1)求包卓;sinZC2假設(shè) AD=1,DC 二返,求 BD 和 AC 的長(zhǎng).2【考

25、點(diǎn)】正弦定理；三角形中的幾何計(jì)算.【專題】解三角形.【分析】1如圖,過(guò) A 作 AE_LBC 于 E,由及面積公式可得 BD=2DC,由 AD 平分 NGNGA.rrrsinkCL-66得GN二圾亓6sin(a6BAC 及正弦定理可得聽人必有應(yīng)sin3尸從而得解整BDDC(2)ill(1)可求 BDf/1 過(guò) D 作 Df_LAB 于 M,作 DJ_AC 于,由 AD 平分 NBAC,可求AB=2AC,令 AC=x,那么 AB=2x,利用余弦定理即可解得 BD 和 AC 的長(zhǎng).【解答】解：(1)如圖,過(guò) A 作 AE_LBC 于 E,cJBDXAE1gAABp,2=?SAADCDCXAE乙/.

26、BD=2DC,AD 平分 NBACJZBAD=ZDAC在 aABD 中,見二地一,AsinZB=2sinZBADsinZBADsinZBBD在 aADC 中,一岑二.嗎,sinNC=也又三“不匐；sinzDACsinZCDC.辿 N 區(qū)正工.6 分sinZCBD2(2)由(1)知,BD=2DC=2X 華&.過(guò) D 作 DM_LAB 于 M,作 DNJ_AC 于 N,TAD 平分 NBAC,ADM=DN,cJABXDM.bAABD_2一 4*AADC-ACXDN乙.*.AB=2AC,令 AC=x,那么 AB=2x,丁 ZBAD=ZDAC,AcosNBAD=cosNDAC,2+J-2J2+

27、F一嚕22X2xXl2XXX1AAC=1, BD 的長(zhǎng)為正,AC 的長(zhǎng)為 1.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形面積公式,正弦定理,余弦定理等知識(shí)的應(yīng)用,屬于根本知識(shí)的考查.13.(2021?衡水四模)在 aABC 中,角 A,B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c,函數(shù)f(x)=2cosxsin(x-A)+sinA(xR)在 x 二且三處取得最大值.12(1)當(dāng)KE(0,)時(shí),求函數(shù) f(x)的值域；2(2)假設(shè) a=7 且 sinB+sinC=型及,求ABC 的面積.由余弦定理可得:14【考點(diǎn)】正弦定理；兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦函數(shù)的定義域和值域.【專題】解三角形.【分析】利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù) f(X)的解析式為 sin(2x-A),由于函數(shù)在 x 衛(wèi) I 處取得最大值.令 2X 旦 L-A=2k+工,其中 kz,解得 A 的值,12122(1)由于 A 為三角形內(nèi)角,可得 A 的值,再由 x 的范圍可得函數(shù)的值域；(2)由正弦定理求得 b+c=13,再由余弦定理求得 be 的值,由ABC 的面積等于bcsinA,算出即可【解答】解：:函數(shù) f(x)=2cosxsin(x-A)+sinA=2cosxsinxcosA-2cosxcosxsinA+sinA=sin2xco