離散數(shù)學(xué)?？碱}型梳理

1、離散數(shù)學(xué)?？碱}型梳理第6章 命題邏輯一、題型分析本章主要介紹命題、聯(lián)結(jié)詞的概念，命題公式與翻譯，真值表與等價(jià)公式，重言式與蘊(yùn)含式，范式和命題邏輯的推理理論等內(nèi)容。經(jīng)常涉及到的題型有：6-1 將陳述句翻譯成命題公式6-2 求命題公式的真值6-3 命題公式類(lèi)型的判斷6-4 等價(jià)公式的證明6-5 求范式和主范式6-6判斷有效結(jié)論的直接證法和間接證法因此，在本章學(xué)習(xí)過(guò)程中希望大家要清楚地知道：1將陳述句翻譯成命題公式命題表述為具有確定真假意義的陳述句。命題必須具備二個(gè)條件：語(yǔ)句是陳述句；語(yǔ)句有唯一確定的真假意義。因此判斷一個(gè)句子是否為命題，應(yīng)首先判斷它是否為陳述句，再判斷它是否有唯一的真值。例如，“北

2、京是中國(guó)的首都”是陳述句，有確定的真假意義，是命題，為真命題。將陳述句翻譯成命題公式關(guān)鍵在于陳述句的邏輯含義要與命題公式的邏輯含義保持一致。因此首先要注意陳述句中表示特殊邏輯關(guān)系的詞語(yǔ)的含義，其次要掌握五個(gè)聯(lián)結(jié)詞“Ø， Ù， Ú，®，«”所表示的命題間的邏輯關(guān)系：“Ø” 是唯一一元聯(lián)結(jié)詞，表示否定；合取聯(lián)結(jié)詞“Ù”在語(yǔ)句中相當(dāng)于“不但而且”，“既又”；析取聯(lián)結(jié)詞“Ú”在語(yǔ)句中表示“或”的含義；條件聯(lián)結(jié)詞“®”在語(yǔ)句中表示“如果P則Q”或“只有Q，才P”；雙條件聯(lián)結(jié)詞“«”在語(yǔ)句中相當(dāng)于“當(dāng)且僅當(dāng)

3、”。例如，“我們不能劃船，又跑步”。設(shè)P：我們劃船，G：我們跑步，那么該命題符號(hào)化為：或。2求命題公式的真值一般將命題的合式公式簡(jiǎn)稱(chēng)為命題公式。要理解合式公式的遞歸定義： （1）單個(gè)命題變?cè)旧硎且粋€(gè)合式公式 （2）若A是合式公式，則A是合式公式 （3）若A與B是合式公式，則（AB），（AB），（AB）與（A«B）是合式公式（4）當(dāng)且僅當(dāng)能夠有限次應(yīng)用（1）、（2）、（3）所得到的包含命題變?cè)?lián)結(jié)詞和括號(hào)的符號(hào)串是合式公式顯然，如果對(duì)一個(gè)命題公式中的命題變?cè)唤o以真值指派，則命題公式無(wú)真值可言。如果對(duì)命題公式中的每個(gè)命題變?cè)假x以真值（1或0），則命題公式就變成了一個(gè)有真值的命題，

4、并可求出其真值。對(duì)于特殊的命題公式（永真式和永假式），對(duì)命題公式中的命題變?cè)唤o以真值指派，利用常用的等價(jià)公式也可以求出其真值（永真式為1，永假式為0）。對(duì)命題公式中的所有命題變?cè)概筛鞣N可能的真值組合，就可確定這個(gè)命題公式對(duì)應(yīng)的取值，將命題變?cè)乃姓嬷到M合及命題公式對(duì)應(yīng)的取值匯列成表，就得到命題公式的真值表如果一個(gè)命題公式有n個(gè)命題變?cè)敲疵}變?cè)恼嬷抵概删涂赡艹霈F(xiàn)種不同的組合。在真值表中是包含了命題變?cè)乃姓嬷抵概?。例如，如果一個(gè)命題公式有3個(gè)命題變?cè)?，那么命題變?cè)恼嬷抵概删陀?種不同的組合，作其真值表就是將這8種真值組合及命題公式對(duì)應(yīng)的真值匯列成表。要非常熟練地掌握命題公式的真

5、值表作法，因?yàn)槔谜嬷当砜梢耘卸}公式類(lèi)型，驗(yàn)證等價(jià)公式和蘊(yùn)含式，求命題公式的主析取(合取)范式，在推理理論中判別有效結(jié)論。3. 命題公式類(lèi)型的判斷在各種真值指派下均為真的命題公式，稱(chēng)為重言式或永真式；在各種真值指派下均為假的命題公式，稱(chēng)為矛盾式或永假式；不是矛盾式的命題公式，稱(chēng)為可滿(mǎn)足式。 判定命題公式類(lèi)型的方法：(1) 真值表法：任給命題公式，列出其真值表，若真值表的最后一列全為1，則該公式為永真式；若真值表的最后一列全為0，則該公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，則該公式是可滿(mǎn)足式。(2) 等值演算法：利用常用的等價(jià)公式，對(duì)給定公式進(jìn)行等值推導(dǎo)，若該公式的真值為1，則該

6、公式為永真式；若該公式的真值為0，則該公式為永假式。既非永真，也非永假，則為非永真的可滿(mǎn)足式。4. 等價(jià)公式的證明等價(jià)公式：給定兩個(gè)命題公式A與B，設(shè)P1，P2，Pn為所有出現(xiàn)于A與B中的原子變?cè)艚oP1，P2，Pn任一組真值指派，A與B的真值均相同，則稱(chēng)公式A與B是等價(jià)的或邏輯相等，記作AÛB，此公式可稱(chēng)為等價(jià)公式。真值表法（驗(yàn)證公式等價(jià)）：將兩個(gè)命題公式的真值表列出，在所有的真值指派下，兩個(gè)公式的真值都對(duì)應(yīng)相同，則說(shuō)明兩個(gè)公式等價(jià)，否則，就不等價(jià)。等值演算法（證明公式等價(jià)）：利用教材182頁(yè)的14個(gè)基本等價(jià)式對(duì)給定公式進(jìn)行等值演算，可以證明命題公式等價(jià)。5求范式和主范式求范式，

7、包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。關(guān)鍵有兩點(diǎn)：其一是準(zhǔn)確掌握范式定義；其二是巧妙使用基本等價(jià)式中的分配律、同一律和摩根律，結(jié)果的前一步適當(dāng)使用冪等律。范式的相關(guān)定義有：合取范式：一個(gè)命題公式稱(chēng)為合取范式，當(dāng)且僅當(dāng)它具有形式： A1A2An ， （n1）其中A1，A2，An均是由命題變?cè)蚱浞穸ㄋM成的析取式 析取范式：一個(gè)命題公式稱(chēng)為析取范式，當(dāng)且僅當(dāng)它具有形式：A1A2An ， （n1）其中A1，A2，An均是有命題變?cè)蚱浞穸ㄋM成的合取式 布爾合取、小項(xiàng)：n個(gè)命題變?cè)暮先∈?，稱(chēng)為布爾合取或小項(xiàng)，其中每個(gè)變?cè)c它的否定不能同時(shí)存在，但兩者必須出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次一般n個(gè)命題變

8、元共有個(gè)小項(xiàng)。布爾析取、大項(xiàng)：n個(gè)命題變?cè)奈鋈∈?，稱(chēng)為布爾析取或大項(xiàng)，其中每個(gè)變?cè)c它的否定不能同時(shí)存在，但兩者必須出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次一般n個(gè)命題變?cè)灿袀€(gè)大項(xiàng)。主析取范式：對(duì)于給定的命題公式，若有一個(gè)等價(jià)公式，它僅僅由小項(xiàng)的析取組成，則該等價(jià)式稱(chēng)為原式的主析取范式 主合取范式：對(duì)于給定的命題變?cè)?，如果有一個(gè)等價(jià)公式，它僅僅由大項(xiàng)的合取組成，則該等價(jià)式稱(chēng)為原式的主合取范式 求析取(合取)范式的步驟： 將公式中的聯(lián)結(jié)詞都化成Ø，Ù，Ú(即消去聯(lián)結(jié)詞®，«)； 將否定聯(lián)結(jié)詞Ø消去或移到各命題變?cè)埃?利用分配律、結(jié)合律等，將公式化為析取

9、(合取)范式。求主析取范式(主合取范式)的方法：真值表法：在命題公式的真值表中，真值為1的指派所對(duì)應(yīng)的小項(xiàng)的析取，為此命題公式的主析取范式；在命題公式的真值表中，真值為0的指派所對(duì)應(yīng)的大項(xiàng)的合取，為此命題公式的主合取范式。等值演算法：利用等價(jià)公式，求命題公式A的主析取(合取)范式的步驟： 將公式A化為析取(合取)范式； 除去析取(合取)范式中永假(永真)的析取 (合取) 項(xiàng)，并將析取(合取)式中重復(fù)出現(xiàn)的合取項(xiàng)(析取項(xiàng))和相同變?cè)喜ⅰ?對(duì)于不是小項(xiàng)（大項(xiàng)）的合?。ㄎ鋈。┦?，補(bǔ)入沒(méi)有出現(xiàn)的命題變?cè)赐ㄟ^(guò)合?。ㄎ鋈。┨砑覲ÚØP(PÙØP) 式，然后利用

10、分配律展開(kāi)公式。一般地，若命題公式A的主析取范式為則A的主合取范式為 由此可見(jiàn)，命題公式A的主析取范式的小項(xiàng)個(gè)數(shù)與主合取范式的大項(xiàng)個(gè)數(shù)之和等于。6判斷有效結(jié)論的直接證法和間接證法判斷有效結(jié)論的過(guò)程就是論證過(guò)程，基本方法有真值表法、直接證法和間接證法。要重點(diǎn)掌握后兩種方法。直接證法：就是由一組給定的前提，利用一些公認(rèn)的推理規(guī)則，并根據(jù)已知的等價(jià)公式和蘊(yùn)含公式，推演得到有效結(jié)論的方法在證明過(guò)程中一般要用到的兩個(gè)公認(rèn)的推理規(guī)則，即P規(guī)則與T規(guī)則P規(guī)則：前提在推導(dǎo)過(guò)程中的任何時(shí)候都可以引入使用T規(guī)則：在推導(dǎo)中，如果有一個(gè)或多個(gè)公式重言蘊(yùn)含著公式C，則公式C可以作為前提在推導(dǎo)引用因此要掌握直接證法，就必

11、須理解并掌握好教材第182頁(yè)的14個(gè)等價(jià)公式和14個(gè)蘊(yùn)含公式，并會(huì)使用P規(guī)則和T規(guī)則。將證明的過(guò)程用三列的形式表示，第一列為序號(hào)，第二列為當(dāng)前得到的結(jié)論，第三列為得到當(dāng)前結(jié)論的理由或根據(jù)E與I分別表示已經(jīng)證明成立的等價(jià)式與蘊(yùn)含式間接證法：有兩種，一種為反證法，是由不相容的概念引出的一種間接證法。相容、不相容：假設(shè)公式H1，H2，Hm中的命題變?cè)獮镻1，P2，Pn，對(duì)于P1，P2，Pn的一些真值指派，如果能使H1H2Hm的真值為T(mén)，則稱(chēng)公式H1，H2，Hm是相容的如果對(duì)于P1，P2，Pn的每一組真值指派，使得H1H2Hm的真值為F，則稱(chēng)公式H1，H2，Hm是不相容的其證明思路就是，如要證明，只要

12、把作為前提使用，推出矛盾的結(jié)論即可。另一種間接證法就是附加前提證明法：該方法使用的前提是有效結(jié)論以蘊(yùn)含的形式出現(xiàn)，即具有這樣的形式。則把B作為附加前提使用，只要推出結(jié)論C即可。即證明。通常將此方法稱(chēng)為CP規(guī)則。二、?？贾R(shí)點(diǎn)分析常考知識(shí)點(diǎn)1：將陳述句翻譯成命題公式（歷年考核次數(shù)：6次，本課程共考過(guò)6次；重要程度：）1.（2009年10月試卷第11題）將語(yǔ)句“他是學(xué)生”翻譯成命題公式解題過(guò)程 依據(jù)命題必須具備的二個(gè)條件，可設(shè)P：他是學(xué)生， 則該語(yǔ)句翻譯成命題公式為： P 2.（2008年7月試卷第12題）將語(yǔ)句“今天沒(méi)有人來(lái)”翻譯成命題公式解題過(guò)程 依據(jù)命題必須具備的二個(gè)條件以及否定聯(lián)結(jié)詞“&#

13、216;”的定義，可設(shè) P：今天有人來(lái)， 則語(yǔ)句“今天沒(méi)有人來(lái)” 翻譯成命題公式為 Ø P。3.（2008年7月試卷第11題）將語(yǔ)句“如果所有人今天都去參加活動(dòng)，則明天的會(huì)議取消”翻譯成命題公式解題過(guò)程 在該語(yǔ)句中出現(xiàn)表示邏輯關(guān)系的連詞“如果，則”，這樣我們就很容易聯(lián)想到條件聯(lián)結(jié)詞“®”在語(yǔ)句中表示“如果，則”，但要注意的是，似乎P®Q是“因果關(guān)系”，但是不一定總有因果關(guān)系，只要P，Q是命題，那么P®Q就是命題(即有真值)，不管P，Q是否有無(wú)因果關(guān)系。因此，設(shè)P：所有人今天都去參加活動(dòng)，Q：明天的會(huì)議取消，于是該語(yǔ)句可翻譯成命題公式為： P®

14、Q 4.（2009年1月試卷第12題）（2010年1月試卷第12題）將語(yǔ)句“我去旅游，僅當(dāng)我有時(shí)間”翻譯成命題公式解題過(guò)程 P®Q表示的基本邏輯關(guān)系是，Q是P的必要條件，P是Q的充分條件，因此復(fù)合命題“只要P，就Q”，“P僅當(dāng)Q”，“只有Q才P”等都可以符號(hào)化為P®Q的形式。因此可設(shè)P：我去旅游，Q：我有時(shí)間，則語(yǔ)句“我去旅游，僅當(dāng)我有時(shí)間”翻譯成命題公式為：P®Q 5.（2008年9月試卷第12題）將語(yǔ)句“小王去旅游，小李也去旅游”翻譯成命題公式解題過(guò)程 合取聯(lián)結(jié)詞“Ù”在語(yǔ)句中相當(dāng)于“并且”，“不但而且”，“既又”。但要注意“Ù”與 “并且

15、”等是有區(qū)別的，“并且”等要考慮語(yǔ)義，而“合取”只考慮命題之間的關(guān)系以及復(fù)合命題的取值情況，不考慮語(yǔ)義。因此，可設(shè)P：小王去旅游，Q：小李去旅游，則語(yǔ)句“小王去旅游，小李也去旅游”翻譯成命題公式為：PÙQ?？贾R(shí)點(diǎn)2：求命題公式的真值（歷年考核次數(shù)：1次，本課程共考過(guò)6次；重要程度：）1.（2009年 1月試卷第6題）命題公式的真值是 解題過(guò)程 依次利用蘊(yùn)含等價(jià)式、結(jié)合律和零律，可將該命題公式化為：，因此該公式的真值是1。?？贾R(shí)點(diǎn)3：命題公式類(lèi)型的判斷（歷年考核次數(shù)：2次，本課程共考過(guò)6次；重要程度：）1.（2008年 7月試卷第14題）判斷說(shuō)明題（判斷下列各題正誤，并說(shuō)明理由）為

16、永真式 解題過(guò)程 正確因?yàn)槁?lián)結(jié)詞運(yùn)算的優(yōu)先次序?yàn)椋海?#174;，«，再利用等價(jià)公式中的蘊(yùn)含等價(jià)式，吸收律和否定律，對(duì)給定公式進(jìn)行等值推導(dǎo)如下：因此該公式是永真式。以上是利用等值演算法判斷公式的類(lèi)型，也可利用如下真值表法。PQØPØQP®ØQØP Ù(P®ØQ)ØP Ù(P®ØQ) Ú P 1100001 1001101 01101110011111由真值表可見(jiàn)該公式在任意真值指派下的真值都是1，因此該公式是永真式。2.（2009年1月試卷第5題）下列公式

17、 ( )為重言式AØPÙØQ«PÚQ B(Q®(PÚQ) «(ØQÙ(PÚQ) C(P®(ØQ®P)«(ØP®(P®Q) D(ØPÚ(PÙQ) «Q解題過(guò)程 C選A錯(cuò)誤.因?yàn)槔锰N(yùn)含等價(jià)式，可將ØPÙØQ化為Ø(PÚQ)，即ØPÙØQÛ Ø(PÚQ)，依據(jù)等價(jià)聯(lián)結(jié)詞的定

18、義可知Ø(PÚQ)«PÚQ為矛盾式。選B錯(cuò)誤.因?yàn)槔锰N(yùn)含等價(jià)式、分配律和結(jié)合律，可將(Q®(PÚQ)化為(Q®(PÚQ) Û (ØQÚ(PÚQ) Û(ØQÚQ)ÚP) Û(1Ú P) Û1 而用分配律和否定律得(ØQÙ(PÚQ) Û(ØQÙP)Ú(ØQÙQ) Û(ØQÙP)Ú0

19、) Û(ØQÙP)依據(jù)等價(jià)聯(lián)結(jié)詞的定義可知1«(ØQÙP)為可滿(mǎn)足式。選C正確.因?yàn)槔锰N(yùn)含等價(jià)式可將(P®(ØQ®P)«(ØP®(P®Q)化為(ØPÚ(QÚP)«(PÚ (ØPÚQ)，再利用結(jié)合律得(ØPÚ (QÚP)«( ØPÚ (QÚ P)。再依據(jù)等價(jià)聯(lián)結(jié)詞的定義可知該式為重言式。選D錯(cuò)誤.因?yàn)槔梅峙渎煽蓪?Ø

20、PÚ(PÙQ)化為(ØPÚ(PÙQ) Û(ØPÚP)Ù(ØPÚQ) Û(1Ù (ØPÚQ) Û(ØPÚQ)依據(jù)等價(jià)聯(lián)結(jié)詞的定義可知(ØPÚQ)«Q為可滿(mǎn)足式。常考知識(shí)點(diǎn)4：等價(jià)公式的證明（歷年考核次數(shù)：2次，本課程共考過(guò)6次；重要程度：）1.（2008年 9月試卷第5題）下列等價(jià)公式成立的為( )AØPÙØQÛPÚQ BP®(&

21、#216;Q®P) ÛØP®(P®Q) CQ®(PÚQ) ÛØQÙ(PÚQ) DØPÚ(PÙQ) ÛQ解題過(guò)程 B選A錯(cuò)誤.因?yàn)橐罁?jù)德·摩根律，ØPÙØQÛØ(PÚQ)，所以ØPÙØQ與PÚQ不等價(jià)。選B正確.因?yàn)橐来卫锰N(yùn)含等價(jià)式、分配律和蘊(yùn)含等價(jià)式可得，P®(ØQ®P) Û P®(Q&

22、#218;P) ÛØ PÚ (QÚ P) ÛPÚ (Ø PÚ Q) Û PÚ (P®Q) Û ØP® (P®Q)。選C錯(cuò)誤.因?yàn)橐来卫锰N(yùn)含等價(jià)式、結(jié)合律、否定律和零律可得，Q®(PÚQ) ÛØQÚ (PÚQ) Û1，而 ØQÙ(PÚQ) Û(ØQÙP) Ú(ØQÙ Q) Û(&

23、#216;QÙP) Ú0Û(ØQÙP) ，其真值不等于1。選D錯(cuò)誤.因?yàn)橐来卫梅峙渎?、否定律和同一律可得?#216;PÚ(PÙQ) Û(ØPÚP)Ù(ØPÚQ) Û1Ù(ØPÚQ) Û (ØPÚQ)，顯然與Q不等價(jià)。2.（2010年 1月試卷第5題）下列公式成立的為( )AØPØQ Û PQ BP®ØQ Û ØP®

24、Q CQ®P Þ P DØP(PQ)ÞQ解題過(guò)程 D選A錯(cuò)誤.因?yàn)橐罁?jù)德·摩根律，ØPØQ ÛØ(PQ)，顯然與PQ不等價(jià)。選B錯(cuò)誤.因?yàn)槔锰N(yùn)含等價(jià)式可得，P®ØQ Û ØPØQ，同理，ØP®QÛ PQ，顯然ØPØQ與PQ不等價(jià)。選C錯(cuò)誤.因?yàn)镼®P Þ P是一個(gè)蘊(yùn)含式，依據(jù)蘊(yùn)含的定義，該蘊(yùn)含式成立只需證明(Q®P)® P為重言式即可。依次利用蘊(yùn)含等價(jià)式、分配律、否

25、定律和同一律，(Q®P)® P Û(ØQÚP)® PÛØ (ØQÚP) Ú PÛ (QÙØP) Ú PÛ (QÚP) Ù(Ø P ÚP) Û (QÚP) Ù1Û (QÚP)，顯然結(jié)果不是重言式，因此Q®P Þ P不成立。選D正確.也可以利用直接證法來(lái)證明該蘊(yùn)含式，思路是：證明ØP(PQ)為真時(shí)，Q一定為真。假定

26、6;P(PQ)為T(mén)，則ØP為T(mén)，且PQ為T(mén)，由P為F，PQ為T(mén)，知Q為T(mén)。則ØP(PQ)ÞQ成立。?？贾R(shí)點(diǎn)5：求范式和主范式（歷年考核次數(shù)：6次，本課程共考過(guò)6次；重要程度：）1.（2008年7月試卷第17題）求P®QÚR的析取范式、合取范式、主析取范式、主合取范式 解題過(guò)程 依據(jù)求析取(合取)范式的步驟可得，P（RQ）ÛP(RQ)Û PQR （析取范式、合取范式、主合取范式）Û因此該公式的主析取范式對(duì)應(yīng)的小項(xiàng)為：，故該公式的主析取范式為： (PQR)(PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (

27、PQR) 。此外，我們也可利用真值表法求該命題公式的主析取范式和主合取范式 PQRP®QÚR小項(xiàng)大項(xiàng)0001 PQR0011PQR 0101 PQR0111PQR 1000 PQR1011PQR 110 1  PQR 1111PQR 表中所有小項(xiàng)的析取就是公式的主析取范式，所有大項(xiàng)的合取就是公式的主合取范式，從真值表中可以看出所得結(jié)果與用上述等值演算法所得結(jié)果相同。2.（2008年9月試卷第3題）命題公式（PQ）R的析取范式是 ( ) AØ（PQ）R B（PQ）R C（PQ）

28、R D（ØPØQ）R解題過(guò)程 D 依據(jù)求析取范式的步驟可得，（PQ）RÛØ(PQ）RÛ (ØPØQ)R，這就是命題公式（PQ）R的析取范式，雖然命題公式的析取范式不唯一，但這個(gè)結(jié)論與選項(xiàng)D相同，故選擇D。3.（2009年1月試卷第16題）試求出（PQ）R的析取范式，合取范式，主合取范式解題過(guò)程 （PQ）RÛ(PQ)RÛ (PQ)R（析取范式） Û (PR) (QR)（合取范式） Û (PR)(QQ) (QR)(PP) Û (PRQ)(PRQ) (QRP)(QRP) Û

29、; (PQR)(PQR) (PQR) （主合取范式） 常考知識(shí)點(diǎn)6：判斷有效結(jié)論的直接證法和間接證法（歷年考核次數(shù)：0次，本課程共考過(guò)6次）1. 試證明（），Þ 。判斷有效結(jié)論的直接證法和間接證法，它的理論根據(jù)是14個(gè)等價(jià)公式（P167），14個(gè)蘊(yùn)含式(P170-171)，三個(gè)規(guī)則(P規(guī)則、T規(guī)則和CP規(guī)則)。在這些公式中，我們并不需要全部記住，記住最基本的即可，在這些公式中，下列這些式子是最基本的和最常用，其它公式有的可以根據(jù)它推導(dǎo)出來(lái)。14個(gè)蘊(yùn)含式中最常用和最基本的式子有(1)，(2)，(3)，(8)，(10)，(11)。14個(gè)等價(jià)式中（12）,（14）式用得較少。利用直接證明法

30、和間接證明法來(lái)證明，一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題就是在多個(gè)前提條件下，不知道按什么順序來(lái)引入前提？一般的來(lái)說(shuō)是根據(jù)析取三段論（或假言推理）（即教材P170第（9）、（10）式），即一個(gè)前提中含有A，再引入一個(gè)含有A的前提，就可以去掉A了。這樣我們可以先從遠(yuǎn)離結(jié)論的前提入手，逐步推導(dǎo)出結(jié)論。分析：結(jié)論是，先從遠(yuǎn)離結(jié)論的前提（或者）出發(fā)引入第一個(gè)前提，然后根據(jù)析取三段論再引入一個(gè)含有的前提（或者），這樣就可以去掉了，只剩下了，再引入一個(gè)含有的前提（），就又可以去掉了，只剩下含有、了，這正是結(jié)論所需要的。證明：(直接證法) P P T I () P () TI () TI TE 三、模擬練習(xí)練習(xí)1。（2009年1月

31、試卷第11題）將語(yǔ)句“他不去學(xué)?！狈g成命題公式解析：依據(jù)命題和否定聯(lián)結(jié)詞的定義，可設(shè)P：他去學(xué)校， 則語(yǔ)句“他不去學(xué)?！狈g成命題公式為 Ø P 練習(xí)2。（2009年7月試卷第12題）將語(yǔ)句“今天沒(méi)有下雨”翻譯成命題公式解析：依據(jù)命題和否定連接詞的定義，可設(shè)P：今天下雨， 則語(yǔ)句“今天沒(méi)有下雨”翻譯成命題公式為 Ø P練習(xí)3。（2008年9月試卷第11題）將語(yǔ)句“如果你去了，那么他就不去”翻譯成命題公式解析：條件聯(lián)結(jié)詞“®”在語(yǔ)句中表示“如果，則”，與本語(yǔ)句中的“如果，那么”，語(yǔ)意相同，再依據(jù)否定聯(lián)結(jié)詞的定義，則可設(shè)P：你去，Q：他去，于是語(yǔ)句“如果你去了，那么

32、他就不去”翻譯成命題公式為P®ØQ練習(xí)4。（2009年10月試卷第12題）將語(yǔ)句“如果明天不下雨，我們就去郊游”翻譯成命題公式解析：依據(jù)條件聯(lián)結(jié)詞“®”在語(yǔ)句中表示“如果，則”，以及否定聯(lián)結(jié)詞的定義，可設(shè)P：明天下雨，Q：我們就去郊游，則該語(yǔ)句可翻譯成命題公式為 Ø P® Q 練習(xí)5。（2009年7月試卷第11題）將語(yǔ)句“盡管他接受了這個(gè)任務(wù)，但他沒(méi)有完成好”翻譯成命題公式解析：依據(jù)合取聯(lián)結(jié)詞“Ù”在語(yǔ)句中相當(dāng)于“并且”，“不但而且”，“既又”，以及否定聯(lián)結(jié)詞的定義，可設(shè)P：他接受了這個(gè)任務(wù)，Q：他完成好了這個(gè)任務(wù)。則該語(yǔ)句可翻譯成命

33、題公式為 PÙØ Q練習(xí)6。（2010年1月試卷第11題）將語(yǔ)句“今天考試，明天放假”翻譯成命題公式解析：合取聯(lián)結(jié)詞“Ù”只考慮命題之間的關(guān)系以及復(fù)合命題的取值情況等。因此，可設(shè)P：今天考試，Q：明天放假則該語(yǔ)句可翻譯成命題公式為 PQ練習(xí)7。將語(yǔ)句“如果天不下雪，我有時(shí)間，那么我就去市里”翻譯成命題公式解析：依據(jù)合取聯(lián)結(jié)詞“Ù”，在語(yǔ)句中相當(dāng)于“并且”，“不但而且”，條件聯(lián)結(jié)詞“®” 在語(yǔ)句中表示“如果，則”。因此，可設(shè)P：天下雪，Q：我去市里，R：我有時(shí)間，則該語(yǔ)句可翻譯成命題公式為：ØPÙR®Q練習(xí)8。命題公

34、式的真值是 解析：該命題公式的真值為1。依據(jù)蘊(yùn)含等價(jià)式、結(jié)合律和零律，可將該命題公式化為：練習(xí)9。命題公式（PÚQ）Q為（ ）A. 矛盾式 B可滿(mǎn)足式C重言式 D合取范式解析：B因?yàn)槔锰N(yùn)含等價(jià)式可將（PÚQ）Q化為Ø（PÚQ）ÚQ，利用德·摩根律得（ØPÙØQ）ÚQ，利用分配律得（ØPÚQ ）Ù(ØQÚQ)，利用否定律得（ØPÚQ）Ù1，再利用同一律得ØPÚQ，因此該命題公式為可滿(mǎn)足式。練習(xí)10

35、。判斷命題公式(QP)P的類(lèi)型（重言式、矛盾式或可滿(mǎn)足式），說(shuō)明理由。解析：(QP)PÛ(QP)PÛ (QP)PÛQPPÛQ(PP)ÛQ0Û0所以(QP)P是矛盾式。練習(xí)11。證明命題公式是永真式證明：Û1練習(xí)12。下列命題公式等值的是為（ ）。A. B. C. D. 解析：C因?yàn)槔锰N(yùn)含等價(jià)式可得，練習(xí)13?；?jiǎn)命題公式解析：因?yàn)?Û 練習(xí)14。證明命題公式(P®(QÚØR)ÙØPÙQ與Ø（PÚØQ）等值 證明 (P

36、4;(QÚØR)ÙØPÙQÛ(ØPÚ(QÚØR)ÙØPÙQ Û(ØPÙØPÙQ)Ú(QÙØPÙQ)Ú(ØRÙØPÙQ) Û(ØPÙQ)Ú(ØPÙQ)Ú(ØPÙQÙØR) ÛØPÙQ 

37、9;Ø(PÚØQ) 練習(xí)15。（2009年7月試卷第15題）求（PQ）（RQ）的合取范式解析：（PQ）（RQ） ÛØ（PQ）（RQ） Û(ØPØQ)（RQ） Û(ØPRQ)(ØQRQ)Û(ØPRQ) R 合取范式 練習(xí)16。（2009年10月試卷第15題）求（PQ）R的析取范式與合取范式解析：（PQ）R Û Ø（PQ）R Û (ØPØQ)R （析取范式） Û (ØPR)(ØQR) （合取

38、范式）練習(xí)17。（2010年1月試卷第2題）命題公式（PQ）的合取范式是 ( ) A（PQ） B（PQ）（PQ） C（PQ） DØ（ØPØQ）解析：C因?yàn)椋x項(xiàng)A，B與命題公式（PQ）不等價(jià)，選項(xiàng)D中的“Ø”沒(méi)有移到各命題變?cè)埃x項(xiàng)C是命題公式（PQ）只由一個(gè)析取項(xiàng)組成的合取范式。故選項(xiàng)C正確。練習(xí)18。試證明： 解析： (附加前提證明法)(1) S CP規(guī)則(2) ØSÚP P(3) P T(1)(2)I(4) P®(Q®R) P(5)Q®R T(3)(4)I(6)Q P(7)R T(5)(6)I練習(xí)19。構(gòu)造下面推理的證明前提  R Q，RS，S Q，P Q