麥克斯韋速率分布律的推導與驗證

1、麥克斯書速度分布律的推導與實驗驗證摘要：本文對麥克斯韋速度分布律的內(nèi)容及其歷史來歷做了簡略概述，重點是用初等方法推導了麥克斯韋速度分布律，同時簡單地描述了一下它的實驗驗證。關(guān)鍵詞：速度分布函數(shù)，實驗驗證。內(nèi)容1、麥克斯韋速度分布律的內(nèi)容當氣體處于平衡態(tài)時，氣體分子的速度在vv+dv間隔內(nèi)，及分子速度分量在vxvx+dvx,Vy-Vy+dvy,vz-vz+dvz間隔內(nèi)的分子數(shù)dN(v)占總分子數(shù)N的比率為：3dN(v)m-_m武+y書2)/2kT=()edvxdvydvz,N2二kT其中m為分子的質(zhì)量，T為氣體溫度，k為波爾茲曼常數(shù),1,222、12m(vx-vvz)=mv22為氣體分子平動能。

2、竺表示速度矢量的端點在速度體元dT內(nèi)的分子數(shù)占總N分子數(shù)的比率，換言之，一個分子取得vv+dv間隔內(nèi)速度的幾率。2、分子速度分布函數(shù)3dN(v)m2-m(vxvyvZ)/2kTf(v)=()2eNdvxdvvdvz2二kTxyzf(v)的物理意義是：分子速度在v附近，單位時間問隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。3、速度分量分布函數(shù)f(vx)_dN(vxNdvx)m1)22-mvx/2kTe=(2二kTf(vy)_dN(vy)m/122_qvy/2kTNdvy_(2二kT)ef(vz)dN(vz)m/1)22_.mv；/2kTNdvz_(2二kTe3、麥克斯韋速率分布律將以丫,，vy,4為軸的笛氏坐

3、標進行坐標變換，變?yōu)榍蜃鴺薞x，Vy，Vz“，：'dvxdvydvz-v2sinUd?d.dv分子速度在vv+dv,ee+de,（p中+d<p內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率dN(v)N3m7mv2/2kT2二()2evsin"iddv2二kT對日，中積分，得分子的速度在vv+dv內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為3dN(v)m2_mv2/2kT2=4二()evdvN2二kT4、分子速率分布函數(shù)f(v)_dN(v)Ndv3m"2_mv2/2kT2=4二()ev2-：kT物理意義：分子速率在v附近，單位速率間隔內(nèi)的幾率。二.歷史1859年4月，麥克斯韋偶然的讀到克勞修斯關(guān)于平

4、均自由路程的那篇論文,很受鼓舞，重燃了他原來在土星衛(wèi)環(huán)問題上運用概率理論的信念，認為可以用所掌握的概率理論對動理論進行更全面的論證。1859年麥克斯書寫了氣體動力理論的說明一文。接著他用概率方法找出粒子速度在某一限值內(nèi)的粒子的平均數(shù)，即速率分布律。麥克斯韋的這一推導受到了克勞修斯的批評，也引起了其他物理學家的懷疑。這是因為他在推導中把速度分解為x,y和z三個分量，并假設(shè)他們相互獨立的分布。直到1866年，麥克斯韋對氣體分子運動理論做了進一步的研究以后，他寫了氣體的動力理論的長篇論文，討論氣體的輸運過程。其中有一段是關(guān)于速度分布律的嚴格推導，這一推導不再有“速度三個分量的分布相互獨立”的假設(shè)，也

5、得出了上述速度分布律。它不依賴于任何假設(shè)，因而結(jié)論是普遍的。三.麥克斯韋速度分布律的推導設(shè)容器內(nèi)有一定量的氣體處于平衡態(tài)，氣體總分子數(shù)為N,分子速度在x,y,z三個方向上的分量為vx,vy,vzo處于平衡態(tài)的氣體分子速度分布應該是各向同性的，在速度區(qū)間vx-vx+dvx,vyvy+dvy,vzvz+dvz內(nèi)的分子數(shù)dN顯然與總分子數(shù)N和速度間隔體元dvxdvydvz成正比即dN=NF(U2)dvxdvydvz(U2=vj+v：+v；)(1)這里比例系數(shù)F(U2)=dN(2)Ndvxdvvdvzxyz為速度分布函數(shù)由于速度分布函數(shù)的各向同性，速度的任一分量的分布于其它量無關(guān)，故可設(shè)2F(U)=f

6、(v、)+f(vy)+f(vz)(3)對上式兩邊取對數(shù)的InF(U2)=Inf(vx)Inf(vy)Inf(vz)上式分別對vx，vy,vz求偏導先對vx1dF：U1jf(vx)口：:U-=2=且=2vF(U)dU”xf(vx)”x：x整理后可得1dF11df(vx)2»=2F(U)dU2vxf(vx)dvx同理有1dF11=_22F(U)dU2vy1df(vy)f(vy)dvy1dF11df(vz)=->22F(U)dU2vzf(vz)dvz以上三式左邊相同，故右邊也相等可令11df(vx)11df(vy)11df(vz)ir«,2Vxf(vx)dvx2vyf(vy

7、)dvy2Vzf(vz)dvz2，v22對上式積分得f=AeAxf(vy)=Ae'-yf(vz)=AeAz/222、將其帶入(3)式有F(U2)=A3e"+vy"(5)考慮到具有無限大速率的分子出現(xiàn)的幾率極小，故九應為負值令-2,有歸一條件有:!F(U2)dvxdvydvz=A322vxdvx22Vydvy22-avzedvz=1-cd-cd-CO由積分公式e22ax.一dxyji可知上式A3()3=1得A=于是F(U2/222、-a(Vx+vy+vz)(6)在利用分子平均動能等于3-kT23kT23kT2|(U)F(U2)dvxdvydvzm3kT222aiii(

8、VxvyVz)(一)2vx2+vy+v2dvxdvydvz3.Me2,222、-a(vx+vy+vz)2vye2,-a(v222x+vy+vzv2e2/222.-avx+vy+vzdvxdvydvz僅取上積分式中一項.”e2x+v2y+v2z'dvxdvydvz由積分公式x2e22,axdx用vXe2-avx2.3vy2_avedvxdvvdvzxyz=vXe2-avxdvx2e-dvye2_avzdvz227xedx可得原式=122a52i二IIIvyedvy=52a3232(v2"j比)1二2111Vzedvz52a代入（7）式有(32JI3kT5m代入（6）式有_2F(

9、U)=(2二kT3mt)2e2.2.2zSv,1y)2kT(8)通常說的速率分函數(shù)，f（u）指的是不論速度方向如何，只考慮速度的大小點的分布，在這種情況下，自然應該用球坐標系表示速度區(qū)間球坐標空間r、g邛dV=r2sin中&Cfdr球速度空間v、QCpdv2sin88（pvVx、vy、vzT、1:dv,dvydvzv2sin.dvdNN2/m00(2二kT2_mv/2kT2.vsindddddv3m2-mv2/2kT2=4二()evdv2二kT可得:f(u)=dNNdV3m2-mv2/2kT2二4二()ev2-：kT在麥克斯韋從理論推導速度分布律后的近半個世紀，由于當時的技術(shù)條件，主要

10、是高真空技術(shù)和測量技術(shù)的限制，要從實驗上來驗證麥克斯韋速度分布律是非常困難的，直到1920年，英國物理學家斯特恩才做了第一次的嘗試。雖然實驗技術(shù)曾經(jīng)有許多物理工作者做了進一步的改進，但直到1955年才由哥倫比亞大學的密勒和庫士提出了這個定律的高精確的實驗證明。1、實驗裝置簡介(1)、。為分子或原子射線源(2)、R是用鋁合金制成的圓柱體，圓柱體上均勻地刻制了一些螺旋形的細槽，細槽的入口狹縫與出口狹縫之間的夾角中=4.8。(3)、D是根據(jù)電離計原理制成的檢測器，用來接收原子射線，并測定其強度(4)、整個裝置都放在抽成真空的容器內(nèi)2、實驗原理實驗時，圓柱體R以一定的角速度切轉(zhuǎn)動，由于不同的速率的分子

11、通過細槽所需的時間不同，各種速率的分子射入入口狹縫后，只有速率嚴格限定的分子才能通過這些細槽，而不和細槽壁碰撞。分子沿細槽前進所需的時間il，為t=-=一,從而有v=-只有速率滿足上述關(guān)系的分子才能通過細槽，其它速率的分子將沉積在細槽的內(nèi)壁上。因此旋轉(zhuǎn)主體起到了速率選擇器的作用，改變角速度®,就可以使不同的分子通過。3、實驗過程與結(jié)果改變圓柱體轉(zhuǎn)動的角速度«,依次測定相應分子射線的強度，就可以確定分子射線的速率分布情況。試驗表明，射線強度確為速率v的函數(shù)，強度大，表明分布在該速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)所占的比率較大，反之亦然。實驗還表明，在相同條件下，各相等速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)比率不

12、同，多次實驗得到同一速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)比率大致相同。這就說明分子速率確實存在一個恒定的分布律。1955年密勒與庫土測定了從加熱爐內(nèi)發(fā)射出來的鎧原子速率分布，實驗溫度為1400K,并由實驗數(shù)據(jù)會出了鎧原子速率分布的試驗曲線(見下圖)。/(V)由試驗曲線可知：(1)、f(v)值兩頭小，中間大，f(v)有一極大值(2)、可認為大量原子(或分子)的速率是連續(xù)分布的，當Av取得很小時，則有dN=f(v)dvNf(v)這一函數(shù)，麥克斯韋首先從理論上找到了密勒與庫土于1955年在實驗上比較精確的證明了麥克斯韋速度分布律?？偨Y(jié)：應用麥克斯韋速率分布律可以求與速度有關(guān)的函數(shù)的各種平均值；可以計算速率在vv+dv內(nèi)的分子數(shù)dN;可以計算速率在有限間隔viv2內(nèi)的分子數(shù)AN或者百分數(shù)AN/N；也可以推導理想氣體的壓強公式、溫度