4-圓錐曲線中的定點定值問題(教師版)(20220215225950)

1、、直線恒過定點問題第四講 圓錐曲線中的定點定值問題例i.動點E在直線I : y 2上，過點E分別作曲線C : x24y的切線EA, EB ,切點為A、B,求證：直線 AB恒過一定點，并求出該定點的坐標;22解：設 E(a, 2), A(Xi,0),B(X2，竺)，44過點A的拋物線切線方程為y2Xi4i2Xi(Xxi),切線過E點,2Xi-Xi(a Xi),整理得:22Xi2axj同理可得:2X2 2ax280Xi,X2是方程x2 2ax 80的兩根XiX22a, xiX28可得AB中點為(a,4)y2又 kAB 'X-Ix2直線AB的方程為y2)例2、點P(x0,y0)是橢圓2e：&

2、#163;2點與直線I垂直，點M-1，0過一定點G，求點G的坐標。解：直線|°的方程為X0(y y。)2Xi2X2XiX2xi x2 a42AB過定點(0,2 ).1上任意一點，直線1的方程為等yoy 1，直線l0過P關于直線|0的對稱點為N，直線PN恒2y°(x X0)，即 2y°x x°y x°y0 0設M( i,0)關于直線l0的對稱點N的坐標為N(m, n)nx°m 12y°2y。約0，解得0小3八2,2X0 3X0 4X04mx。244,3,2c2x° 4X0 4x° 8X02y°(4

3、 X02)直線PN的斜率為kn y。m X0x°4 4x°3 2X02 8X0 82y°( X03 3xd2 4)從而直線PN的方程為：yy。X。4 4xo3 32xo2 28x。8xo)2yo( Xo3 3xo2 4)'4)2yo( x。3 3x。2324xo 2x。 8x。 84 xo從而直線PN恒過定點G1,0二、恒為定值問題例3、橢圓兩焦點F1、F2在y軸上，短軸長為2 2，象限弧上一點，且 PF1 PF21，過P作關于直線FiP對稱的兩條直線圓于A、B兩點。1求P點坐標;2求證直線 AB的斜率為定值;2解：1設橢圓方程為篤a2x1，由題意可得b離

4、心率為2，P是橢圓在第2a 2，b2，c 2 2，所以橢圓的方程為y4x那么 F1(0, 2), F2(0,2)，設 P(Xo,y°)(x。O,yo0)那么 PR ( x。八 2 yo), PF2(Xo,y。),PFi PF2 x2 (2y。2)點Px°,y。在曲線上,2x。22yo41.2X。2yoA 2從而(2yO)1，得yo2，那么點P的坐標為1, 2。PB斜率互為相反數(shù),2由1知 PF1 / X 軸，直線 PA、設PB斜率為k(k 0)，那么PB的直線方程為：y 2 k(x 1)y 2 k(x 1)_由 x2 y2得(2 k2)x2 2k( 2 k)x (2 k)2

5、 4 0-I 124同理可得XayAyBk252，那么2 k2k(XA 1)k(XB所以直線AB的斜率kAB例4、動直線y點，點73,0)，解：將y課后作業(yè):2k(k .2) 12 k2XaXa2k(x 1)與橢圓C: 5求證：MA MB為定值.2k(x 1)代入5211中得(15336k4 4(3k21)(3k25)X1X26k23k21，X/2k2 2 2k 22 k24,2k1)Xb2 y_533k2)X2 6k2X3k2 5 048k2 203k253k2 1(X13,1)(X23,y2)(X1)(X2)33k2(x.(1k2 )X1X2(|k2)(x1,2、3k257, 2(1k )

6、2(k3k2 13423k416k2549 .(XiX2)所以MA MB)(3k2 1X21.在平面直角坐標系 xOy中，橢圓C :3i)(X21)(X21)l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為E，D( 3,m).7) y°249"9k21.如下列圖,斜率為k( k> 0)且不過原點的直線射線OE交橢圓C于點G ,交直線x3于點I求m2 k2的最小值;n假設OGOD ? OE，求證：直線l過定點;解：I由題意：設直線l : ykx n(n 0),y kx nx2消y得:(112 23k )x6knx 3n23 0,36k2n2 4(1 3k2) X3(n2 1)

7、12(3k2 1 n2)0設A%,%)、B(X2,y2),AB的中點E(x°,y。)，那么由韋達定理得:6kn 血3kn,兒即x0 Wkx0 n所以m2n證明：由題意知又因為yE又由I3kn1 3k2所以中點 E的坐標為(一, n 21 3k 1 3k因為OE、D三點在同一直線上，所以kOEKod，即1m3k3，),k2 = k2k22 ,當且僅當1時取等號:n>0,因為直線y所以由 2x3n1 3k2OD的方程為得交點1m,且 OGmx,3OD ?OEn,1 3k2 2即m k的最小值為2.G的縱坐標為，所以rmm2n,1 3k1知：m ,所以解得kkn,所以直線l的方程為k

8、x k,即有丨:y k(x1),令x 1得,y=0,與實數(shù)k無關,所以直線l過定點(-1,0).22.點N為曲線y 4x(x 0)上的一點,假設A(4,0)，是否存在垂直 x軸的直線l 被以AN為直徑的圓截得的弦長恒為定值？假設存在，求出直線l的方程；假設不存在,請說明理由.解：設AN的中點為B，垂直于x軸的直線方程為x a ,以AN為直徑的圓交I于C,D兩點，CD的中點為H .t|cb訓|2j(x 4)2 y2 ,|BH|x 4a21尹2a 4CH|2CB|22 1BH|-(x 4)2 y24-(x 2a 4)24122京(4 a412)x 4a 16a (a 3)xa 4a所以，令a 3，

9、那么對任意滿足條件的x,都有CH 29 12 3與x無關，即CD2品為定值.已加撻物統(tǒng)的焦巨苑曇拋物線上的兩動點，且過A、B兩點分別作拋物線的切線，i殳其交點為H.(1)證陽用孑一石為定值*(H)1SAABMK面稅為WXS=f (A)的表達式，存求S的最小值|解；"設?<叭*巧八方y(tǒng)：兀j耳3昇yj > -童然方租腳尸-；1顯然MJ科車曲在且過匸1>協(xié)擔莒絨新尊力7=監(jiān)“ =JSiy=K2消去丁鶴t和-4=“判別或(k;+L、>0.xz-Ate ? «!2= 4于sn<tay-x;±fi& 臣羽辜為了 5 剛珂惰切Tin方ES

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12、I jt2coio.>-2QL豐竟二慣fcEn已扭勵國7；二一J-L前窯補韋為空以柯園：的左幀點丫拘國0作同T： 口亠1Ci+2 ：+T：-eS < t>0 IS國I 弓彩&：立于點豈NlSJI L J束祈團匚的E崔Ci：求而云的踴J-B井卞匕科園T的方軒：3桜勇F是儒同U丄另于I X的兮且一點E直銭KF勺那么寸工站交“匚灼址杯匣點ItS：紺<1>伐題加樓d4 ff= 1二a 2；、c-ti-jl-l t故櫛13：的方程埠f, = 、- <2H ><2>方蛍一：査亶2空H關于工軸內(nèi)捋，lSf.lL <3, » 7,)

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