基和維數(shù)的幾種求法_第1頁(yè)
基和維數(shù)的幾種求法_第2頁(yè)
基和維數(shù)的幾種求法_第3頁(yè)
基和維數(shù)的幾種求法_第4頁(yè)
基和維數(shù)的幾種求法_第5頁(yè)
已閱讀5頁(yè),還剩5頁(yè)未讀, 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡(jiǎn)介

1、線性空間基和維數(shù)的求法方法一根據(jù)線性空間基和維數(shù)的定義求空間的基和維數(shù),即:在線性空間V中,如果有n個(gè)向量0(1,0(n滿足:(1) 01皿皿線性無(wú)關(guān)。(2) V中任一向量0總可以由",廣:們線性表示。那么稱V為n維(有限維)線性空間,n為V的維數(shù),記為dimv=n,并稱CC1,CC2,Ctn為線性空間V的一組基。如果在V中可以找到任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量,那么就成V為無(wú)限維的。例1設(shè)V=XAX=O,A為數(shù)域P上mxn矩陣,X為數(shù)域P上n維向量,求V的維數(shù)和一組基。解設(shè)矩陣A的秩為r,則齊次線性方程組AX=0的任一基礎(chǔ)解系都是V的基,且V的維數(shù)為nr。(0al例2數(shù)域P上全體形如的二階

2、方陣,對(duì)矩陣的加法及數(shù)與矩陣的乘法所組成1CabJ的線性空間,求此空間的維數(shù)和一組基。*01'100'。,1。h為線性空間解易證V=-aab>a,bp的一組線性無(wú)關(guān)的向J量組,且對(duì)V中任,0a、有9a、=a01、+b00、Lab;<ab>J0;<01;兀奈01'00<10,01>按定義為V的一組基,V的維數(shù)為2。方法二在已知線性空間的維數(shù)為n時(shí),任意n個(gè)向量組成的線性無(wú)關(guān)向量組均作成線性空間的基。例3假定RIxn是一切次數(shù)小于n的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式添上零多項(xiàng)式所形成的線性空間,2n證明:1,(x1),(x1),|H,(x1)構(gòu)成Rlxn的基

3、。nA證明考察k11+k2(x1)+|+kn(x1)=0由xnA的系數(shù)為0得kn=0,并代入上式可得xn的系數(shù)kn=0依此類推便有kn=kn=川=k=0,nA-故1,(x1),IH,(x1)線性無(wú)美n1又Rlx】n的維數(shù)為n,于是1,(x1)HI,(x1)為Rx】n的基。方法三利用定理:數(shù)域p上兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)的充分必要條件是它們有相同的維數(shù)。例4設(shè)A=,證明:由實(shí)數(shù)域上的矩陣A的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(A)組成的d0J'",''0-1)一一地一、,t皿,-、-空間v=f(AYA=與復(fù)數(shù)域C作為實(shí)數(shù)域R上的線性空間L0力v,=a+bi|a,bER同構(gòu),并非求

4、它們的維數(shù)。一一、.-_._-k_證明V中任一多項(xiàng)式可記為f(A)=aE+bA(abR,建立V到V的如下映射。:,fA=aEWA第炕R一、.一'.-_.易證汀是V到V上的單射,灑射即一一映射。再設(shè)a2=a2+b2i,a2,b2擊R,K在R,則有:"W0b2i=a1a2EfbA=。:如*%-k:ka1kb|i=k%EkA=k。x故8是V到V的同構(gòu)映射,所以V到V同構(gòu)另外,易證V的一個(gè)基為1,i,故dimV=2,Vv'dimV=2方法四利用以下結(jié)論確定空間的基:設(shè),口2,川,與&,%,川,總是n維線性空間V中兩組向量,已知用,臼2,山,En可由電皿,川,J線性表出

5、:、=aii:ia22,山.ani:n:2=ai2:l-a222,山.an2:n:n=ain,i'a2n2'山,n'naiiai2ain令A(yù)=a2ia22HIa2n<3nian2川annJ如果夕2,招,為V的一組基,那么當(dāng)且僅當(dāng)A可逆時(shí),Pi,P2,IH,Pn也是V的一組基。例5已知i,x,x2,x3是plx4的一組基,證明i,i+x,(i+x)2,(i+xS也是p【x】4的一組基。證明因?yàn)?3i=ii0x0x0x23ix=iiix0x0x(i+x2=ii+2x+ix2+0x3323ix=ii3x3xix=01111012300120001一一.23所以1,1+X

6、,(1+X),(1+x)也為plxJ4的一組基。方法五如果空間V中一向量組與V中一組基等價(jià),則此向量組一定為此空間的一組基。例6設(shè)R&表示次數(shù)不超過(guò)2的一切實(shí)系數(shù)一元多項(xiàng)式添上零多項(xiàng)式所構(gòu)成的線性空間的一組基,證明X2+x,x2X,X+1為這空間的一組基。22證明k1xxk2x-xk3x1=0貝Uk1k2=0k1-k2k3=0化=0解得k3=k2=k1=0222于是x+x,xx,X+1線性無(wú)美,它們皆可由X,x,1線性表示,因此X2+x,X2x,X+1與x2,x,1等價(jià),從而RX】2中任意多項(xiàng)式皆可由X2+x,X2-x,x+1線性表示,故x2+x,x2x,x+1為R1x12的基。方法六

7、利用下面兩個(gè)定理:定理一:對(duì)矩陣施行行初等變換和列變換,不改變矩陣列向量間的線性關(guān)系。定理二:任何一個(gè)mn矩陣A,總可以通過(guò)行初等變換和列變換它為標(biāo)準(zhǔn)階梯矩陣:,其中Ir表示r階單位矩陣。<0依據(jù)這兩個(gè)定理,我們可以很方便地求出ViP|V2的一個(gè)基,從而確定了維數(shù)。例7設(shè)V=L(%,a2),V2=L(P1,P2)是數(shù)域F上四維線性空間的子空間,且電=(1,2,1,0)皿=(1,1,1,1);臼1=(2,1,0,1遷2=(1,,3,7).求VFV2的一個(gè)基與維數(shù)。解若3V1DV2,則存在為,X2,y,y2匚F,使r=入口1+X2口2=yRyz/(1)即有X1CC1+x2a2+y101+y2

8、02=0(2)若,口2,用,&線性無(wú)關(guān),(2)僅當(dāng)x=x2=y1=y2=0時(shí)成立那么乂恨2是零子空間,因而沒(méi)有基,此時(shí)維數(shù)為0,V+V2是直和若存在不全為零的數(shù)X1,X2,y1,y2使(2)成立,則VriV2有可能是非零子空間若為非零子空間,由(1)便可得到基向量r。以,口2,臼1,臼2為列向量作矩陣A,經(jīng)行初等變換將A化為標(biāo)準(zhǔn)階梯形矩陣Ao1-121'J00-1、211-10104A=A11031Jl/J0013<0117>(0000P-r2一+4%+3鳥(niǎo)二r=*+如2=-3鳥(niǎo)+為=(一5,2,3,4)是VJ1V2的一個(gè)基dimVJ1V2=1同時(shí)知,%,%是乂的一

9、個(gè)基,dimV1=2鳥(niǎo),嗎是V2的一個(gè)基,dimV2=2«1«212是M+V2的一個(gè)基,dim(V+V2)=秩(A)=3方法七在線性空間V中任取一向量a,將其表成線性空間V一線性無(wú)關(guān)向量組的線性組合的形式,必要的話需說(shuō)明向量組是線性無(wú)關(guān)的。這一線性無(wú)關(guān)向量組就是我們要找的基。例8求乂=1(%,a2)與V2=L(乳,P2)的交的基和維數(shù)。方0=(1,2,1,0)用=(2,1,0,1)2=(-1,1,1,1)2=(1,-1,3,7)解任取a亡V1C|V2,則a亡V1,a=X1%十x2a2,且a亡V2,a=y161+y2P2,a=為+x2a2=y1用+y2口(注:此時(shí)a雖然已表成

10、一線性組合的形式,但它僅僅是在V1、V2中的表示,并非本題所求,即要在空間V”V2中將a線性表出)二X%+x2«2y肖y2°=0,求X1,X2,y,y2X1-X2-2y1-y2=02X1+X2y+y2=0'X1+x?-3y2=0X2_y7y2=0解得(X1,X2,y,y2)=(k,-4k,-3k,k):=k(:1-4:2)=k(-3r:2)=k(5,-2,3,4)故mPM是一維的,基是(5,2,3,4)易知(5,2,3,4)是非零向量,是線性無(wú)關(guān)的。方法八按維數(shù)公式求子空間的交與和的維數(shù)和基維數(shù)公式:如果VV羌有限維線性空間V的兩個(gè)子空間,那么dimV|dimV2=

11、dimV1V2dimV1QV2例9已知=(3,1,2,1),口2=(0,1,0,2)P1=(1,0,1,3),E2=(2,3,1,6)求由向量%皿生成的P4的子空間M=L(%,0(2)與向量臼1,臼2生成的子空間V2=L(P,P2)的交與和空間的維數(shù)的一組基。解因?yàn)閂+V2=以電,Ot2,E,E2),對(duì)以,“2,用,日2為列的矩陣施行行初等變換:y01-110A=201123100-1-3-3J秩A=秩B=3,所以V+V2的維數(shù)是3且戲1,口2,1,日2為極大線性無(wú)關(guān)組,故它們是M+V2的一組基。又由電,。2線性無(wú)關(guān)知V1的維數(shù)為2,同理V2的維數(shù)也為2,由維數(shù)公式知VlV2的維數(shù)為(2+2)

12、-3=1。從矩陣B易知料十E2=%2%,故氏+B2=(3,-3,2,-3)是"2公有的非零向量,所以它是交空間vJ!v2的一組基。方法九由替換定理確定交空間的維數(shù)。替換定理:設(shè)向量組,0(2,|1,0(線性無(wú)關(guān),并且«1«21«r可由向量組臼1,底,川,吧線性表出,那么13s(2)必要時(shí)可適當(dāng)對(duì)凡*,山菖中的向量重新編號(hào),使得用,%,川,替換E,底,川,度后所得到的向量組,立2,川,臼1,川,Es與向量組日1,臼2,招,丸等價(jià)。特別,當(dāng)r=s時(shí),向量組。1,。2,川,孔與向量組用,日2,川,等價(jià)。例10已知向量組電=(2,0,1,3),口2=(0,3,1,0),a3=(1,2,0,2),o(4=(2,6,3,3),設(shè)它們是向量組臼1了2,臼3的線性組合,又設(shè)向量組r1,2j|,rm與向量組?123等價(jià),試求1,2,HLm生成的空間的交空間的基和維數(shù)。'2013'0-41-1、'0-70-P031003100310解TT1202120212020633)1。620J000J顯然«

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論