信號(hào)與系統(tǒng) 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)

1、信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)主要內(nèi)容線性線性 延時(shí)（時(shí)域平移）延時(shí)（時(shí)域平移）尺度變換尺度變換 s域平移域平移原函數(shù)積分原函數(shù)積分原函數(shù)微分原函數(shù)微分 對(duì)對(duì)s域微分域微分 對(duì)對(duì)s域積分域積分初值初值終值終值時(shí)域卷積時(shí)域卷積信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)對(duì)下列性質(zhì)的熟練掌握（數(shù)學(xué)描述，應(yīng)用）對(duì)下列性質(zhì)的熟練掌握（數(shù)學(xué)描述，應(yīng)用）延時(shí)性質(zhì)延時(shí)性質(zhì)尺度變換尺度變換對(duì)時(shí)間函數(shù)的微分、積分對(duì)時(shí)間函數(shù)的微分、積分初值、終值性質(zhì)初值、終值性質(zhì)時(shí)域卷積時(shí)域卷積信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)一線性性質(zhì)一線性性質(zhì)解：解：例：例：F sF sF ssssssss( )( )( )()()()()121111211212已知

2、已知f tF ss1111( )( )ftF sss22112( )( )()()f tf t12( )( )求求 的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換F s ( )說(shuō)明：說(shuō)明：前面求正余弦信號(hào)的拉普拉斯變換時(shí)已經(jīng)用到了線性性。前面求正余弦信號(hào)的拉普拉斯變換時(shí)已經(jīng)用到了線性性。1122121 1221122( )( ), ( )( ),( )( )( )( )f tF sf tF s K KK f tK f tK F sK F sLLL若若 為常數(shù)為常數(shù)則則信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)二延時(shí)（時(shí)域平移）二延時(shí)（時(shí)域平移）00000() ()() ()edstf tt u ttf tt u tttL00()ed

3、sttf ttt0tt 令令00( )eedstsf 0( )estF s證明：證明：000( )( ) () ()( )estf tF sf tt u ttF sLL若若則則00e( )edstsf 00t 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)二延時(shí)（時(shí)域平移）二延時(shí)（時(shí)域平移）000000 () () 0()( ) ()() ( )f tt u tttf ttf t u ttf tt u t。，注意：注意：(1)一定是一定是 的形式的信號(hào)才能用時(shí)移性質(zhì)的形式的信號(hào)才能用時(shí)移性質(zhì)(2)信號(hào)一定是右移信號(hào)一定是右移(3)表達(dá)式表達(dá)式 等等 所表示的信號(hào)不能用時(shí)移性質(zhì)所表示的信號(hào)不能用時(shí)移性質(zhì)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系

4、統(tǒng)例：例：已知已知01 0 ( )0 t tf t其其余余求求F s ( )()()(0ttututf0( ) ( ) ( ) ()F sf tu tu ttLLL因?yàn)橐驗(yàn)樗运越猓航猓憾訒r(shí)（時(shí)域平移）二延時(shí)（時(shí)域平移）00111(1)ststeesss信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)解：解：4 4種信號(hào)的波形如圖種信號(hào)的波形如圖例：例：21020304001 ( ) ( )( )() ( )( )()( )() ()t u tsf tttf ttt u tf ttu ttf tttu tt ，已知單位斜變信號(hào)已知單位斜變信號(hào) 的拉普拉斯變換為的拉普拉斯變換為求求的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換二延時(shí)（時(shí)

5、域平移）二延時(shí)（時(shí)域平移）信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)只有信號(hào)只有信號(hào) 可以用延時(shí)性質(zhì)可以用延時(shí)性質(zhì) 4( )f t010022111( )stF stttsssL020121( )() ( )( )stF stt u tF ssL040021( )() ()stF stt u ttesL003000000042( )()() ()()1( )ststF stu tttt u ttt u tttstF seessLL二延時(shí)（時(shí)域平移）二延時(shí)（時(shí)域平移）信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)22211( )111ssF ssss( )2cos() ( ),( )4f ttu tF s已已知知求求。解：解：( )2cos

6、cos2sin sin( )cossin( )44f tttu ttt u t例例二延時(shí)（時(shí)域平移）二延時(shí)（時(shí)域平移）不能采用時(shí)延性質(zhì)計(jì)算不能采用時(shí)延性質(zhì)計(jì)算信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)二延時(shí)（時(shí)域平移）二延時(shí)（時(shí)域平移）時(shí)移性質(zhì)的一個(gè)重要應(yīng)用是求時(shí)移性質(zhì)的一個(gè)重要應(yīng)用是求單邊周期信號(hào)單邊周期信號(hào)的拉普拉斯變換。的拉普拉斯變換。 111( )( ) ( )( ) ( )() ()(2 ) (2 )Tf tft u tf t u tf tT u tTf tT u tT2111101( )( )( )( ) =( )1( ) 1TsTsnTsnTsF sF sF s eF s eF seF se結(jié)論：結(jié)論

7、：?jiǎn)芜呏芷谛盘?hào)單邊周期信號(hào)的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換 等于等于第一周期波形第一周期波形的拉普拉斯變換乘以的拉普拉斯變換乘以 Tse11信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)的拉普拉斯變換求周期沖激序列)()(tutTTsTTetutttut11)()(1)()()(，所以有它的拉普拉斯變換為，的第一個(gè)周期信號(hào)為周期沖激序列信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)求圖所示單邊周期矩形脈沖序列的拉普拉斯變換求圖所示單邊周期矩形脈沖序列的拉普拉斯變換 第一個(gè)周期的信號(hào)為第一個(gè)周期的信號(hào)為 )()()(1tututf)1 (1)(1sessF sTssTesesFesF1)1 (11)(1所以所以 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)三尺度變換三尺度變

8、換時(shí)移和尺度變換都有時(shí)移和尺度變換都有: :1() ()( )e 0,0 ()sbasf atb uaatbFaabL0()()edstf atf attLat令令()0( )ed( )saf a()01( )edsaf a1( )sFaa證明證明：( )( )1 ( )( ) () 0f tF ssf atFaaaLL若若則則信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)四四s 域平移域平移()00( )e( )eed( )ed()ttst s tf tf ttf ttF s L證明：證明：( )( )( )e()tf tF sf tF s LL若若則則0220:cos() ( )s t u ts已已知知L0220

9、ecos() ( )()ts t u ts所所以以00220:esin() ( )()t t u ts同同理理例：例：求求 的拉氏變換的拉氏變換0ecos() ( )t t u t解：解：信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)五時(shí)域微分定理五時(shí)域微分定理222d( )d( )(0 )( )(0 )(0 )dd( )(0 )(0 )ftf tsfs sF sfftts F ssffLL11( )0d( )( )(0 )dnnnn rrnrfts F ssft L推廣：推廣：證明：證明：000( )ed( )e( )ed (0 )( )stststf ttf tsf ttfsF s ( )( )d( )( )(0

10、)df tF sf tsF sftLL若若則則信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)六時(shí)域積分定理六時(shí)域積分定理證明：證明：00( )d( )d( )dttfff0( )df00( )dedtstft 000e1( )d( )edsttstff ttss 01( )edstf tts01( )dfs( )F ss( )( )f tF sL0( )1( )d( )dtF sf fssL若若則則1、因?yàn)榈谝豁?xiàng)與因?yàn)榈谝豁?xiàng)與 t 無(wú)關(guān)，是一個(gè)常數(shù)。無(wú)關(guān)，是一個(gè)常數(shù)。2、如果、如果 f ( t )是一個(gè)因果信號(hào)，則這一是一個(gè)因果信號(hào)，則這一 項(xiàng)為項(xiàng)為0信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)例：例：求圖示信號(hào)的拉普拉斯變換求圖示信號(hào)的拉普

11、拉斯變換 求導(dǎo)得求導(dǎo)得 11( )( )(2)(2)(2)(4)22f tt u tu ttu tu t d ( )11( )(2)(2)(4)d22f tu tu tu tu tt224221d ( )1 111( )(1)d222ssssf teeeF setsss221211( )( )(1)2sF sF sess所以所以 解：解：六時(shí)域積分定理六時(shí)域積分定理信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)若若則則 取正整數(shù)取正整數(shù)七七s 域微分定理域微分定理d( )( )dF stf ts 常常用用形形式式：L( )( )d( )( )dd( )()( )dnnnf tF sF stf tsF stf tnsLL

12、L證明：證明：對(duì)拉普拉斯正變換定義式對(duì)拉普拉斯正變換定義式 求導(dǎo)得求導(dǎo)得 00d ( )d( )d() ( )d( )ddststF sf t ett f t ettf tssL即得證。即得證。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)七七s 域微分定理域微分定理f tt u t( )()21例例u ts( ) 1解：解：因?yàn)橐驗(yàn)樗运?2232d1221(1)()()dsst u teessssssestu1) 1(信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)八八s 域域積分定理積分定理0( )( ) edstF sf tt兩邊對(duì)兩邊對(duì) s 積分：積分：0( )d( ) ed dtssFf tt 交換積分次序交換積分次序:0( )ed

13、dtsf tt( )( )( )( )dsf tF sf tFtLL01( )edtsf ttt0( )eds tf ttt證明證明：若若則則信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)若若 拉氏變換存在，且拉氏變換存在，且九初值定理和終值定理九初值定理和終值定理( )( )( )f tf tF s終值存在的條件終值存在的條件:0lim( )lim( )tsf tsF sd( )( ),( )( )df tf tf tF stL若若 的拉氏變換存在，且的拉氏變換存在，且則則初值定理初值定理( )sF s 的所有的所有極點(diǎn)極點(diǎn)有負(fù)實(shí)部有負(fù)實(shí)部終值定理終值定理初值定理應(yīng)用的條件初值定理應(yīng)用的條件: f (t)不包含不包含

14、沖激信號(hào)沖激信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)則則0lim( )(0 )lim( )tsf tfsF s信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)d( )( )(0 )df tsF sftL0d( )eddstf ttt000d( )d( )ededddststf tf ttttt0d( )( )(0 )eddstf tsF sftt00d( )d( )limedlimed0ddststssf tf ttttt由時(shí)域微分定理可知由時(shí)域微分定理可知0d( )(0 )(0 )eddstf tfftt所以所以九初值定理和終值定理九初值定理和終值定理初值定理證明：初值定理證明：所以所以0lim( )(0 )lim( )tsf

15、 tfsF s信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)終值定理證明終值定理證明0d( )( )(0 )eddstf tsF sftt000d( )lim( )(0 )limeddstssf tsF sftt(0 )lim( )(0 )lim( )ttff tff t根據(jù)初值定理證明時(shí)得到的公式根據(jù)初值定理證明時(shí)得到的公式九初值定理和終值定理九初值定理和終值定理信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)例：例：確定下列拉普拉斯變換所對(duì)應(yīng)的時(shí)域因果信號(hào)的初值和終值確定下列拉普拉斯變換所對(duì)應(yīng)的時(shí)域因果信號(hào)的初值和終值初值初值 終值終值 I sss s( )()22H sss( ) 8101692V ssss( )()2101331)2(2l

16、im)(lim)0(ssssssIiss1)(lim)(0ssIis初值初值 終值終值 0169108lim)(lim)0(2sssssHhss0169108lim)(lim)(200sssssHhss注意應(yīng)用注意應(yīng)用終值定理的條件終值定理的條件是滿足的。是滿足的。 解：解：九初值定理和終值定理九初值定理和終值定理信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)初值初值 2) 1()102(lim)(lim)0(33ssssssVvss( ) s0( )sV sv t因?yàn)橐驗(yàn)?有兩重極點(diǎn)有兩重極點(diǎn) ，并不具有負(fù)實(shí)部，并不具有負(fù)實(shí)部，因此不能應(yīng)用終值定理，即因此不能應(yīng)用終值定理，即 的終值不存在的終值不存在九初值定理和終值定理九初值定理和終值定理例：例：1:( ),(0 )?F sfs已已知知求求0(0 )lim( )lim( )1tsff tsF s解：解： 即單位階躍信即單位階躍信號(hào)的初始值為號(hào)的初始值為1。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)十時(shí)域卷積十時(shí)域卷積若若 為為因果信號(hào)因果信號(hào)則則1212( )( )( )( )f tf tF sF sL112212( )( )( )( )(