高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)歸納之曲線與方程

1、高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)歸納之曲線與方程、根底知識(shí)1.曲線與方程一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解.(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么這個(gè)方程叫做曲線的方程,這條曲線叫做方程的曲線？.2.求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系一？,用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合P=M|p(M)?；(3)用坐標(biāo)表示條件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式；(5)說(shuō)明化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上.O(1)

2、如果曲線C的方程是f(x,y)=0,那么點(diǎn)Po(xo,yo)在曲線C上的充要條件是f(x0,yo)=0.(2)“曲線C是方程f(x,y)=0的曲線是“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解的充分不必要條件.陛坐標(biāo)系建立的不同,同一曲線在不同坐標(biāo)系中的方程也不同,但它們始終表示同一曲線.有時(shí)此過(guò)程可根據(jù)實(shí)際情況省略,直接列出曲線方程.考點(diǎn)一直接法求軌跡方程1 .點(diǎn)F(0,1),直線l：y=1,P為平面上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線,垂足為q,且QP|MN|=2.由橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左、右焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為爐的2橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為%y23=1xw-2.

3、解題技法定義法求曲線方程的2種策略(1)運(yùn)用圓錐曲線的定義求軌跡方程,可從曲線定義出發(fā)直接寫出方程,或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式,從而求出方程.(2)定義法和待定系數(shù)法適用于曲線的軌跡類型,利用條件把待定系數(shù)求出來(lái),使問題得解.題組練習(xí)如圖,ABC的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)A(-1,0),B(1,0),圓E是4ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點(diǎn)分別為P,Q,R,|CP|=1(從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線段長(zhǎng)相等),動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線M,求曲線M的方程.解：由題知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4|AB|,所以曲線M是以A,B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓(挖去

4、與x軸的交點(diǎn)).設(shè)曲線M：告+g=1(ab0,尸0),ab那么a2=4,b2=a22=3,所以曲線M的方程為=1(yw0).43考點(diǎn)三代入法(相關(guān)點(diǎn))求軌跡方程典例精析如下圖,拋物線E:y2=2px(p0)與圓O:x2+y2=8相交于A,片B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2.過(guò)劣弧AB上動(dòng)點(diǎn)P(x.,y.)作圓O的切線交拋物線E于C,D兩點(diǎn),分別以C,D為切點(diǎn)作拋物線E的切線11,飛Eq為不l2,l1與l2相交于點(diǎn)M.4(1)求p的值；(2)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.解(1)由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2),代入y2=2px,解得p=1.(2)由(1)知拋物線E:y2=2x,5-y2_y2_一

5、,、,人一、,V?設(shè)C2,y1,D2,y2,y1W0,y2W0.切線l1的斜率為k,那么切線l1：yy1=kx彳,代入y2=2x,得ky2-2y+2y1-ky2=0,由A=0,解得k=；l1的方程為丫=3+引y1y12同理l2的方程為丫=?+,.1yiyiy2y=Dx=F聯(lián)立解得1y2yi+y2y=y2x+rv=易知CD的方程為xox+yoy=8,其中xo,yo滿足x0+y0=8,xo2,272,y2=2x,由得xoy2+2yoy16=o,xox+yoy=8,2yoyiy2yi+y2=一丁,T,那么代入i6yi+y2yiy2一后y=,可得M(x,y)滿足8x=-xo,y一吟yxo可得8yyo=

6、xx2代入xo+yo=8,并化簡(jiǎn),得萬(wàn)一y2=考慮到xoC2,2啦,知xC-4,2亞,x2,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y2=i,xC4,一2#.解題技法“相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的根本步驟(i)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(xi,yi);xi=fx,y,(2)求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式y(tǒng)i=gx,y；(3)代換：將上述關(guān)系式代入曲線方程,便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.題組練習(xí)曲線E：ax2+by2=i(ao,b.),經(jīng)過(guò)點(diǎn)M粵,o的直線l與曲線E交于點(diǎn)A,一.一、一一B,且MB=2MA.假設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(.,2),求曲線E的萬(wàn)程.3解：設(shè)A(xo,yo),1.B(o,2),M卞,o

7、,故MB=,2,MA=xo一yo.33,一33a/s由于MB=-2MA,+,2=2xo七,yo.33,*0=半,yo=1,即A.A,B都在曲線E上,解得a=1,b=4.曲線E的方程為正%1.課時(shí)跟檢測(cè)1.平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)A(3,1),B(-1,3),假設(shè)點(diǎn)C滿足OC=%OA+)OB(O為原點(diǎn)),其中為,加CR,且方+加=1,那么點(diǎn)C的軌跡是()A,直線B.橢圓C.圓D.雙曲線y+3x103y-x卜=,10又久+41,所以a0工+*=1,即x+2y=5,所以點(diǎn)C的軌跡是直線,應(yīng)選A.解析：選A設(shè)C(x,v),由于OC=所以(x,y)=為(3,1)+姒1,3),x=3?1論,即解得y=為+3

8、尬,下,動(dòng)點(diǎn)2.如下圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(1,0),B(1,1),0(0,1),映射f將xOy平面上的點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)到另一個(gè)平面直角坐標(biāo)系uOv上的點(diǎn)P(2xy,x2-y2),那么當(dāng)點(diǎn)P沿著折線A-B-C運(yùn)動(dòng)時(shí),在映射f的作用x=2y,解析：選D當(dāng)P沿AB運(yùn)動(dòng)時(shí),x=1,設(shè)P(x,y),那么2(0WyW1),y=1y2x2x=2x,故y=1-r(0x,W2,0W/wi).當(dāng)P沿BC運(yùn)動(dòng)時(shí),y=1,那么0(0x1),4y=x2-1,x2所以y=-41(0WxW2,-1y0,y0)3cB./23y2=1(x0,y0)3C. 3x2y2：1(x0,y0)3D. 3x2+2y2=1(x

9、0,y0)解析：選A設(shè)A(a,0),B(0,b),a0,b0.由B?=2Pa,得(x,y-b)=2(a-x,rti3,zt=.,-y),即a=2x0,b=3y0.點(diǎn)Q(-x,y),故由OQAB=1,得(一x,y)a,b)=1,即ax+by=1.將a=|x,b=3y代入ax+by=1,得所求的軌跡方程為x2+3y2=1(x0,y0).5.如下圖,F1,F2是橢圓r：?=1(ab0)的左,右焦點(diǎn),p是橢圓r上任意一點(diǎn),過(guò)F2作/F1PF2的外角的角平分線的垂線,垂足為Q,那么點(diǎn)Q的軌跡為()A,直線C.橢圓B.圓D,雙曲線解析：選B延長(zhǎng)F2Q,與FiP的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,連接OQ.由于PQ是/F1P

10、F2的外角的角平分線,且PQLF2M,所以在PF2M中,|PF2|J=|PM|,且Q為線段F2M的中點(diǎn).又O為線段F1F2的中點(diǎn),由三角形一:11的中位線定理,得OQ|=2|F1M|=2(|PF1|十|PF2|).根據(jù)橢圓的定義,得|PF1|十|PF2|=2a,所以|OQ|=a,所以點(diǎn)Q的軌跡為以原點(diǎn)為圓心,半徑為a的圓,應(yīng)選B.6.在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A(1,0),B(2,2),假設(shè)點(diǎn)C滿足OC=OA+t(OB-Oa)其中tCR,那么點(diǎn)C的軌跡方程是、r_?_=1+1,解析：設(shè)C(x,y),那么OC=(x,y),OA+t(OBOA)=(1+t,2t),所以消y=2t去參數(shù)t得點(diǎn)

11、C的軌跡方程為y=2x-2.答案：y=2x-2x2y27 .設(shè)F1,F2為橢圓了+3=1的左、右焦點(diǎn),A為橢圓上任思一點(diǎn),過(guò)焦點(diǎn)F1向/F1AF2的外角平分線作垂線,垂足為D,那么點(diǎn)D的軌跡方程是.解析：由題意,延長(zhǎng)FD,F2A并交于點(diǎn)B,易證RtAABDRtAAF1D,那么|FD|=|BD|,|FA|=|AB|,又O為F1F2的中點(diǎn),連接OD,那么ODIIF2B,11從而可知|DO|=2|F2B|=2(|AF1|十|AF2|)=2,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,V),那么x2+y2=4.答案：x2+y2=48 .(2021福州質(zhì)檢)A(-2,0),B(2,0),斜率為k的直線l上存在不同的兩點(diǎn)M,N滿

12、足|MA|MB|=2/3,|NA|NB|=2/3,由雙曲線的定義知,點(diǎn)M,N在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上,且c=2,a=V3,x2所以b=1,所以該雙曲線的方程為彳一y2=1.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),那么x+x2=12,y+y2=2.設(shè)直線l的方程為y=kx+m,代入雙曲線的方程,消去y,得(13k2)x26mkx3m23=0,所以x1+X2=16m冷憶y1+y2=k(x+&)+2m=12k+2m=2,由解得k=2.答案：29 .如圖,動(dòng)圓Ci：x2+y2=t2(ivt3)與橢圓C2：1+y2=i相交于9A,B,C,D四點(diǎn).點(diǎn)Ai,A2分別為C2的左、右頂點(diǎn),求直線AAi與直

13、線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程.解：由橢圓C2：+y2=i,知Ai(-3,0),A2(3,0).9設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(xo,yo),由曲線的對(duì)稱性,得B(xo,yo),設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),直線AAi的方程為y=X013(x+3).一yo直線A2B的方程為y=F(x3).由相乘得xo_又點(diǎn)A(xo,yo)在橢圓C2上,故yo=i9.9x2將代入得-y2=i(x-3,y-點(diǎn)N,F為軌跡C的右焦點(diǎn),假設(shè)RP=入RQ(Ai),求證：NF=入FQ.解：(i)依題意知,直線AiNi的方程為y=6(x+j/6),直線A2N2的方程為y=-6(x-由(i)得F(2,0),要證NF=入FQ,即證(2xi,yi)=此

14、一2,y2),口用、十八x1一3xi2只需證2-xi=Xx2-2),只需-=x23x22即證2xix25(xi+x2)+i2=0,又xix2=(tyi+3)(ty2+3)=t2yiy2+3t(yi+y2)+9,xi+x2=tyi+3+ty2+3=t(yi+y2)+6,所以2t2yiy2+6t(yi+y2)+i85t(yi+y2)30+i2=0,即2t2yiy2+t(yi+y2)=0,_nn36t_、a.八、而2t2yiy2+t(yi+y2)=2t2t2+3t百4=0成乂,即NF=XFQ成乂.B級(jí)i.方程(2x+3y-i)(/x3i)=0表示的曲線是()A.兩條直線B.兩條射線C.兩條線段D.一

15、條直線和一條射線2x+3y-i=0,hf解析：選D原萬(wàn)程可化為或Jx3i=0,即2x+3y-i=0(x3)x-30,或x=4,故原方程表示的曲線是一條直線和一條射線.A(a,0),B(a,0)的一點(diǎn),Fi,F2x2y22 .動(dòng)點(diǎn)P為橢圓i(ab0)上異于橢圓頂點(diǎn)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),動(dòng)圓M與線段FiP,FiF2的延長(zhǎng)線及線段PF2相切,那么圓心M的軌跡為除去坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的()B.橢圓A.拋物線C.雙曲線的右支D.一條直線解析：選D如圖,設(shè)切點(diǎn)分別為E,D,G,由切線長(zhǎng)相等可得|FiE|=|FiG|,|F2D|=|F2G|,|PD|=|PE|.由橢圓的定義可得|FiP|+|PF2|=|FiP|+|P

16、D|+|DF2|=|FiE|+|DF2|=2a,即|FiE|十|GF2|=2a,也即|FiG|十|GF2|=2a,故點(diǎn)G與點(diǎn)A重合,所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是x=a,即點(diǎn)M的軌跡是一條直線(除去A點(diǎn)),應(yīng)選D.3 .圓的方程為x2+y2=4,假設(shè)拋物線過(guò)點(diǎn)A(-i,0),B(i,0)且以圓的切線為準(zhǔn)線,那么拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程是解析：設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F,過(guò)A,B,O作準(zhǔn)線的垂線AAi,BBi,OOi,那么|AAi|+|BBi|=2|OOi|=4,由拋物線定義得|AAi|+|BBi|=|FA|+|FB|,所以|FA|+|FB|=4,故F點(diǎn)的軌跡是X2V2以A,B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓(去掉長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)).

17、所以拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程為X+V43=i(ywo).答案：Vt=i(ywo)434 .如圖,P是圓x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn),P點(diǎn)在x軸上的射影是D,點(diǎn)M滿rti求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程,并說(shuō)明軌跡是什么圖形;足DM=,DP.(2)過(guò)點(diǎn)N(3,0)的直線l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A,B,求以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的軌跡方程.解：(i)設(shè)M(x,y),那么D(x,0),i,由DM=2DP,知P(x,2y),點(diǎn)P在圓x2+y2=4上,x2.-.x2+4y2=4,故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為+y2=i,且軌跡C是以(一43,0),(事,0)為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.(2)設(shè)E(x,y),由題意知l的斜率存在,x2設(shè)l：y=k(x3),代入了+y2=i,得(i+4k2)x224k2x+36k24=0,iA=(24k2)24(i+4k2)(36k24)0,得k2-,524k2設(shè)A(x1,yi),B(x2,y2),那么xi+x2=T2,I十4k24k3-6kyi+y2=k(xi3)+k(x2-3)=k(xi+x2)-6k=1+4k26k=i+4k2.四邊形OAEB為平行四邊形,-2-P-2,24k之一6k.OE=OA+OB=(xi+x2,yi+y2)=；2,772,i十4ki十4k又OE=(x,y),24k2x=i+4k2-6